一道習題引發有關能量轉化問題的思考

劉 云 楊本查 朱永波

(盱眙中學 江蘇盱眙 211700)

筆者在電場的教學中講解了這樣一道例題.

有兩個完全相同的金屬球A和B,B球固定在絕緣地板上.A球處于離B球高為H的正上方,由靜止自由釋放后與B球碰撞后回跳高度為 h.設碰撞過程中無機械能損失,且不計空氣阻力.則

A.若A、B球帶等量同種電荷,則 h>H

B.若A、B球帶等量同種電荷,則 h

C.若A、B球帶等量異種電荷,則 h>H

D.若A、B球帶等量異種電荷,則 h=H

本題通常可從下落至回跳兩個過程中運用動能定理求解.過程如下.

當A、B兩球帶同種電荷,A下落過程中重力做正功

電場力做負功

碰后,兩球所帶電荷沒有變化,當A球回跳到原處過程中,重力做負功

電場力做正功

顯然A球從開始下落和回跳到原處的全過程中合外力做的總功為零,所以當A球回跳到原處時速度為零,即回跳高度

故A,B選項是錯誤的.

當A,B兩球帶等量異種電荷時,A球在下落過程中,重力做正功

電場力亦做正功

碰撞瞬間A,B兩球帶電中和.在回跳過程中只有重力做負功,當回跳到最高點時,根據動能定理有

顯然h>H.選項C正確.

在本題的講解中筆者只從做功的角度運用動能定理去分析解決問題,卻不曾從能量轉化的角度去深入思考.但是學生的思維是活躍的,在講解之后即有學生提出了這樣的疑問:當兩球帶等量同種電荷時,在釋放時A球所具有電勢能和重力勢能與回跳到原處時電勢能和重力勢能完全相同,所以可以得出

但是,當A、B兩球帶等量異種電荷,釋放時,A球所具有電勢能為負值

而在碰撞后,A,B兩球均不帶電,即碰后A球的電勢能為零,根據能量守恒應有

由于Ep為負值,所以有

這和我們所得結論是矛盾的.

2 問題的探究

表面上看這確實是一個矛盾,這矛盾緣于中學物理教材中對電勢能的系統性弱化處理,并且沒有涉及孤立帶電體的電勢能問題.學生對電勢能片面的理解導致了這一疑問的產生.筆者針對這一疑問做了定量分析.

2.1 孤立帶電金屬球的電勢能

一個半徑為R,帶電荷為Q的帶電金屬球,所具有電勢能等于不斷將電荷為 δq從無窮遠處移至金屬球上所克服電場力所做的功[1],所以有

2.2 兩個帶電球系統具有的電勢能

式中R1和R2分別表示兩小球的半徑,Q1和Q2為兩小球所帶電荷,r為兩帶電小球間距離.式(1)中第一項和第二項為兩個帶電小球自身所具有電勢能,第三項為兩個帶電球之間的相互作用電勢能.

2.3 討論

(1)若兩小球完全相同,且帶等量同種電荷.

兩小球碰后,各自電荷不變,當A球回跳到原處時,兩球系統在碰前和碰后具有相同的電勢能和重力勢能.根據能量守恒,小球回跳高度

(2)若兩小球完全相同,且帶等量異種電荷.

釋放時兩小球所具的電勢能為

H R,不妨設 H=nR,所以

因此,釋放時電勢能是正值.而碰后兩球系統的電勢能為零,所以整個過程中表現為電勢能向重力勢能轉化,所以

(3)若兩小球完全相同,且帶不等量異種電荷.

釋放時兩小球系統具有電勢能

碰后兩球所帶電荷相等

當A球回跳至原處時,兩小球系統具有電勢能

即碰撞后系統電勢能減少了,電勢能向重力勢能轉化,所以也有

(4)若兩小球完全相同,且帶不等量同種電荷.

釋放時兩小球系統具有電勢能,即

碰撞前后電勢能減少

碰后,兩球帶電荷相等

兩小球系統具有電勢能

碰后電勢能減少

同樣,我們可以得出碰后電勢能減少,電勢能向重力勢能轉化.所以有

3 結論

綜合上述四種情況,我們可得出,無論小球帶什么電性,帶電荷是否相等,碰后系統的電勢能均不可能增加,即碰后的高度h≥H.并且這一結論還可推廣至小球半徑不等的情況.這一結論同時說明了在碰撞過程中靜電力作用總是使電荷趨于電勢能最低狀態下分布,也是能量最低原理的體現.

1 趙凱華,陳熙謀.電磁學.北京:高等教育出版社,1985.102～108