摭談數學思想與方法在解答地理選擇題時的應用

江蘇省邳州市鐵富高級中學（221300） 孟凡光

摭談數學思想與方法在解答地理選擇題時的應用

江蘇省邳州市鐵富高級中學（221300） 孟凡光

眾所周知，數學是一門實用性很強的工具性學科，它的一些重要的數學思想（如數形結合思想、化歸思想、方程思想與分類討論思想等）及具體的解題方法，既可有效地解答各類數學問題，也可以用于解決其它學科的疑難問題。結合具體實例，本文著重探討數學思想與方法在地理選擇題解答過程中的應用，籍此提高地理習題課的教學效率，拓寬學生的思維，同時也可加深學生對某些數學方法、數學思想的理解。

一、賦值法：

是指給定的關于某些變量的一般關系式，賦予恰當的數值或代數式后，通過運算推理，最后得出結論的一種解題方法。

例題（2010高考江蘇卷）圖2為6月22日與12月22日地球表面四地正午太陽高度。讀圖回答3～4題。

3．四地按地球自轉線速度由大到小排列，依次是

A．甲、乙、丙、丁 B．乙、丙、丁、甲

C．丙、丁、甲、乙 D．丁、甲、乙、丙

4．四地自北向南排列，依次是

A．甲、乙、丙、丁 B．甲、丙、丁、乙

C．丁、乙、丙、甲 D．甲、丙、乙、丁

解析本題組解答的關鍵在于判斷出甲、乙、丙、丁四地的緯度。雖然通過定性分析，我們可以解出正確答案，但容易產生誤判。除丙地6月22日的正午太陽高度可明確判斷為90°外，由圖我們只能判斷出其它三地冬、夏至兩天與甲地12月22日的正午太陽高度取值區間。如果通過合理的賦值，可以求出甲、乙、丁三地的大致緯度。根據甲、乙、丁三地正午太陽高度取值區間，我們可對6月22日這天三地正午太陽高度進行賦值分別為：55．5°、50．5°、20．5°；同時由12月22日這一天的正午太陽高度大小，我們大致可判斷出甲、丙兩地同在北半球，而乙、丁兩地則同在南半球。所以經過簡單計算,我們可求出甲、乙、丙、丁四地的緯度分別為：48°N、16°S、23．5°N、46°S。

點評賦值法的優勢：一是變定性分析為定量計算，提高了了問題解答的準確性；二是減少了定性分析時可能產生的判斷失誤。但需注意的是所賦的數值必須先要滿足題干給出的條件。

二、代入法

亦稱代入消元法，是將方程組中的一個方程的未知數用含有另一個未知數的代數式表示，并代入到另一個方程中去，這就消去了一個未知數,得到一個解。除了求解各種函數方程外，這種方法在解答選擇題時也有獨特的作用，特別是在題干給出的條件無法直接求出所需解答的問題時，可將選擇題各備選項中的答案作為解答問題的一個條件，而將題干中的某一條件作為問題的答案加以驗證。

例題（2009屆高三徐州六縣聯考）圖2所示區域位于南半球，弧線M為緯線， N為晨昏線，陰影為黑夜；甲乙兩地所在經線的經度為100°E；甲地此日正午太陽高度為30°，讀圖2回答5～7題。

5．此時太陽直射點的地理坐標是

A．100oE,15oS B．80°W,15oS

C．100oE,23o26′S D．80oW,23o26′S

6．若圖中乙點此時的太陽高度是10o，則乙點的地理緯度和正午太陽高度分別為

A．76o34′S, 36o52′ B．85oS, 10o

C．76o34′S, 20o D．85oS, 20o

7．一架飛機自①地起飛，沿圖中直線行駛至②地，其飛行方向是

A．自西向東 B．自東向西

C．先東南后東北 D．先東北后東南

解析本題組的5、6兩小題為條件相關題，只有正確解答出第5小題，才能找出解答第6小題的條件。第5小題，可根據條件先求太陽直射點的經度。由圖可知，甲、乙兩點所在的經線平分認夜半球，其地方時為0：00，故此時太陽直射點不在該經線上，而只能在80°W經線上。在求太陽直射點緯度時，我們將面臨這樣一個困境：因為本題只能根據正午太陽高度的計算來求太陽直射點的緯度，而要求太陽直射點的緯度，就必須先已知一個地點的緯度和該地的正午太陽高度。如果學生對于與晨昏線相切緯線的緯度和太陽直射點的緯度這二者的關系不甚了解的話，僅根據甲地的正午太陽高度無法求出此時太陽直射點的緯度。

由于該題的四個備選項中關于太陽直射點的緯度只有兩種情況，所以這時采用代入法解題就顯得格外的簡便。先選擇23o26′S作為正確答案代入到題目條件中，我們知道當太陽直射南回歸線時，晨昏線與南極圈相切，南極圈內出現極晝現象。由圖2看出，甲地位于與晨昏線相切的緯線上，且該緯線以南地區出現極晝現象，故可判斷甲地所在的緯線為南極圈。經計算可知，此時南極圈上的正午太陽高度為46o52′，而這一結論與題設條件甲地正午太陽高度為30o相矛盾。因此這一答案錯誤，需排除。所以只能選擇15oS，經驗證，該選擇為正確答案。

點評在解答條件不足的情況下，代入法為我們提供了一種較好解題思路。經常運用這種方法進行解題，可以有效地培養學生逆向思維能力。

三、極值法

就是通過對研究對象或變化過程的分析，提出一種或多種極端情況的假設，并針對各極端情況進行計算分析，從而確定極值區間，最終依據該區間做出判斷的方法。

例題 （2009年高考江蘇卷）圖2所示為以38°N、0°為極點的陸地相對集中的“陸半球”(另一半球為“水半球”)。讀圖回答3～4題。

3．“水半球”的極點位于

A．北半球、東半球

B．北半球、西半球

C．南半球、東半球

D．南半球、西半球

4．當夜半球與“陸半球”重疊最多時

A．非洲全部位于晝半球

B．北京市正值下班高峰

C．南極昆侖站處于極晝期

D．江蘇各地太陽高度達一年中最大值

解析解答本題組的第四小題，對于大部分學生來說都比較困難。由題干及四個備選項的內容可以看出，本題是一個關于時間判讀的問題，其中A、B兩個選項需判斷地方時，C、D兩個選項需判斷具體季節。只有根據題設條件判斷出“當夜半球與陸半球重疊最多時”某地是什么季節，地方時是什么時候，才能作出正確的解答。而要判斷這些時間，就必須先找出這時太陽直射點在什么位置。大部分學生無法直接根據所給的題設條件判斷出什么時候陸半球與夜半球重合最多，或者陸半球與夜半球重合最多時太陽直射點的位置在哪。由于陸半球與夜半球重合的范圍是在一個特定的區間不斷變化的，所以我們可以利用極值法來解答該題。假設當陸半球與夜半球完全重合時，此時水半球與晝半球完全重合，即水半球的極點與晝半球的中心點——太陽直射點完全重合。因為陸半球與水半球的極點為對趾點，所以此時太陽直射點的坐標為180°，38°S。但實際上，太陽直射點只能在南、北回歸線之間往返移動，所以水半球與晝半球重疊最多時（亦即陸半球與夜半球重疊最多時），太陽直射點坐標只能是180°，23°26′S。據此我們可以判斷出：此時節氣為冬至日，180°經線的地方時為12：00。

點評 本題如果讓學生直接判斷何時陸半球與夜半球重疊最多，對于絕大多數學生來說恐怕比較困難，如果順著從陸半球與夜半球完全重疊到二者重疊最多這個思路進行分析，問題就會迎刃而解。

四、數形結合思想與精確圖解法

數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”，即通過抽象思維與形象思維的結合，可以使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的。而精確圖解則是用精確作圖來解答代數問題的一種方法。

例題（2008年南京市高三質量檢測）下表為“某城市各類土地利用付租能力統計表”，據此回答19～20題。

19．該城市商業區外緣距離市中心的距離約為

A． 0．8千米 B． 1．33千米

C． 2．8千米 D．3千米

20．影響土地租金高低的主要因素是

①距離市中心的遠近；②土地利用方式；③交通通達度；④企業的支付能力

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

解析本題至少有三種不同解答方法，其中精確圖解法是一個不錯的選擇。解答本題可用直尺作圖如上表右圖，找出商業付租能力與住宅付租能力兩條直線的交點，過該點作橫坐標的垂線，則垂足到坐標原點的距離即為商業區外緣距離市中心的距離。而這個距離用直尺即可測量得出。

點評精確圖解法與普通圖解法不同的地方是：它作圖務求精確，一般要求用尺規進行作圖；而普通圖解法，對圖的精確度要求較低，只需簡單示意，此類圖通常徒手即可完成。運用這種方法通常可避免繁雜的數學運算過程，節省解題時間。當然，如果作圖精確度要求很高且十分復雜、費時，精確作圖法就不再是最合適的解題方法了，此時應另辟蹊徑，尋求更高效、更合理解決方法。

五、分類討論法

就是當問題所給的對象不能進行統一研究時，就需要對研究對象按某個標準進行分類，然后對每一類分別研究得出每一類的結論，最后綜合各類結果得到整個問題的解答。

例題 （南通市2009屆高三調研測試）圖1為“巖石圈的物質循環示意圖”，圖2為“五種外力作用相互聯系示意圖”，圖3為“四種陸地地貌圖”。讀圖完成1～2題。

1．在①②③④的成因中，與五種外力作用有直接關系的是

A．① B．② C．③ D．④

2．甲、乙、丙、丁四種地貌中，由①類巖石經a、b作用形成的是

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

解析本題主要考查地殼內部的物質循環，由圖可以判斷①②③④分別為三大巖石與巖漿。要正確解答出第1小題，就必須準確判斷出四個數字代碼中誰表示沉積巖。但題中沒有任何條件可以讓我們直接判斷出哪一個是沉積巖。問題解答的突破口為：物質之間的單、雙向轉化關系，即巖漿與巖漿巖之間的相互轉化、沉積巖與變質巖之間的相互轉化。由于無法確定②、③具體表示的是哪兩類物質之間的相互轉化關系，所以我們只有通過分類討論的方法來分析、解答該題。

假設②、③反映的是巖漿與巖漿巖之間的相互轉化關系：

A、假設②是巖漿，則③是巖漿巖。由于圖1表示的是巖石圈的物質循環，所以①②③④分別為三大巖石與巖漿，亦即不可能出現任意兩個數字代碼表示同一物質的情況；且依據三大類巖石與巖漿之間的相互轉化關系可知：只有巖漿能夠生成巖漿巖。但從圖中可以看出，除②外，①也可以生成③。故此假設錯誤。

B、假設②是巖漿巖，則③是巖漿。因為①與③均可生成②，所以本假設亦不成立。

由上述可知，②、③只能反映沉積巖與變質巖之間的相互轉化關系。因為巖漿只能生成巖漿巖，而巖漿巖可以轉化為沉積巖或變質巖，所以①為巖漿巖，④為巖漿。依據巖漿的形成條件，沉積巖要形成巖漿，首先要經過高溫融化；而各大類巖石在高溫高壓條件下通常會發生變質作用，因此沉積巖通常是先形成變質巖，爾后才能形成巖漿。至此可以判斷②為沉積巖、③為變質巖。

點評當問題中的條件、結論不明確或題意中含參數或圖形不確定時，就應分類討論。一方面可將復雜的問題分解成若干個簡單的問題，另一方面恰當的分類可避免遺漏，從而提高全面考慮問題的能力，提高周密嚴謹的數學素養。

其實數學方法與數學思想不僅可以解答一些地理選擇題，它還可以解決一切包含有關數據處理的地理問題。當前地理科學的發展一大趨勢就是計量化。因此，在高中地理教學過程中滲透一些數學方法與思想，不僅能夠提高學生解題能力，而且引導學生有意識地運用數學手段去分析、解決一些地理實際問題，為地理科學的進一步發展培養出大量的優秀后備人才。