對一道繩做功問題的探討

俞樹堂

(民樂縣第一中學(xué) 甘肅 民樂 734500)

【題目】如圖1所示，把A、B兩小球從圖1中位置同時(shí)由靜止釋放(線開始時(shí)拉直)，則兩小球向左下擺時(shí)，下列說法正確的是

A.線OA對A球做正功

B.線AB對B球不做功

C.線AB對A球做負(fù)功

D.線AB對B球做正功

解析：很多人錯選B答案，原因是沒有分析A、B運(yùn)動的實(shí)際情況而造成的.如果能大致畫出A、B球的運(yùn)動軌跡，那么就可以找出線與球的運(yùn)動方向的夾角，進(jìn)而可判定做功的情況.由OA線一直處于張緊且O點(diǎn)不動，所以A球做圓周運(yùn)動，OA線對A球不做功.而B球是否與A球同步下擺而做圓周運(yùn)動呢?

圖1

參考答案的思路是：設(shè)想A、B兩球分別用兩條細(xì)線懸掛而各自擺動，若擺角較小時(shí)有擺動周期

圖2

可見擺長越長，擺得越慢，因此A球比B球先到達(dá)平衡位置.可見線AB的張力對A球有阻礙運(yùn)動之作用，而對B球有拉動運(yùn)動之作用(圖2)，所以正確答案為C和D.

筆者認(rèn)為采用小角度的單擺處理問題，用特殊情形來替代一般情形欠妥.如果從較大角度或水平靜止伸直狀態(tài)自由釋放，在以后運(yùn)動中懸線與兩物體有無可能保持共線呢?不妨用鐵支架將A、B兩球連接起來，然后進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，如圖3所示，很容易發(fā)現(xiàn)線呈折線，AB線是阻礙了A球的運(yùn)動，加快了B球的運(yùn)動.因而，對B球做正功，對A球做負(fù)功.

在一般情況下的擺所作的擺動，不是簡諧運(yùn)動，而是一種非線性振動，由人教版《物理·必修1教學(xué)參考書》相關(guān)內(nèi)容可知這種擺的周期表達(dá)式為

圖3

表達(dá)式中θ0為擺角，從此表達(dá)式可以看出即使在任意擺角下，TB>TA，即A、B下擺時(shí)不同步.

圖4

嚴(yán)格的證明可采用反證法來進(jìn)行.令A(yù)、B兩球的質(zhì)量分別為m1、m2，OA及AB的線長分別為l1、l2.設(shè)系統(tǒng)始終能保持直線狀態(tài)，那么在轉(zhuǎn)過θ角時(shí)系統(tǒng)處于圖4所示的方位.兩線對質(zhì)量為m1的A球施加的作用力只能沿直線方向，A球的切向加速度只能來源于m1g的切向分量，即有

m1gcosθ=m1aτ1

因此

aτ1=gcosθ

同理可知，質(zhì)量為m2的B球的切向加速度為

aτ2=gcosθ

既然兩個(gè)小球都在做圓周運(yùn)動，各自對應(yīng)的角加速度分別為

顯然有

β1≠β2

若系統(tǒng)運(yùn)動過程中始終保持直線狀態(tài)，便要求恒有β1=β2，于是前后矛盾.因此系統(tǒng)在運(yùn)動過程中，兩線與兩小球不可能始終共線.