題不在多 有悟則靈
——談一道高考題的探究

●傅阿勇 虞金龍 (紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

題不在多 有悟則靈
——談一道高考題的探究

●傅阿勇 虞金龍 (紹興市第一中學(xué) 浙江紹興 312000)

近幾年高考試題穩(wěn)中有變，變中求新，每年都有幾道考題與“舊題”似曾相識．教師在講課時應(yīng)該遵循“少而精”的原則，對重點(diǎn)、熱點(diǎn)問題應(yīng)進(jìn)行專門、集中的講解和探究，要“挖得深，講得透”．本文談?wù)勔坏栏呖碱}的探究，旨在拋磚引玉．

圖1

題目如圖1，設(shè)拋物線方程為 x2=2py(p＞0)，M 為直線y=－2p上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為 A，B，求證:點(diǎn) A，M，B 的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

因此點(diǎn)A，M，B的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

教師往往講到此為止，但筆者以為這樣為講題而講題，上課的效果會大打折扣．若能仔細(xì)悟題，則可以大大提高課堂教學(xué)的有效性．

1 悟其解題方法，尋找一題多解

進(jìn)行一題多解可以啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生從不同角度、不同思路、運(yùn)用不同的方法來解答問題，有利于充分調(diào)動學(xué)生思維的積極性，提高學(xué)生綜合運(yùn)用已學(xué)知識解答數(shù)學(xué)問題的能力;有利于鍛煉學(xué)生思維的靈活性，促進(jìn)學(xué)生知識與智慧的增長;有利于開拓學(xué)生的思路，引導(dǎo)學(xué)生靈活地掌握知識之間的聯(lián)系，培養(yǎng)和發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性．

2 悟其解題特征，化特殊為一般

教師在教學(xué)時要認(rèn)真研究解題過程，對解題過程出現(xiàn)的一些特征、結(jié)果進(jìn)行推廣，變特殊為一般，讓學(xué)生在更高的角度上、更高的層次上重新認(rèn)識問題，這樣做有助于促使學(xué)生對問題產(chǎn)生新的認(rèn)識，有助于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神與創(chuàng)新意識，對提高數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的有效性有著十分重要的作用．

結(jié)論1設(shè)拋物線方程為x2=2py(p＞0)．若M(x0，y0)是拋物線外任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)A，B，M的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．

結(jié)論3P(x0，y0)是拋物線x2=2py上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為x0x=p(y+y0)．

證明設(shè) A(x1，y1)，B(x2，y2)，由結(jié)論 2 可知，過點(diǎn)A，B的切線方程分別為

因?yàn)辄c(diǎn) A(x1，y1)，B(x2，y2)都在直線 x0x=p(y+y0)上，而過點(diǎn)A，B有且只有1條直線，所以直線AB的方程為x0x=p(y+y0)，結(jié)論3成立．

同理可得以下一般性結(jié)論．

結(jié)論4設(shè)拋物線方程為y2=2px(p＞0)．若M(x0，y0)是拋物線外任意一點(diǎn)，過點(diǎn)M引拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則點(diǎn)A，B，M的縱坐標(biāo)成等差數(shù)列．

結(jié)論5P(x0，y0)是拋物線y2=2px上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線的切線，則切線的方程為y0y=p(x+x0)．

結(jié)論6P(x0，y0)是拋物線y2=2px上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線AB的方程為y0y=p(x+x0)．

3 悟其解題過程，設(shè)計新的變式

在教學(xué)中，要對命題進(jìn)行不同方向、不同情形、不同背景的變式，充分揭露問題的本質(zhì)，揭示不同知識點(diǎn)的內(nèi)在聯(lián)系，把不熟悉的知識變?yōu)槭煜さ闹R，做到舉一反三，可以有效減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，大大提高課堂教學(xué)的有效性．

圖2

如圖2，取AB中點(diǎn)為N，連結(jié)MN．設(shè)過點(diǎn)M與y軸垂直的直線為 l，過點(diǎn) A作AA1⊥l，過點(diǎn) B 作 BB1⊥l．由例題結(jié)論可知MN是梯形ABB1A1的中位線，當(dāng) AB過拋物線焦點(diǎn)F，點(diǎn)M在準(zhǔn)線y=－上時，

|AB|=|AF|+|BF|=|AA1|+|BB1|=2|MN|，此時以線段AB為直徑的圓過點(diǎn)M，即MA⊥MB，由此可以得到一個很好的變式:

(1)點(diǎn)M必在準(zhǔn)線上;

(2)FM⊥AB;

(3)MA⊥MB;

(4)|FM|2=|FA|·|FB|．

證明略．

4 悟其類比思想，力求通性通法

拋物線是圓錐曲線的一種，運(yùn)用類比思想可以在橢圓、雙曲線中得到如下結(jié)論:

(2)略．

這樣可以把不熟悉的切線問題變?yōu)槭煜さ慕裹c(diǎn)弦問題，由此又可以得到下面的變式．

類似結(jié)論還有很多，這里不再一一舉例．

在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，對例題要進(jìn)行多方面的感悟，悟其解題方法、悟其解題過程、悟其解題特征、悟其類比思想，舉一反三，觸類旁通．不僅要做一題懂一題，而且要做一題懂一片，這樣才能使復(fù)習(xí)起到最大的作用．