潛艇模型尾流場(chǎng)脈動(dòng)速度及壓力的子波自相關(guān)分析

謝 華，姚惠之，田于逵，王小慶

（中國(guó)船舶科學(xué)研究中心，江蘇 無(wú)錫 214082）

1 引 言

船舶流體力學(xué)領(lǐng)域，艦艇尾部流場(chǎng)一直是備受關(guān)注的問(wèn)題，因?yàn)樗怯绊懪炌ё枇Α⑼七M(jìn)效率以及推進(jìn)器噪聲的重要因素，同時(shí)也是影響艦艇體振動(dòng)的因素之一。而艦艇尾部流場(chǎng)是復(fù)雜的湍流，在空間和時(shí)間上都有著復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。因此，研究潛艇尾部湍流非定常特性，即時(shí)間上的不穩(wěn)定度的概念表達(dá)及其試驗(yàn)提取技術(shù)，對(duì)于改善其水動(dòng)力和噪聲性能，具有十分重要的意義。

子波變換（又稱小波變換）是已經(jīng)發(fā)展起來(lái)的一種數(shù)字信號(hào)處理方法，在信號(hào)和圖象壓縮中得到應(yīng)用。傳統(tǒng)的傅里葉變換通過(guò)尋找信號(hào)的幅度和相位頻譜，用它的頻率分量對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析。但它不能將特性隨時(shí)間變化的信號(hào)（非平穩(wěn)信號(hào)）與特性不隨時(shí)間變化的信號(hào)（平穩(wěn)信號(hào)）區(qū)分開(kāi)來(lái)。子波變換的特點(diǎn)是用不同的分辨率分析信號(hào)中的不同頻率分量[1]，它通過(guò)信號(hào)與稱為子波的解析函數(shù)進(jìn)行卷積將信號(hào)在時(shí)域與頻域同時(shí)分解開(kāi)來(lái)，因此子波變換是一種時(shí)頻雙局部化方法。它可以在信號(hào)的任意位置對(duì)信號(hào)的頻率成分進(jìn)行局部化分析，將信號(hào)分解成能量有限的不同尺度的局部性的子波結(jié)構(gòu)分量的疊加。這在湍流物理上具有重要意義。構(gòu)成湍流的基本結(jié)構(gòu)是一系列不同尺度的湍渦，湍渦的空間、時(shí)間局域性結(jié)構(gòu)使得湍流表現(xiàn)一定的時(shí)、空間歇性。對(duì)湍流信號(hào)的恰當(dāng)?shù)姆纸鈶?yīng)當(dāng)是將湍流信號(hào)分解為子波這樣的能量有限的有一定尺度的局部的湍渦結(jié)構(gòu)[2]。

子波分解得到的子波系數(shù)，反映了湍流不同尺度渦的信息，對(duì)分尺度子波系數(shù)進(jìn)行相關(guān)運(yùn)算，能夠顯示不同大小的渦在時(shí)域上的擬序運(yùn)動(dòng)以及某一瞬時(shí)空間結(jié)構(gòu)上各尺度渦間的相互作用和關(guān)聯(lián)程度。時(shí)域相關(guān)平面圖能夠以可視化方式顯示湍流多尺度渦隨時(shí)間的演化過(guò)程[3]。

2 子波分析方法

設(shè)一維信號(hào)s（t）∈L2（R ），在子波函數(shù) ψa,b（t）下的連續(xù)子波變換Ws（a,b）定義為：

其中子波函數(shù)族ψab（t）是由子波母函數(shù)ψ（t）經(jīng)過(guò)參數(shù)b平移和參數(shù)a伸縮變換而來(lái)：

本文選用Morlet子波作為子波母函數(shù)，其簡(jiǎn)化的解析表達(dá)式為：

式中ω0為常數(shù)。在ω0≥5的條件下，此子波函數(shù)能滿足容許性條件。子波函數(shù)的尺度a與實(shí)際的時(shí)間尺度有一定的比例關(guān)系，當(dāng)ω0=6.203 61時(shí)，子波函數(shù)的尺度a與實(shí)際的時(shí)間尺度有1:1的關(guān)系。

信號(hào)s（t）的能量可以根據(jù)子波系數(shù)Ws（a,b）平方的積分表達(dá)為：

其中

原始信號(hào)s（t）可以由下列子波逆變換進(jìn)行重構(gòu)：

3 實(shí)驗(yàn)概況

實(shí)驗(yàn)在風(fēng)洞中進(jìn)行。風(fēng)洞試驗(yàn)段尺寸為長(zhǎng)×寬×高=8.5m×3.0m×3.0m，橫截面為八角形，橫截面積為7.875m2，風(fēng)速為3～93m/s連續(xù)可調(diào)，紊流度0.1%。熱線風(fēng)速儀為丹麥Dantec公司產(chǎn)StreamLine90型，帶有探頭自動(dòng)標(biāo)定單元，量程為0.02～300m/s。

脈動(dòng)壓力測(cè)試系統(tǒng)由NS-1微型動(dòng)態(tài)壓力傳感器組、TEAC-SA-55放大器、CRAS數(shù)據(jù)采集單元以及測(cè)控計(jì)算機(jī)組成，用與多點(diǎn)脈動(dòng)壓力測(cè)量。其中NS-1微型動(dòng)態(tài)壓力傳感器有關(guān)技術(shù)參數(shù)為：表面安裝尺寸為φ3.6mm，測(cè)量面積直徑2mm，固有頻率＞50kHz,量程為 12kPa（差壓），綜合精度為0.1%。

試驗(yàn)是在常溫、常壓、空氣介質(zhì)條件下進(jìn)行模型吹風(fēng)。試驗(yàn)風(fēng)速取U=20m/s。按模型長(zhǎng)度L=4.2m、空氣運(yùn)動(dòng)粘性系數(shù)ν=1.394×10-5m2/s（試驗(yàn)期平均氣溫8℃）計(jì)算，對(duì)應(yīng)試驗(yàn)雷諾數(shù)Re達(dá)6.0×106。測(cè)點(diǎn)距艇艏3.57m。模型由前后二支桿固定支撐在風(fēng)洞試驗(yàn)段中部，模型中軸線與風(fēng)洞實(shí)驗(yàn)段中心線重合。實(shí)驗(yàn)中同步測(cè)量脈動(dòng)壓力和速度信號(hào)，采樣頻率取f=20 000Hz，樣本長(zhǎng)度N=1 200 000，單點(diǎn)采樣時(shí)間達(dá)T=60s。具體的測(cè)試系統(tǒng)簡(jiǎn)圖見(jiàn)圖1。

圖1 潛艇尾流場(chǎng)測(cè)試系統(tǒng)示意圖Fig.1 Meraure system of submarine model wake

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析

通常我們對(duì)實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的湍流信號(hào)，如流速u（t）、壓強(qiáng)p（t）的分析，按擬序結(jié)構(gòu)觀點(diǎn)都采取三項(xiàng)分解形式[4-6]。 設(shè)f（t）代表某一湍流物理量

4.1 尾流場(chǎng)頻率特性子波系數(shù)與子波能譜分析

小波變換是按渦的尺度分解湍流的一種有效的工具，其子波能譜圖反映了不同尺度的湍渦結(jié)構(gòu)對(duì)湍流能量的貢獻(xiàn)。對(duì)子波系數(shù)Ws（a,b）進(jìn)行分析可以得到湍流速度等脈動(dòng)信號(hào)某一時(shí)刻的頻率特性，這為湍流尾流間歇性的分析提供了強(qiáng)有力的技術(shù)手段。

圖2為距離壁面高度z=35mm（y+=1 053）的脈動(dòng)速度子波系數(shù)圖和子波能譜圖。從圖2中看到，在湍流邊界層內(nèi)，脈動(dòng)速度信號(hào)中的頻率成分很多，能量主要集中在周期0.008s＜a＜0.12s處，與子波能譜圖中的時(shí)間周期相對(duì)應(yīng)。圖3為脈動(dòng)壓力的子波系數(shù)和子波能譜圖。壁面脈動(dòng)壓力的主要頻率成分相對(duì)較少，且頻率較為固定，能量主要集中在a=0.05，a=0.007 6兩個(gè)時(shí)間周期上。

對(duì)比脈動(dòng)壓力與脈動(dòng)速度的子波系數(shù)和子波能譜圖可知，脈動(dòng)速度出現(xiàn)了更多的含能量較多的子波分量，但與強(qiáng)烈脈動(dòng)壓力出現(xiàn)的時(shí)刻不一致。表明脈動(dòng)速度、脈動(dòng)壓力相互作用，既有相位差，同時(shí)也是非線性的。而且從圖中可以看出，隨著脈動(dòng)壓力、脈動(dòng)速度周期變大，其強(qiáng)度也增大。表明相對(duì)低頻區(qū)域，是該兩信號(hào)含能的主要區(qū)域。

圖2 脈動(dòng)速度子波分析圖（z=35mm）Fig.2 Wavelet analysis curve of fluctuating velocity

圖3 壁面脈動(dòng)壓力子波分析圖Fig.3 Wavelet analysis curve of wall pressure fluctuating

4.2 脈動(dòng)壓力與脈動(dòng)速度信號(hào)的自相關(guān)分析

一維信號(hào)x（）t的自相關(guān)函數(shù)定義為

泰勒尺度T是一個(gè)與湍流粘性耗散相聯(lián)系的小尺度渦的長(zhǎng)度尺度，沿壁面向外泰勒尺度是增大的。對(duì)于積分尺度則需要對(duì)曲線積分，而實(shí)驗(yàn)中原始數(shù)據(jù)的自相關(guān)函數(shù)曲線往往隨時(shí)間延遲呈現(xiàn)不規(guī)則的周期性特征，使積分尺度難以合理地確定，這實(shí)際上是湍流中多尺度結(jié)構(gòu)做擬周期運(yùn)動(dòng)相互疊加后的結(jié)果，需要辨識(shí)各分尺度各自的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。如圖4所示，在對(duì)數(shù)層內(nèi)區(qū)z=5mm（y＋=150）的自相關(guān)函數(shù)曲線上有很多小的周期性脈動(dòng)存在，難以準(zhǔn)確描述其周期長(zhǎng)度，到了對(duì)數(shù)層外區(qū)z=80mm（y＋=2 400）曲線變得更光滑，說(shuō)明小的擬序結(jié)構(gòu)消失了，剩下的是較大尺度的湍渦擬序運(yùn)動(dòng)。

圖5為脈動(dòng)壓力的自相關(guān)曲線。由圖可見(jiàn)，脈動(dòng)壓力相關(guān)曲線比較光滑，呈現(xiàn)出明顯的周期性，說(shuō)明脈動(dòng)壓力主要是大尺度湍渦結(jié)構(gòu)的擬序運(yùn)動(dòng)，而小尺度脈動(dòng)影響很小。

4.3 脈動(dòng)壓力與脈動(dòng)速度子波系數(shù)自相關(guān)分析

流動(dòng)顯示技術(shù)可從一定角度展示湍流邊界層的大尺度擬序結(jié)構(gòu)的空間分布及時(shí)間演化現(xiàn)象，但缺乏定量的分析能力，只是對(duì)大尺度擬序結(jié)構(gòu)的定性描述，捕捉不到更精細(xì)的小尺度結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，無(wú)法解釋湍流多尺度結(jié)構(gòu)的相互作用機(jī)理，而連續(xù)子波變換能夠抓住湍流的多尺度特征，定性和定量地分析不同湍渦的時(shí)間演化和相互作用，提取流動(dòng)顯示無(wú)法獲得的多尺度結(jié)構(gòu)，更全面、真實(shí)地反映流場(chǎng)的實(shí)際狀況。

圖4 邊界層脈動(dòng)速度自相關(guān)曲線Fig.4 Fluctuating velocity auto-correlation curve

圖5 脈動(dòng)壓力自相關(guān)曲線Fig.5 Auto-correlation curve of wall pressure fluctuating

Li等人[3]采用對(duì)分尺度子波系數(shù)進(jìn)行自相關(guān)分析的方法，得到湍流結(jié)構(gòu)的量化信息，豐富了流場(chǎng)可視化的手段。其子波自相關(guān)函數(shù)的定義為

為了更清楚地顯示湍流中湍渦的運(yùn)動(dòng)，我們將每個(gè)尺度的子波系數(shù)作自相關(guān)函數(shù)，可以分析該尺度湍流結(jié)構(gòu)的周期性運(yùn)動(dòng)規(guī)律，綜合所有尺度的自相關(guān)函數(shù)，能夠得到整體湍流多尺度結(jié)構(gòu)的時(shí)間尺度相關(guān)平面，從時(shí)域的角度顯示流動(dòng)結(jié)構(gòu)的周期性特征，表現(xiàn)多尺度相干渦的相互作用規(guī)律。圖6為采用Morlet子波基函數(shù)對(duì)脈動(dòng)速度進(jìn)行子波自相關(guān)分析得到的時(shí)間尺度相關(guān)平面。

對(duì)比圖4和圖6，脈動(dòng)速度信號(hào)中存在著多尺度的相干渦，其自相關(guān)函數(shù)曲線蘊(yùn)含的多尺度渦做周期運(yùn)動(dòng)、相互作用引起渦的合并及破碎的特征，在子波自相關(guān)時(shí)間尺度平面上清楚地顯示出來(lái)。根據(jù)圖6我們可以得到某一時(shí)間周期內(nèi)相關(guān)函數(shù)隨時(shí)間變化的趨勢(shì)和某一時(shí)刻相關(guān)函數(shù)隨時(shí)間周期變化的趨勢(shì)，如圖7所示。

從圖7可以看到，在a=0.1s處相關(guān)函數(shù)曲線呈周期性分布，表明在這個(gè)尺度下主要是大尺度渦的擬周期運(yùn)動(dòng)，而小尺度脈動(dòng)影響很小。

為了更清楚地研究小尺度渦的運(yùn)動(dòng)，我們將子波自相關(guān)圖分別放大了2倍，4倍，8倍，16倍進(jìn)行了 分析，見(jiàn)圖8。

圖6 脈動(dòng)速度子波系數(shù)自相關(guān)曲線（z=5mm）Fig.6 Auto-correlation of fluctuation velocity wavelet

圖7 相關(guān)曲線隨某一時(shí)間或某個(gè)時(shí)間周期變化曲線Fig.7 Correlation curve varied with some time or period

圖中b坐標(biāo)為分析樣本長(zhǎng)度時(shí)間，尺度a代表時(shí)間周期。從圖8中可以清楚地看到各種渦的多尺度時(shí)域分布特征。圖中相關(guān)性最強(qiáng)的位置是渦心，相鄰渦之間相關(guān)性最弱的部分是兩個(gè)渦的分界線。某瞬時(shí)的相干結(jié)構(gòu)往往不止一個(gè)，大尺度與中尺度的渦并存，且具有不同程度的相關(guān)性。沿著時(shí)間歷程，會(huì)有某尺度的渦出現(xiàn)明顯的周期性特征，并伴有與相鄰尺度渦的合并或分離，說(shuō)明該時(shí)間段內(nèi)做擬序運(yùn)動(dòng)的相干渦與鄰近尺度的渦存在強(qiáng)烈相互作用，結(jié)果導(dǎo)致渦的合并或破裂，周期終止，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后會(huì)有下一周期的出現(xiàn)，所以成為一種擬周期的運(yùn)動(dòng)形式。例如圖中A點(diǎn)，在t=0.08s時(shí)刻，相鄰兩個(gè)尺度的渦出現(xiàn)了合并，而到了t=0.14s時(shí)刻（圖中B點(diǎn)），相鄰兩個(gè)尺度的渦又出現(xiàn)了破裂。這些擬周期的渦主要集中在較大尺度空間中。

圖8 放大后的脈動(dòng)速度子波系數(shù)自相關(guān)曲線（z=5mm）Fig.8 Magnified auto-correlation curve of fluctuation velocity wavelet(z=5mm)

圖9 脈動(dòng)速度子波系數(shù)自相關(guān)曲線（z=80mm）Fig.9 Auto-correlation curve of fluctuation velocity wavelet(z=80mm)

綜合圖6和圖8可以看到，在a＞0.09s處，存在著明顯的相干渦，并隨著時(shí)間周期性出現(xiàn)。在0.008s＜a＜0.09s處，在不同尺度渦之間強(qiáng)烈的相互作用引起了渦的合并或破裂。在a＜0.008s處，分布著許多小尺度的渦，其相關(guān)性近似，具有普遍的分形特征，表明邊界層湍流具有自相似的多尺度結(jié)構(gòu)，各尺度間的相互作用引起不同渦的合并或分離。

從定量上看，圖中所有擬周期運(yùn)動(dòng)的渦從相關(guān)性最強(qiáng)的10.48到相關(guān)性最弱的-10.31，經(jīng)歷一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期，圖形特征一般為典型的兩個(gè)封閉圓；對(duì)于非擬周期的結(jié)構(gòu)大多呈現(xiàn)自相似形態(tài)，相關(guān)強(qiáng)度很小，數(shù)量巨大，多分布于a＜0.008s的小尺度范圍內(nèi)，成為廣泛存在的背景湍流。從各尺度渦的時(shí)間尺度相關(guān)平面上看，相關(guān)性強(qiáng)的渦與無(wú)相關(guān)性或極弱相關(guān)性的區(qū)域同時(shí)存在，在大尺度向小尺度的過(guò)渡過(guò)程中，相關(guān)性下降很快，小尺度渦的相關(guān)性更弱。這部分無(wú)相關(guān)性的區(qū)域是湍流的無(wú)結(jié)構(gòu)成分，它廣泛地存在于小尺度范圍內(nèi)，數(shù)量巨大，但含能很少，大尺度渦相互作用過(guò)程中能量逐級(jí)傳遞，最終被粘性耗散在這最小的尺度上。

由于這種相干結(jié)構(gòu)的擬序運(yùn)動(dòng)在邊界層各區(qū)域的分布規(guī)律各異，我們對(duì)對(duì)數(shù)層外區(qū)z=80mm（y+=2 400）所測(cè)得的速度信號(hào)進(jìn)行了子波自相關(guān)分析。

從圖9中我們可以清楚地看到，在時(shí)間周期a=0.02s處存在大尺度的擬序運(yùn)動(dòng)，而其他尺度沒(méi)有明顯的周期性，說(shuō)明在對(duì)數(shù)率層外區(qū)，小尺度結(jié)構(gòu)的擬周期運(yùn)動(dòng)減少甚至消失，擬序運(yùn)動(dòng)只在大尺度上發(fā)生。

由于壁壓強(qiáng)脈動(dòng)是邊界層內(nèi)所有部分速度脈動(dòng)的共同貢獻(xiàn)，壁壓強(qiáng)脈動(dòng)的特性不僅反映線性底層區(qū)的相干結(jié)構(gòu)，也綜合反映了對(duì)湍流生成貢獻(xiàn)最大的緩沖區(qū)相干結(jié)構(gòu)的影響。因此分析壁壓強(qiáng)脈動(dòng)信號(hào)可以間接了解經(jīng)過(guò)邊界層的相干結(jié)構(gòu)的時(shí)間特征。圖10為脈動(dòng)壓力子波自相干曲線圖，由圖可見(jiàn)，在0.05s＜a＜0.1s處，存在著明顯的相干渦，并隨著時(shí)間周期性地出現(xiàn)。在其它尺度范圍內(nèi)，相關(guān)性近似為0，說(shuō)明脈動(dòng)壓力信號(hào)中主要是較大尺度湍渦的擬序運(yùn)動(dòng)，而小尺度脈動(dòng)影響很小。

圖10 脈動(dòng)壓力子波系數(shù)自相關(guān)曲線（z=5mm）Fig.10 Auto-correlation curve fluctuation wall pressure wavelet(z=5mm)

5 結(jié) 論

綜上所述，本文采用連續(xù)子波變換對(duì)脈動(dòng)速度和脈動(dòng)壓力進(jìn)行互相關(guān)和自相關(guān)分析得到了以下結(jié)論：

（1）對(duì)比脈動(dòng)壓力與脈動(dòng)速度的子波系數(shù)和子波能譜圖可知，脈動(dòng)速度出現(xiàn)了更多的含能量較多的子波分量，但與強(qiáng)烈脈動(dòng)壓力出現(xiàn)的時(shí)刻不一致。表明脈動(dòng)速度、脈動(dòng)壓力相互作用，既有相位差，同時(shí)也是非線性的。隨著脈動(dòng)壓力、脈動(dòng)速度周期變大，其強(qiáng)度也增大。表明相對(duì)低頻區(qū)域，是該兩信號(hào)含能的主要區(qū)域。

（2）子波自相關(guān)能提供湍流更為豐富的時(shí)頻域運(yùn)動(dòng)特征信息，對(duì)研究湍流邊界層中的猝發(fā)過(guò)程和相干結(jié)構(gòu)的相互作用顯示出獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)，可以定性和定量地分析不同湍渦的時(shí)間演化和相互作用，提取流動(dòng)顯示無(wú)法獲得的多尺度結(jié)構(gòu)，更全面、真實(shí)地反映流場(chǎng)的實(shí)際狀況。

（3）子波多尺度自相關(guān)函數(shù)反映出湍流邊界層相干結(jié)構(gòu)在時(shí)空中呈多尺度分布。脈動(dòng)速度信號(hào)自相關(guān)曲線中，在a＞0.09s處，存在著明顯的相干渦，并隨著時(shí)間周期性出現(xiàn)。在0.008s＜a＜0.09s處，不同尺度渦之間強(qiáng)烈的相互作用引起了渦的合并或破裂。在a＜0.008s處，分布著許多小尺度的渦，其相關(guān)性近似，具有普遍的分形特征，表明邊界層湍流具有自相似的多尺度結(jié)構(gòu)。

（4）壁壓強(qiáng)脈動(dòng)是邊界層內(nèi)所有部分速度脈動(dòng)的共同貢獻(xiàn)，壁壓強(qiáng)脈動(dòng)的特性不僅反映線性底層區(qū)的相干結(jié)構(gòu)，也綜合反映了對(duì)湍流生成貢獻(xiàn)最大的緩沖區(qū)相干結(jié)構(gòu)的影響。因此分析壁壓強(qiáng)脈動(dòng)信號(hào)可以間接了解經(jīng)過(guò)邊界層的相干結(jié)構(gòu)的時(shí)間特征。脈動(dòng)壓力子波自相關(guān)曲線中，在0.05s＜a＜0.1s處，存在著明顯的相干渦，并隨著時(shí)間周期性出現(xiàn)。在其它尺度范圍內(nèi)，相關(guān)性近似為0，說(shuō)明脈動(dòng)壓力信號(hào)中只存在較大尺度湍渦的擬序運(yùn)動(dòng)。

（5）從各尺度渦的時(shí)間尺度相關(guān)平面上看，相關(guān)性強(qiáng)的渦與無(wú)相關(guān)性或極弱相關(guān)性的區(qū)域同時(shí)存在，在大尺度向小尺度的過(guò)渡過(guò)程中，相關(guān)性下降很快，小尺度渦的相關(guān)性更弱。這部分無(wú)相關(guān)性的區(qū)域是湍流的無(wú)結(jié)構(gòu)成分，它廣泛存在于小尺度范圍內(nèi)，數(shù)量巨大，但含能很少，大尺度渦相互作用過(guò)程中能量逐級(jí)傳遞，最終被粘性耗散在這最小的尺度上。

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