用“幾何畫板”的函數(shù)功能研究物理疑難問題

何征宇

(武進(jìn)高級中學(xué) 江蘇常州 213161)

“幾何畫板”在物理教學(xué)中的應(yīng)用已經(jīng)得到了廣大物理教師的認(rèn)可;它不僅能演示現(xiàn)象,還能夠拓展思維空間,發(fā)現(xiàn)“意料之外,道理之中”的問題.

筆者在高三復(fù)習(xí)教學(xué)中碰到這樣一道題:

圖1

如圖1所示,一輕繩通過無摩擦的定滑輪,一端與放在傾角為α=30°的光滑斜面上的質(zhì)量為m1的物體A相連,另一端與套在光滑豎直桿上質(zhì)量為m2的物體B相連,定滑輪M到豎直桿的距離為l=m,桿上N點(diǎn)與定滑輪的高度相同,當(dāng)物體B在距N點(diǎn)下方1m處時(shí),A和B恰好靜止.求:

(1)物體A和B的質(zhì)量之比.

(2)將物體B從N點(diǎn)靜止開始釋放,物體B下滑過程中的最大速度大小.

分析:對于第(1)問,根據(jù)平衡條件不難求出,物體A和B的質(zhì)量之比為m1:m2=4∶1.

對于第(2)問學(xué)生在討論中出現(xiàn)了以下兩種觀點(diǎn).

觀點(diǎn)1:由于物體B在N點(diǎn)下方1m處為平衡位置,因此,物體B經(jīng)過該點(diǎn)時(shí)加速度為零,速度達(dá)到最大.由題目所給條件可知此時(shí)滑輪左側(cè)的繩子轉(zhuǎn)過的角度為30°.這種觀點(diǎn)得到了絕大部分學(xué)生支持.

觀點(diǎn)2:當(dāng)物體B到達(dá)N點(diǎn)下方1m處時(shí),受力不一定平衡,因?yàn)槲矬wA未必處于平衡狀態(tài),所以無法確定該點(diǎn)是否為B物體下滑的最大速度所在位置.這種觀點(diǎn)只有很少幾個(gè)學(xué)生贊同.

那么,到底兩種觀點(diǎn)誰是誰非呢?

分析:設(shè)物體下落時(shí)左側(cè)繩子與水平方向夾角為θ,將B物體的速度v分解為沿繩子方向的分速度v1和垂直繩子方向的分速度v2(圖2),則有

當(dāng)B物體向下運(yùn)動(dòng)時(shí) θ增大,可知即使B物體的速度v保持不變,A物體的速度vA也會(huì)隨θ的增大而增大.

圖2

假如觀點(diǎn)1成立,即B物體在N點(diǎn)下方1m處受力平衡,速度最大,那么在B達(dá)到最大速度時(shí)的極短時(shí)間內(nèi),其運(yùn)動(dòng)可以看作是勻速運(yùn)動(dòng),根據(jù)以上關(guān)系式可得,A物此時(shí)處于加速狀態(tài),繩中張力應(yīng)該大于B物靜止在該點(diǎn)時(shí)繩中的張力,即B物體在此處受力是不平衡的,這與假設(shè)矛盾.所以觀點(diǎn)1錯(cuò)誤,觀點(diǎn)2成立.

但是,僅僅通過上面的定性分析仍然無法確定B物體最大速度所在位置.下面通過計(jì)算來確定這一位置.

由機(jī)械能守恒定律得

化簡后得

現(xiàn)在只需要討論(1)式中的函數(shù)的單調(diào)情況.從數(shù)學(xué)角度看,求出該函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為零時(shí)的θ值,就能求得y的極值.但對此函數(shù)求導(dǎo)難度很大,而且即使求出來,也很難解出對應(yīng)的 θ值.因此,想到用“幾何畫板”的函數(shù)功能進(jìn)行研究.

圖3

建立函數(shù):在“幾何畫板”中選擇“圖表”菜單的“新建函數(shù)”項(xiàng),輸入上面的函數(shù)(用x變量代替θ),確定后就能得到以上的函數(shù)表達(dá)式 f(x),然后選中此函數(shù)表達(dá)式,再選擇“圖表”菜單中的“導(dǎo)數(shù)”項(xiàng),就可以由電腦完成對此函數(shù)的求導(dǎo),得到導(dǎo)數(shù)表達(dá)式 f′(x)(圖3).但要解出 θ仍然很困難,因此,繼續(xù)采用“幾何畫板”的圖像功能來進(jìn)一步研究.

繪制圖像:選中這兩個(gè)函數(shù)表達(dá)式,在“幾何畫板”中選擇“圖表”菜單的“繪制函數(shù)”,就得到了這兩個(gè)函數(shù)的圖像(圖3).

由此圖可以看出θ約為0.33rad,即θ=18.9°時(shí)B物體速度最大;并不是第一種觀點(diǎn)中的30°時(shí)速度最大.

體會(huì):“幾何畫板”具有強(qiáng)大的計(jì)算功能和圖像功能,可以用來迅速有效地處理數(shù)據(jù),展示物理規(guī)律,這給我們研究物理問題突破難點(diǎn)提供了一種有效途徑.充分利用這些功能解決常規(guī)手段難以解決的物理問題,有利于推動(dòng)信息技術(shù)在物理教學(xué)中的應(yīng)用.同時(shí),也提醒我們,在編題、選題時(shí)要有科學(xué)的批判精神,要注意檢驗(yàn),用實(shí)事求是的態(tài)度對待教學(xué),不要僅僅采取“拿來主義”.