用類比法來(lái)探究圖像中“面積”的應(yīng)用

李維兵

(南通高等師范學(xué)校 江蘇南通 226100)

類比法是中學(xué)物理教學(xué)中常用的一種基本方法,它是根據(jù)兩個(gè)對(duì)象在某些屬性或關(guān)系上相似而推出它們?cè)诹硪粋€(gè)屬性或關(guān)系上也可能相似的一種推理形式.在教學(xué)中,類比法不僅體現(xiàn)在概念、原理的理解上,而且也體現(xiàn)在解題應(yīng)用上.下面就用類比法來(lái)探究圖像中“面積”的應(yīng)用.

【例1】總質(zhì)量為80 kg的跳傘運(yùn)動(dòng)員從離地500 m的直升機(jī)上跳下,經(jīng)過(guò)2 s拉開(kāi)繩索開(kāi)啟降落傘,圖1所示是跳傘過(guò)程中的v-t圖像,試根據(jù)圖像估算14 s內(nèi)運(yùn)動(dòng)員下落的高度(g取10m/s2).

圖1

解析:由v-t圖中可知,運(yùn)動(dòng)員在14 s內(nèi)速度是非線性變化,只能通過(guò)由面積估算得出運(yùn)動(dòng)員在14 s內(nèi)下落的高度:即每格2×2m=4m,共計(jì)40×4m=160m(圖2).

圖2

通過(guò)該題,我們知道了在v-t圖像中,速度曲線與t軸所夾的面積表示位移大小.

其實(shí)圖像中的“面積”應(yīng)用很廣泛,在動(dòng)力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)中都可涉及;下面分別從這三方面來(lái)探究.

1 圖像中的“面積”在動(dòng)力學(xué)中應(yīng)用

【例2】質(zhì)量為2 kg的物體靜止在光滑水平面上,現(xiàn)對(duì)物體施加一水平力F,物體在力F作用下,產(chǎn)生的加速度a隨時(shí)間t的變化關(guān)系如圖3所示.重力加速度g取10m/s2,試根據(jù)圖3,求:

(1)物體開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)的拉力大小;

(2)估算物體在5 s內(nèi)的平均加速度;

(3)估算拉力F在10 s內(nèi)對(duì)物體所做的功.

圖3

解析:(1)由牛頓第二定律得

圖4

(2)與例1同理,由圖4估算可得5 s內(nèi)的面積為35×1m/s2×1 s=35m/s,此時(shí)5 s內(nèi)速度增量

平均加速度

代入數(shù)據(jù)得

從a-t圖中,我們可以發(fā)現(xiàn)加速度隨時(shí)間的變化是非線性的.雖然沒(méi)有學(xué)過(guò)非線性變化下的平均加速度的求法,但是可以利用類比法,在a-t圖中加速度a隨時(shí)間的變化圖像與t軸所圍的面積表示速度的增量,即5 s內(nèi)的面積可以表示5 s末的速度.這為動(dòng)力學(xué)中解決變加速運(yùn)動(dòng)提供了一個(gè)求解的方法.

2 圖像中的“面積”在電學(xué)中應(yīng)用

【例3】如圖5(a)所示,一邊長(zhǎng) L=2.5m、質(zhì)量m=0.5 kg的正方形金屬線框,放在光滑絕緣的水平面上,整個(gè)裝置放在方向豎直向上、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=0.8 T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中,它的一邊與磁場(chǎng)的邊界MN重合.在水平力F作用下由靜止開(kāi)始向左運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)5 s,線框被拉出磁場(chǎng).測(cè)得金屬線框中的電流隨時(shí)間變化的圖像如圖5(b)所示.在金屬線框被拉出的過(guò)程中:

(3)由圖像知v10=75m/s

(4)由動(dòng)能定理得外力做功

圖5

(1)求通過(guò)線框?qū)Ь€截面的電荷及線框的電阻;

(2)寫(xiě)出水平力F隨時(shí)間變化的表達(dá)式;

(3)已知在這5 s內(nèi)力F做功1.92 J,那么在此過(guò)程中,線框產(chǎn)生的焦耳熱是多少?

得

方法二 由I-t圖像中電流與時(shí)間所圍面積(圖6)得

又根據(jù)

得

圖6

(2)由電流-時(shí)間圖像可知,感應(yīng)電流隨時(shí)間變化的規(guī)律

線框做勻加速直線運(yùn)動(dòng),加速度

線框在外力F和安培力FA作用下做勻加速直線運(yùn)動(dòng)

(3)t=5 s時(shí),線框從磁場(chǎng)中拉出時(shí)的速度

線框中產(chǎn)生的焦耳熱

在線性變化下,平均值法和面積法都適用.在非線性變化下怎么辦?I-t圖線如圖7(a)所示,該如何求5 s內(nèi)通過(guò)線框?qū)Ь€截面的電荷?

解析:如圖7(b),只能用面積法.

通過(guò)本題探究,我們發(fā)現(xiàn)在I-t圖中電流隨時(shí)間的變化圖像與 t軸所圍的面積表示電荷的增加.這在電學(xué)中解決電學(xué)量非線性變化時(shí)提供了一個(gè)求解的方法.

3 圖像中的“面積”在熱學(xué)中應(yīng)用

【例4】圖8所示為一定質(zhì)量的某種理想氣體由狀態(tài)A經(jīng)過(guò)狀態(tài)C變到狀態(tài)B的圖像,下列說(shuō)法正確的是

圖8

A.該氣體在狀態(tài)A時(shí)的內(nèi)能等于在狀態(tài)B時(shí)的內(nèi)能

B.該氣體在狀態(tài)A時(shí)的內(nèi)能等于在狀態(tài)C時(shí)的內(nèi)能

C.該氣體由狀態(tài)A至狀態(tài)B為吸熱過(guò)程

D.該氣體由狀態(tài)A至狀態(tài)C對(duì)外界所做的功大于從狀態(tài)C至狀態(tài)B對(duì)外界所做的功

解析:在A點(diǎn)pAVA的數(shù)值為1.4.在B點(diǎn)pBVB的數(shù)值為1.4.由恒量,故

理想氣體內(nèi)能僅為溫度的函數(shù),所以選擇A選項(xiàng),排除B選項(xiàng).從A態(tài)到B態(tài),氣體一直對(duì)外做功,由ΔU=W+Q,可知,自A態(tài)至B態(tài)為吸熱過(guò)程,故選項(xiàng)C對(duì).對(duì)于D選項(xiàng),可以用面積來(lái)表示對(duì)外做功的多少.從A態(tài)到C態(tài)面積約占5格[圖9(a)];從C態(tài)到B態(tài)面積約占10格[圖9(b)]).不難看出從A態(tài)到C態(tài)對(duì)外做功比從C態(tài)到B態(tài)做功少,故選項(xiàng)D錯(cuò).

圖9

通過(guò)本題的探究,我們發(fā)現(xiàn)在p-V圖中壓強(qiáng)隨體積的變化圖線與體積所圍的面積表示對(duì)外做功的多少,這在熱學(xué)中解決壓強(qiáng)非線性變化下物體對(duì)外做功提供了一個(gè)求解的方法.

綜上所述,圖像中的“面積”在動(dòng)力學(xué)、電學(xué)、熱學(xué)中均有應(yīng)用,尤其對(duì)題目中涉及某個(gè)物理量隨另一個(gè)物理量非線性變化時(shí),可以采用類比的思想使物體的復(fù)雜過(guò)程變得簡(jiǎn)單明了.這種思維方法在物理解題過(guò)程中是非常重要的.