線性代數(shù)課程基本概念的常見教學(xué)法*

趙偉舟

第二炮兵工程學(xué)院數(shù)學(xué)室 西安 710025

作者：趙偉舟，第二炮兵工程學(xué)院基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教研室，講師，碩士。

線性代數(shù)課程是工科院校開設(shè)的一門數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，其內(nèi)容是研究線性空間的重要基礎(chǔ)，為解決線性問(wèn)題提供了重要工具。線性代數(shù)課程對(duì)于培養(yǎng)學(xué)員線性問(wèn)題的求解能力和線性空間的思維能力具有重要意義。

1 線性代數(shù)的課程特點(diǎn)

基本概念通常是數(shù)學(xué)課程的教學(xué)重點(diǎn)和教學(xué)難點(diǎn)，深入理解基本概念是數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)的前提，基本概念的教學(xué)方法將直接影響數(shù)學(xué)課程的教學(xué)效果。線性代數(shù)課程包含較多的基本概念，這些概念通常缺少必要的實(shí)際背景。此外，線性代數(shù)課程的自身特點(diǎn)也容易導(dǎo)致教學(xué)中的諸多問(wèn)題。以第二炮兵工程學(xué)院開設(shè)的線性代數(shù)課程為例，該門課程在學(xué)時(shí)安排和內(nèi)容講解上具有2個(gè)特點(diǎn)。

1.1 學(xué)時(shí)緊張

線性代數(shù)課程教學(xué)時(shí)間一般分配為30～38學(xué)時(shí)，在這一時(shí)間內(nèi)完成線性代數(shù)課程的詳細(xì)講解幾乎是不可能的。為提高教學(xué)效率，即使教學(xué)實(shí)施期間嚴(yán)格區(qū)分了重點(diǎn)內(nèi)容和難點(diǎn)內(nèi)容，仍因教學(xué)時(shí)間的嚴(yán)重不足，導(dǎo)致線性代數(shù)課程的講授無(wú)法深入進(jìn)行，教學(xué)測(cè)試結(jié)果普遍反映出學(xué)員對(duì)線性空間的理解較為膚淺，知識(shí)掌握僅停留應(yīng)用簡(jiǎn)單的方法進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，缺少完整的理論體系和求解線性問(wèn)題的實(shí)際能力。

1.2 案例缺乏

線性代數(shù)課程主要討論線性問(wèn)題，主要是線性方程組的解法。雖然許多問(wèn)題的求解都可歸結(jié)為線性方程組求解，但以具體實(shí)例作為授課內(nèi)容的案例組織課堂教學(xué)并非易事。究其原因，由線性方程組研究解的情況容易，而借助特定的方程組難以還原生活中的具體實(shí)例。教學(xué)過(guò)程缺乏實(shí)際案例，課堂教學(xué)容易陷入基本概念＋性質(zhì)＋定理的教學(xué)模式，難以從建模角度培養(yǎng)學(xué)員分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)能力，課堂氛圍易顯枯燥和乏味，難以調(diào)動(dòng)學(xué)員線性代數(shù)課程學(xué)習(xí)的積極性。

2 線性代數(shù)課程基本概念的特點(diǎn)

線性代數(shù)的課程內(nèi)容決定了基本概念具有不同于其他數(shù)學(xué)課程基本概念的特點(diǎn)，主要體現(xiàn)在3個(gè)方面。

2.1 概念多

線性代數(shù)課程包括行列式、矩陣、向量組和二次型，各章節(jié)自成體系，從不同角度進(jìn)行線性問(wèn)題的研究。各章節(jié)具有自成體系的概念、性質(zhì)和定理，過(guò)多的基本概念增加了線性代數(shù)課程的理論教學(xué)內(nèi)容，也弱化了線性代數(shù)課程的工具課特質(zhì)，使得課程教學(xué)容易陷入理論教學(xué)授課模式。

2.2 概念抽象

抽象的概念幾乎是所有數(shù)學(xué)課程研究的出發(fā)點(diǎn)，但是與其他數(shù)學(xué)課程不同的是，線性代數(shù)課程的基本概念幾乎無(wú)法在實(shí)際問(wèn)題中找到相應(yīng)的原型，多數(shù)概念的提出是在求解過(guò)程中按照某種條件或需要給出的某種定義。

2.3 定義方式多樣

線性代數(shù)課程的某些基本概念具有多種定義方式，這些定義從不同角度闡述同一概念，不少概念的定義方式相當(dāng)靈活（常見于某些教材和教輔資料），學(xué)習(xí)過(guò)程容易混淆概念。

3 線性代數(shù)基本概念的教學(xué)方法

鑒于線性代數(shù)的課程特點(diǎn)和概念特點(diǎn)——缺乏生活實(shí)例和數(shù)學(xué)原型，因此通常的“開門見山式”給出概念顯得內(nèi)容承接不夠自然，學(xué)員對(duì)概念的形成過(guò)程難以與以往知識(shí)形成必然聯(lián)系。筆者認(rèn)為，線性代數(shù)課程的基本概念教學(xué)可采用下面幾種方法，以解決或緩解概念教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)的諸多問(wèn)題。

3.1 設(shè)問(wèn)式

設(shè)問(wèn)式教學(xué)主要是通過(guò)合理設(shè)問(wèn)，促使學(xué)員積極思考，引出章節(jié)內(nèi)容，給出基本概念。該方法適用于章節(jié)內(nèi)容易從某個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題引入的情形，合理的設(shè)問(wèn)可以體現(xiàn)在內(nèi)容回顧和問(wèn)題分析上，不疑不思。通過(guò)開課前的設(shè)問(wèn)，可以培養(yǎng)學(xué)員積極動(dòng)腦的學(xué)習(xí)習(xí)慣，盡快融入課堂教學(xué)過(guò)程。線性代數(shù)課程教學(xué)基于學(xué)員的知識(shí)水平進(jìn)行恰如其分的設(shè)問(wèn)，學(xué)員依據(jù)問(wèn)題進(jìn)行必要的思考和回答，不但可以及時(shí)反映學(xué)員的知識(shí)接受情況，而且可以師生互動(dòng)活躍課堂氣氛，最終促進(jìn)學(xué)員對(duì)基本概念的深入理解。

3.2 啟發(fā)式

啟發(fā)式教學(xué)可以避免開門見山給出數(shù)學(xué)概念的突然性，避免教學(xué)過(guò)程中內(nèi)容的銜接不當(dāng)。教學(xué)過(guò)程中不斷啟發(fā)學(xué)員，使之緊跟教學(xué)進(jìn)程。根據(jù)教學(xué)內(nèi)容啟發(fā)學(xué)員充分理解基本概念的內(nèi)容和意義，啟發(fā)學(xué)員自行發(fā)現(xiàn)概念所具備的顯而易見的結(jié)論（性質(zhì)），通過(guò)分析，啟發(fā)學(xué)員發(fā)現(xiàn)可能存在的一般結(jié)論（定理）。運(yùn)用啟發(fā)式進(jìn)行線性代數(shù)基本概念的教學(xué)，重在啟發(fā)學(xué)員根據(jù)實(shí)際問(wèn)題構(gòu)造所需的數(shù)學(xué)概念。然而，啟發(fā)過(guò)程應(yīng)盡可能地圍繞基本概念進(jìn)行環(huán)環(huán)相扣的詳盡分析，幫助學(xué)員深刻理解其本質(zhì)，而不僅僅停留在基本概念的內(nèi)容識(shí)記上。

3.3 案例式

案例式教學(xué)主要適用于講授內(nèi)容可歸結(jié)為解決某一類實(shí)際問(wèn)題的情況，課堂設(shè)計(jì)以案例作為主線，從理論到方法組織教學(xué)，從案例抽象出數(shù)學(xué)概念，詳細(xì)分析概念所具有的性質(zhì)，最后再回到具體案例，進(jìn)行相關(guān)具體方法的討論。這一方法引出概念較為自然，講授過(guò)程易于結(jié)合實(shí)例將抽象問(wèn)題具體化，活躍課堂氛圍。案例教學(xué)可以培養(yǎng)學(xué)員的建模思想，提高學(xué)員的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，學(xué)員能從案例求解中逐步體會(huì)“學(xué)以致用”的特點(diǎn)。值得注意的是，案例式教學(xué)仍應(yīng)以基本概念教學(xué)為主，而不僅僅只是為解決案例中的具體問(wèn)題。案例式教學(xué)需要幫助學(xué)員認(rèn)識(shí)到建立線性代數(shù)基本概念的實(shí)用性，但不能過(guò)分強(qiáng)調(diào)案例求解的具體過(guò)程，否則會(huì)影響線性代數(shù)課程的基本工具特性，學(xué)員會(huì)形成某一概念或方法只能解決這一具體實(shí)例的錯(cuò)覺(jué)。

3.4 類比式

線性代數(shù)課程的某些基本概念，是高等數(shù)學(xué)或其他數(shù)學(xué)學(xué)科中某些概念的推廣；還有一些概念名稱相同，卻在不同問(wèn)題的研究中經(jīng)常出現(xiàn)；更有一些概念雖名稱不同，卻具有相同實(shí)質(zhì)。將類比法應(yīng)用于聯(lián)系緊密的基本概念教學(xué)，不但可以避免新概念的生硬引入，又可以在課堂教學(xué)中積極引導(dǎo)學(xué)員復(fù)習(xí)已有的概念或知識(shí)。在舊有概念和嶄新概念之間形成類比，有助于學(xué)員對(duì)相近概念進(jìn)行必要的區(qū)分和聯(lián)系，深入理解基本概念并改善教學(xué)效果。

3.5 其他

隨著計(jì)算機(jī)逐步進(jìn)入課堂，線性代數(shù)課程的某些基本概念，同樣可以借助多媒體教學(xué)深入講解。多媒體教學(xué)改善線性代數(shù)以及其他數(shù)學(xué)課程的教學(xué)效果是有目共睹的，但是絕不能完全代替板書推導(dǎo)，尤其是線性代數(shù)這類以計(jì)算為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)學(xué)科。

4 結(jié)語(yǔ)

線性代數(shù)課程的基本概念是理解線性空間理論的基礎(chǔ)，忽視基本概念教學(xué)法的研究和使用，將直接影響學(xué)員對(duì)基本概念的深入理解，無(wú)法從更深層面理解線性代數(shù)課程作為工具課的特性。此外，應(yīng)用教學(xué)法應(yīng)注意兩個(gè)問(wèn)題：一是教學(xué)法在講授線性代數(shù)課程的基本概念時(shí)不是一成不變的，不是說(shuō)某一基本概念只能用某種教學(xué)法，教學(xué)法應(yīng)當(dāng)是根據(jù)課堂教學(xué)的實(shí)際情況，不斷調(diào)整教學(xué)的基本方法；二是教學(xué)法也不是孤立的，對(duì)某些重要概念可以借助多種教學(xué)法進(jìn)行講解，以促進(jìn)學(xué)員從不同角度真正理解概念的內(nèi)涵和具體應(yīng)用。

[1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.線性代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,1986

[2]教育部人事司.高等教育心理學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1999

[3]李克東,謝幼如.多媒體組合教學(xué)設(shè)計(jì)[M].北京:科學(xué)出版社,1992

[4]教育部高教司.高等教學(xué)改革研究報(bào)告（非數(shù)學(xué)專業(yè)）[M].北京:高等教育出版社,2000