同軸電纜漏電電阻的計算

賈光一 費英瓊

(廊坊師范學院 河北 廊坊 065000)

同軸電纜應用廣泛，但實際中的電纜并非是理想的.現考慮并計算如下所述的非理想同軸電纜的漏電電阻.

【例】如圖1所示，中心導線的半徑為a，它位于半徑為b的接地外導電圓筒的軸線上.內外導線之間的空間充滿了一種電導率為σ的非理想絕緣材料，求此電纜長度為L的一段中心導線和外導線之間的漏電電阻是多少？

圖1 由同軸圓柱導線構成的電纜.內外導

分析：這個電阻有實際意義，因為同軸電纜的外導體通常總是接地，同大地保持等電勢.當這種電纜被用于沿中心線傳輸電壓時，正是這個電阻確定了對地的漏電流.為了求出這個電阻，下面我們通過三種方法來進行計算，最后進行比較.

1 電阻公式法

則長度為L的一段電纜內的漏電電阻為[1]

(1)

2 穩恒電流法

先計算當中心導線維持一個電勢U時，長度為L的一段電纜上從中心導線流到外導電圓筒的電流I，有

(2)

式中j是長度為L的中心導線表面S1附近絕緣體中的電流密度.(這個電流可以在內外導體之間包圍中心導線的一個任意曲面上取電流密度的面積分而得到.我們選擇面S1，只是為了方便)對于許多材料，在穩態情況下，電流密度與電場成正比，即

j=σE

(3)

對于此問題，式中E是在面S1附近的電場，這個電場與金屬表面垂直，而且根據對稱性，它具有常數值E(a).式(2)于是可以改寫為

I=2πaLσE(a)

(4)

于是，問題便簡化為利用量U、a和b來確定電場E.

當一個電動勢的源產生一個穩恒電流時，在這個源外部的電場處處都是靜電場.因此，電場E可以根據下式用靜電勢φ來表示

E=-▽φ

(5)

這樣，我們需要一個方程，以便從這個方程求出在這種材料內各處的電勢.結合式(3)和式(5)，得到

j=-σ▽Φ

(6)

或

▽·j=-σ▽2φ

(7)

在任意一點上的電流密度的散度，是從包圍該點的一個很小體積的表面流出的矢量j的通量的量度.如果電流是穩恒的，那么進入材料任一小體積內的電荷與離開該小體積的電荷數量相同，因而j的散度處處為零.于是

▽2φ=0

(8)

在導電介質內處處都得到滿足.式(8)是一個拉普拉斯方程，它與對沒有電流和沒有自由電荷的體密度區域導出的靜電勢方程相同.在目前的問題中，需要找到式(8)滿足下列邊界條件的一個解：

1) 電勢在面S1上所有各點都具有常數值U；

2) 在面S2上所有各點則具有常數零(外導體接地).

圖2 柱極坐標

對于同軸電纜，采用柱極坐標(r，θ，z)比較合適.在柱極坐標系中，r是從(r，θ，z)到z軸的垂直距離，如圖2所示.角度θ是由原點引出的位置矢量相對于x軸的方位角.在柱極坐標系中，拉普拉斯算符的形式為

由于同軸電纜具有圓柱對稱性，所以討論的電勢與θ無關；此外，對于長電纜可以略去邊緣效應，即電勢與z無關，于是拉普拉斯方程簡化為

由此可得

其中A為常量.因而

φ(r)=Alnr+C

(9)

其中C是另一積分常數；A和C由邊界條件決定.其中

根據式(4)和式(5)，我們求得[2]

因而

(10)

3 靜電場法

運用這種方法需要考慮到，當存在著電介質和導電材料時，將出現感應電荷和極化電荷，而它們的數值又只有當電場或電勢為已知時才有可能求出.因此在事先不知道極化電荷分布的情況下，需要引入電位移矢量D來計算有電介質時的電場.

設在中心線和外導體之間的均勻非理想絕緣材料的相對介電常數為ε，這兩個導體構成了一個電容器.當它們之間維持一個電勢差U時，內外導體的表面上都會出現感應電荷.對于非理想絕緣材料，上面已經提到，由于進入材料任一小體積內的電荷與離開該小體積的電荷數量相同，因而絕緣材料內的自由電荷總量為零.假設中心線表面上的電荷密度為α，那么在1 m長的導線上的總電荷就是Q=2πaα.電位移矢量顯然具有柱對稱性，它的大小僅取決于離軸線的距離r.從一個半徑為r、單位長度的圓柱面S穿出的D通量為

因此

又

D=εε0E

故有[2]

由此可算得絕緣材料內r處與外導體之間的電勢差為

(11)

當r=a時，

(12)

所以得到

代入(11)式，得到

(13)

式(13)與式(9)是一致的.然后，根據式(4)和式(5)，仍可以得到

常用絕緣材料的電導率的量級為10-12(Ω·m)-1.如果電纜中心導線的半徑為1.5 mm，外導線的半徑為10 mm，而內外導線之間充滿上述絕緣材料，則對于長100 m的這種電纜，其泄露電阻約為3×109Ω.

必須強調指出，上述的電阻計算只有在材料服從歐姆定律時才是正確的，但實際并非總是如此，例如許多材料在高電場中便不遵從歐姆定律；對于半導體二極管、真空二極管以及許多氣體導電管等元器件[3]，歐姆定律也不再成立[注]注：在參考文獻【2】中，該處的C值并沒有負號，經過計算，我們發現此處是文獻【2】中的一個疏忽..

參考文獻

1 史祥蓉，韓仙華.電磁學.同步學習指導.北京：國防工業出版社，2007，52

2 I.S.Grant WR.Phillips著.劉岐元，王鳴陽譯.電磁學.北京：人民教育出版社，1983.128～131，78～79

3 梁燦彬，等.電磁學.北京：高等教育出版社，2004，125