巧用幾何知識解決代數中的疑難問題

一、形神兼備

我們知道，幾何圖形除它的直觀性可以啟示我們去發現某些數量關系外，它的許多幾何性質也可以作為推導一些數量關系的依據.早在公元二、三世紀，古人為證明勾股定理而作的方圖，至今看來還是令人贊嘆的范例.但隨著坐標系的建立，數形結合的高度統一，使許多幾何問題可以用代數方法解決.反過來同樣可以用幾何圖形的直觀性去解決某些代數疑難問題，這一方法如果用得恰如其分，也會收到奇效.

例1對于a∈R，(其中R為實數集)試確定f(a)=■-■的值域.

分析:這道題如果我們用常規的解法消除根式，需要平方兩次，較麻煩.但是如果我們能仔細觀察這道題的特點，給二次根式賦以幾何意義.聯系平面上的兩點間的距離公式，將f(a)變成f(a)=■-■ 的形式，再根據兩點間的距離公式，就可以輕易求出結果.

解:在直角坐標系中取三點，F1(-■，0)，F2(■，0)，F3(a，■)，則在ΔF1F2F3中，F1F3-F2F3

反之，如果利用到而二定點F1、F2的距離之差為常量的動點軌跡是雙曲線的性質，同樣可以得出在區間(-1，1)內任一值都是某個a的函數值.

二、形異神同

我們知道數量關系賦予幾何形體，一方面可以在形體上改進數量關系，另一方面也比較容易看出，當幾何形體在某種范圍內改變時，數量關系也隨著相應變化，從而可以探討出規律，加以推廣.

例2設a、b、c均為正數，且a+b+c=1，求證■+■+■≥9.

分析:這道題在我們高中數學課本中使用的是代數證法.但如果我們改用幾何證法，則可起到事半功倍的獨到效果.如圖，在反比例函數y=■的圖像上，取三點A(a，■)，B(b，■)， C(c，■)，則這三點構成的三角形的重心為G(x0，y0).即x0=■(a+b+c)，y0=■(■+■+■).由雙曲線y=■的凹性可知，G在曲線的上方，則有y0﹥■，代換后可得:■+■+■≥■由已知a+b+c=1條件，可以得到:■+■+■≥9即為所證.

三、運用之妙

在探索解題思路的時候，如果去模仿學過的例題，套用現成的公式，尋找條件與結論的聯系，常常會因循守舊，導致封閉性的思維定勢.這種方法雖能奏效，但難以培養學生的靈活性和創造性.因此，只有培養發散思維，學生才能在遇到一些有意義的題目時，不致于滿足現有的解法和常規的思路，而能夠針對題目的特點，發掘與其它對象的聯系，找到出奇制勝的途徑.

例3設a<1，b<1，求證

■<1.

分析:這道題不論是現行的高中課本還是其它課件資料的證法都大致相同.即先用平方消去絕對值，再用遞推法去證明.如果我們能仔細觀察到它左邊是分式這一特點，并把它看成是一條直線的斜率，那么只要能證明這條直線的傾斜角在 ±45°之間擺動即可.因此，作出此圖，在圖上取兩點P(-1，-a)， Q(ab，b)，則有:KP Q=■由條件a<1，b<1，可知:P在直線x=-1上，且在C(a，1)、D(-a，-1)兩點之間.顯然，無論P在AB的任何位置上，直線PQ都在PC與PD之間，但Kpc=■=1，KPD=■=-1.因此，-1

責任編輯羅峰