鋼筋混凝土深梁極限荷載的計(jì)算方法

吉紅梅

(黑龍江省公路勘察設(shè)計(jì)院)

1 塑性理論極限分析的方法

在鋼筋混凝土的塑性理論中,常用上限定理求解結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的極限荷載。

上限定理指的是在所有與機(jī)構(gòu)的容許位移場(chǎng)對(duì)應(yīng)的任何荷載均大于或等于極限荷載。由上限定理可知:對(duì)于一個(gè)給定的結(jié)構(gòu)與荷載系,當(dāng)它按某一形式破壞時(shí),即存在著內(nèi)力功不比外力功大的變形狀態(tài),由于此時(shí)結(jié)構(gòu)已經(jīng)破壞,則根據(jù)功能等式求出的荷載值總是大于或等于真正的極限荷載,此荷載為極限荷載的上限。根據(jù)極限分析的上限定理求解極限荷載的方法即為上限方法。

上限方法是以上限定理為依據(jù),其基本思想是:從平衡條件和機(jī)構(gòu)條件出發(fā),尋出一個(gè)能滿足塑性條件的內(nèi)力狀態(tài),最后運(yùn)用虛功原理確定極限荷載。在上限方法中,一般先假定一個(gè)破壞機(jī)構(gòu),并使外力在假設(shè)的破壞機(jī)構(gòu)上做正功,然后利用內(nèi)力功與外力功相等的原理求出與破壞機(jī)構(gòu)對(duì)應(yīng)的極限荷載。由此所得的數(shù)值一般不會(huì)小于正式的極限荷載,在這種情況下,應(yīng)該選取有限個(gè)數(shù)值中最小的一個(gè),因?yàn)樗亲罱咏鼘?shí)際破壞時(shí)的荷載。

具體研究方法是:假定鋼筋和混凝土均是剛塑性材料,認(rèn)為結(jié)構(gòu)破壞時(shí)形成一個(gè)機(jī)動(dòng)體系,該體系由若干個(gè)剛性區(qū)組合而成,各個(gè)剛性區(qū)之間以塑性鉸線相連,然后以外荷載所做的功等于結(jié)構(gòu)或構(gòu)件內(nèi)部所耗的塑性內(nèi)功的原理,建立塑性方程,求出破壞荷載。通過(guò)大量試驗(yàn)得出的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和用運(yùn)用這種理論求解鋼筋混凝土深梁抗剪強(qiáng)度的結(jié)果進(jìn)行比較和數(shù)值分析,從而研究出一種可靠而簡(jiǎn)便的求解鋼筋混凝土簡(jiǎn)支深梁抗剪強(qiáng)度的計(jì)算方法。

2 材料的塑性性質(zhì)

2.1 混凝土的應(yīng)力

鋼筋混凝土深梁的腹板處于一種平面應(yīng)力狀態(tài)。在計(jì)算中,混凝土的單軸抗壓強(qiáng)度 fc與實(shí)測(cè)的圓柱體抗壓強(qiáng)度f(wàn)′c之間的關(guān)系用一個(gè)有效系數(shù)v表示

式中:v為混凝土的有效系數(shù);

當(dāng)混凝土處于雙向受壓的狀態(tài)時(shí),屈服函數(shù)f1=-fc-σ1和f2=-fc-σ2成立。如果忽略混凝土的抗拉強(qiáng)度,則f3=σ1和f4=σ2也成立,對(duì)應(yīng)的混凝土主應(yīng)力屈服軌跡如圖 1所示,這就是眾所周知的四方形屈服軌跡或庫(kù)侖破壞準(zhǔn)則。

圖1 混凝土平面應(yīng)力的四方屈服軌跡

圖1中,有 4個(gè)屈服函數(shù),它們是

式中;σ1,σ2為混凝土平面應(yīng)力中的正應(yīng)力(MPa),以拉為正。

由公式(2)可知,鋼筋混凝土深梁中的主應(yīng)力如下

2.2 鋼筋的應(yīng)力

鋼筋被認(rèn)為是一種理想的塑性材料。假定在拉力和壓力作用下,鋼筋的屈服強(qiáng)度是一樣的。那么鋼筋特有的理想化的塑性 σ-ε關(guān)系曲線如圖 2所示。

圖2 理想剛塑性鋼筋的應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系

式中:fy為鋼筋的屈服強(qiáng)度,MPa;σs為鋼筋的應(yīng)力,MPa。

2.3 混凝土的應(yīng)變及鋼筋的位移

鋼筋混凝土深梁的位移計(jì)算模型如圖 3所示。當(dāng)深梁發(fā)生剪切破壞時(shí),屈服線 AB把梁體分隔成塊體Ⅰ和塊體Ⅱ。(屈服線一般有 3種形狀:拋物線型、直線型和折線型。對(duì)鋼筋混凝土簡(jiǎn)支深梁而言,屈服線的形狀由瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的位置決定。如果瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心位于以 AB為直徑的圓圈以外,最佳的屈服線線形是拋物線;如果如果瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心位于圓圈內(nèi)或圓上,屈服線的線形是折線型;當(dāng)瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心位于無(wú)窮遠(yuǎn)的位置,屈服線的線形是直線型。)假設(shè)在屈服線上的變形均勻,其厚度為Δ。兩個(gè)剛性塊體的相對(duì)位移是 δ,與屈服線的傾角是α。兩個(gè)剛性塊體在平面繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心O′旋轉(zhuǎn)。在總體坐標(biāo)系X-Y中,塊體Ⅰ可能產(chǎn)生 3個(gè)位移:水平位移 U1,豎向位移V1和轉(zhuǎn)角 Ω1。塊體Ⅱ也有3個(gè)位移,U2,V2和 Ω2。

圖3 深梁的計(jì)算模型

在屈服線兩邊相對(duì)于瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心的相對(duì)位移如下

瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心相對(duì)轉(zhuǎn)角O′的坐標(biāo)(XRC,YRC)可由下式給出

因?yàn)榍€的變形不連續(xù),而混凝土和鋼筋都是處于塑性狀態(tài),所以鋼筋和混凝土的應(yīng)變不能從彈性方法確定。

(1)混凝土的應(yīng)變。

如圖 4所示,取出屈服線的一小部分,Δ表示兩個(gè)剛性塊體Ⅰ和塊體Ⅱ之間的窄屈服區(qū)域的寬度,t方向是屈服線的切線方向,n方向是屈服線的法線方向,兩個(gè)剛性塊體的相對(duì)位移是δ,其與屈服線的夾角是α。

圖4 兩個(gè)剛性塊體之間的變形

可推導(dǎo)出混凝土平面應(yīng)力中的主應(yīng)變?yōu)?

(2)鋼筋的位移。

如圖 5所示,當(dāng)通過(guò)屈服線的鋼筋達(dá)到屈服強(qiáng)度時(shí),即鋼筋中的應(yīng)力等于 fy時(shí),它通過(guò)屈服線的塑性位移可由公式(8)計(jì)算。

圖5 鋼筋的位移模型

式中:β為位移方向和鋼筋之間的夾角;rsi為鋼筋與屈服線的交點(diǎn)和瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心之間的距離,mm;

在剪切破壞狀態(tài)中,屈服線上鋼筋的拉力可用公式(9)計(jì)算

式中:Ts為屈服線上鋼筋的拉力,N;As為屈服線上鋼筋的面積,mm2。

3 材料內(nèi)部的耗散能量和外力功

當(dāng)鋼筋混凝土深梁處于破壞狀態(tài)時(shí),一般把深梁看成一個(gè)剛性構(gòu)件。構(gòu)件被屈服線互相分隔。如果用 NYL表示屈服線,那么在破壞機(jī)構(gòu)的模型上,鋼筋和混凝土的全部耗散能量(即內(nèi)能損失或內(nèi)力功)WI如下

公式中的Wc和Ws分別是指的在屈服線上混凝土和鋼筋的耗散能量。它們由下面方法確定。

3.1 混凝土的耗散能量

(1)屈服線是直線型。

公式(11)也適用于屈服線是拋物線型。

(2)屈服線是折線型。

在公式(11)和公式(12)中:

式中:Lc為直線型屈服線的長(zhǎng)度或拋物線型屈服線的弦長(zhǎng), mm;rm為屈服線中點(diǎn)m和瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心之間的距離,mm; αm為位移δm與直線型屈服線或拋物線型的弦線在中點(diǎn)位置的夾角;l為雙直線型屈服線上的受壓區(qū)長(zhǎng)度,mm。

其他符號(hào)與前面一致。

3.2 鋼筋的耗散能量

如圖5所示,假設(shè)一個(gè)縱筋與屈服線相交,與位移δ成β角,而且所有鋼筋的強(qiáng)度都是fy, 則縱筋的耗散能量是

那么,所有鋼筋(指橫向、豎向和縱筋鋼筋)的全部耗散能量是

式中:Ns為指所有鋼筋,包括的鋼筋的數(shù)量。

3.3 外力功

假設(shè)在梁上作用一力系(荷載系)Pi(i=1,2,3…),這些力是按比例同時(shí)增加的。則外載做的外功WE由下式確定

式中:NP為結(jié)構(gòu)模型上荷載的數(shù)量;Pi為結(jié)構(gòu)模型上的荷載,N;δi為荷載Pi產(chǎn)生的位移;λ為荷載系數(shù)。

4 利用塑性理論上限方法求極限荷載

根據(jù)能量守恒的基本原理,有

根據(jù)(15)式可以推導(dǎo)出關(guān)于荷載系數(shù) λ的表達(dá)式。可以看出荷載系數(shù) λ是與 U,V,Ω等材料強(qiáng)度以及構(gòu)件尺寸有關(guān)的系數(shù),則λ可用含有少許變量的隱函數(shù)表示

其中:U,V,Ω為結(jié)構(gòu)模型的剛性位移;fm為材料強(qiáng)度;Gm為材料的幾何性質(zhì)。

無(wú)量綱荷載系數(shù) λ可以表示為公式(17)的形式

采用數(shù)值優(yōu)化的方法,對(duì)上述公式(16)求極小值,即可得到上限方法的最小值λ,再由公式(17)即可求出塑性條件下剪切破壞的破壞荷載P。

一般對(duì)結(jié)構(gòu)或構(gòu)件進(jìn)行彈性和塑性分析時(shí),隨著荷載由零逐漸加大,最終都可獲得結(jié)構(gòu)或構(gòu)件的極限荷載值及對(duì)應(yīng)的塑性機(jī)構(gòu),這種方法是系統(tǒng)的、具體的、程式化的,它不但可以求出極限荷載,而且可以建立結(jié)構(gòu)在變成塑性機(jī)構(gòu)之前的每個(gè)階段中荷載和變形的明確關(guān)系。但是,這種方法往往是很繁瑣的,甚至是極其困難的。因此,當(dāng)我們實(shí)際上只對(duì)極限荷載感興趣,而對(duì)結(jié)構(gòu)在變成塑性機(jī)構(gòu)前的變形無(wú)需考慮時(shí),則可避開破壞前的全部分析,直接計(jì)算破壞荷載。這樣在計(jì)算上就大大簡(jiǎn)化了。利用塑性理論極限分析的基本原理,用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)運(yùn)算對(duì)鋼筋混凝土深梁進(jìn)行塑性極限狀態(tài)分析,避開破壞前的過(guò)程分析,只計(jì)算鋼筋混凝土深梁的極限荷載。如果用塑性理論分析得到的結(jié)果,與由彈性狀態(tài)到彈塑性狀態(tài)再到塑性極限狀態(tài)進(jìn)行分析的結(jié)果完全一致,則這種方法將是一種可靠而簡(jiǎn)便的方法,這個(gè)理論也是切實(shí)可行的。

[1] A.K.H.Kwan,XiLinLu,Y.K.Cheung.ElasticAnalysisofSlitted Shearwalls.JournalofStructure,1998.

[2] 斯圖亞特S.J.莫易著,陳維純,馬寶華譯.鋼結(jié)構(gòu)與混凝土結(jié)構(gòu)塑性設(shè)計(jì)法,1986.

[3] F.K.Kong.ReinforcedConcreteDeepBeams.BlackieSonLtd. GlasgowandLondon,1990.

[4] 徐秉業(yè),劉信聲.結(jié)構(gòu)塑性極限分析[M].中國(guó)建筑工業(yè)出版社,1985.