用等圓相交對稱性解磁場軌跡問題

馮王亮 何海明

( 紹興市第一中學 浙江 紹興 312000 )

帶電粒在磁場中的軌跡問題,其本質是平面幾何知識與物理知識的綜合應用.由于這類問題靈活多變，最能體現學生數理結合的綜合應用能力，歷年來為高考命題者所青睞.帶電粒子在勻強磁場中的運動軌跡是圓弧，離不開圓的幾何知識.當磁場區域受圓形邊界約束時，軌跡問題實際上是二圓相交問題.利用等圓相交的對稱性特點，可以快速、簡潔地求解帶電粒子在磁場中運動的軌跡問題.

1 用優弧和劣弧的互補對稱性

圖1

【例1】(1999年全國高考第24題)如圖2所示，虛線AB是一垂直紙面的平面與紙面的交線，在平面右側的半空間，存在磁感應強度為B、方向垂直紙面向外的勻強磁場.O是AB上的一點，從O點可以向磁場區域發射電荷量為+q、質量為m、速率為v的粒子，粒子射入磁場時的速度可在紙面內各個方向.已知先后射入的兩個粒子恰好在磁場中給定的P點相遇，P到O的距離為L，不計重力和粒子間的相互作用.求：

(1)所考查的粒子在磁場中的軌道半徑；

(2)這兩個粒子從O點射入磁場的時間間隔.

圖2

分析與解：(1)設粒子的軌道半徑為r，粒子受到的洛倫茲力提供向心力

(2)作兩個相交的等圓，交點分別為O、P(圖1).先后從O點射出的兩個粒子在P點相遇，根據互補對稱性的時差規律，先后從O點射出的兩個粒的時間差為

由幾何關系知

解得

2 用等圓交點切線方向的對稱性

過兩個等圓的交點O、P，分別作兩圓的切線，由等圓相交的對稱性不難證明，切線方向也是平行對稱的(圖3).其物理意義是粒子軌道半徑等于磁場區域圓半徑的條件下，粒子從磁場射出的速度方向，和磁場邊界上入射點的切線平行.

圖3

【例2】 如圖4所示，真空中有一以(r，0)為圓心，半徑為r的圓柱形勻強磁場區域，磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向里，在y≥r的范圍內，有方向水平向左的勻強電場，電場強度的大小為E；從O點向不同方向發射速率相同的質子，質子的運動軌跡均在紙面內. 已知質子的電荷為e，質量為m，質子在磁場中的偏轉半徑也為r，不計重力及阻力的作用，求：

(1)質子射入磁場時的速度大小；

(2)速度方向沿x軸正方向射入磁場的質子，到達y軸所需的時間；

(3)速度方向與x軸正方向成30°角(圖4)射入磁場的質子，到達y軸的位置坐標.

圖4

分析與解：(1)磁場中洛倫茲力提供向心力

質子射入磁場時的速度

磁場中經歷時間

在電場中

解出

質子到達y軸所需要的時間

(3)由兩等圓交點切線方向的對稱性知，從磁場邊界O點射入的質子，出射方向平行于過入射點O磁場圓的切線方向，所以質子仍沿y軸正方向射入電場做類平拋運動，如圖5所示.結合幾何關系列出

圖5

解得

3 用等圓交點位置的對稱性

由等圓相交的對稱性可知，過交點的直徑相互平行.如果磁場圓交于軌跡圓的最高點，則軌跡圓必過磁場圓的最低點.以交點O為原點，過O點的直徑為y軸，其物理意義便一目了然(圖6)，當帶電粒子平行x軸正向射入磁場區域，粒子必經過原點O離開磁場.反之，從O點向各方向射出進入磁場的粒子必定平行于x軸方向射出磁場.

圖6

【例3】(2009年浙江高考第25題)如圖7所示，x軸正方向水平向右，y軸正方向豎直向上.在xOy平面內有與y軸平行的勻強電場，在半徑為R的圓內還有與xOy平面垂直的勻強磁場.在圓的左邊放置一個帶電微粒發射裝置，它沿x軸正方向發射出一束具有相同質量m、電荷量q(q>0)和初速度v的帶電微粒.發射時，這束帶電微粒分布在0

圖7

(1)從A點射出的帶電微粒平行于x軸從C點進入有磁場區域，并從坐標原點O沿y軸負方向離開，求電場強度和磁感應強度的大小與方向.

(2)請指出這束帶電微粒與x軸相交的區域，并說明理由.

(3)若這束帶電磁微粒初速度變為2v，那么它們與x軸相交的區域又在哪里？并說明理由.

分析與解：(1)帶電粒子平行于x軸從C點進入磁場，并從O點沿y軸負方向離開，說明粒子的重力和電場力平衡，并且粒子軌跡半徑等于磁場區域半徑r=R.

重力和電場力平衡

mg=qE

得電場強度

方向沿y正向.

帶電粒子進入磁場后做圓周運動

得磁感應強度

方向垂直紙面向外.

圖8

(2)帶電粒子沿x軸正方向射入圓形磁場區域，根據等圓交點位置對稱性推論知，平行于x軸正方向射入磁場區域的粒子，如果軌道半徑等于磁場半徑，所有粒子的軌跡必經過磁場邊界的同一點，也就是磁場區域邊界圓的最低點坐標原點(圖8).

(3)帶電微粒初速度變為2v后，軌道半徑變為2r.靠近A點發射出的粒子穿過磁場后會射向x軸正向無窮遠處；靠近N點射向磁場的粒子會在靠近原點處穿出磁場.所以，這束帶電粒子與x軸相交區域的范圍是x>0.