物理專業數學物理方法學習興趣研究

張 旭 陳萬平 王佐臣 孫 超

(曲阜師范大學物理工程學院 山東 曲阜 273165)

數學物理方法是一門公認的難度較大的課程[1]，教師普遍感到難教，學生感到難學.究其原因主要是該課程數學公式多、難記憶，公式的推導多，語言講解相對于其他課程較少[2].另外，數學物理方法的教學如果僅限于教師在黑板上推導公式，讓學生記住一些公式、定理，考試時代入公式計算出結果，這樣更容易讓學生感到疲倦、厭學，很難有較好的教學效果.針對以上問題，我們給出提高學生學習數學物理方法興趣的幾條建議.

1 創設問題情境

這時再啟發學生考慮用殘數定理求解，留給他們時間讓其思考求解的辦法，然后共同建立模型求出積分.這樣學生會有山重水復疑無路，柳暗花明又一村的感覺，從而對這個知識點留下深刻印象，知道在實數中很難計算的積分是怎樣在復積分中得以解決的.以后學生遇到在實積分中難以完成的積分時也會考慮到在復積分中尋求解決問題的辦法.

2 知識的前后聯系

在講完哥西積分公式后，學習殘數定理的時候應該注意很多運用殘數定理能求解的題目也可以用哥西積分公式求解.

例如積分

c為圓周|z|=2.

用哥西積分公式

由殘數定理可得

通過這樣的問題使學生注意了知識的前后聯系，并加深了對哥西積分公式、殘數定理和拉普拉斯變換的理解.如果能引導他們在該門課程的其他知識點做類似的工作，必將提高學習的興趣.

3 注重聯系物理問題

數學物理方程部分問題的求解過程比較復雜，學生感到枯燥無味.因此在講述用分離變量法求解弦振動問題、熱傳導問題和二維拉普拉斯方程的定解問題時，多講實際例子，少講一些給出一個方程組就直接求解的問題，會讓學生看到分離變量法的實際應用，讓枯燥的知識形象化，從而大大增強學習的積極性.

例如，給出下列混合問題讓學生求解

其中A，ω為已知正常數.學生通過分析可以看出這是一個非齊次邊界的弦振動問題，用分離變量法可以求解.但是對于這樣一個混合問題不能把它看成是一個純數學問題，讓學生把最后的解得出來就結束了.

數學物理方法畢竟不是純粹的數學課程，它是和物理緊密聯系在一起并為學生的物理學習服務的.因此，最好和學生討論一下上述混合問題的物理意義.例如：彈簧的一端固定，另一端在外力作用下做周期運動，彈簧的初位移和初速度都為零，求彈簧的運動規律.通過這樣分析我們既看到了該混合問題的實際意義，也引導學生學會了在遇到上述的物理問題時如何建立數學模型并求解.

4 一題多解找樂趣

一題多解往往能激發學生探究問題的興趣，在拉普拉斯變換中這樣的例子有很多，例如在求解L[t]時，通過讓學生尋找求解辦法，得到了下列三種解法.

解法一：

解法二：

解法三：

如果教師在平時的教學中多注意搜集類似的例子，必將激發學生的學習興趣.

5 注重方法的傳授

教師講述知識的方法很重要.在講述的過程中應加強思考問題、解決問題方法的傳授，應當讓學生體驗到在問題的建立與解決的過程中前人所走過的路，從中我們能學到什么.

在得到勒讓德多項式Pn(x)的施列夫利積分表達式時，可以讓學生自己思考在已經學習了勒讓德多項式的定義式和微分形式后怎樣來得到積分形式呢？假如自己就是施列夫利，哪個公式能夠把微分和積分聯系起來？學生通過思考就能想到前面已經學習過的哥西積分公式的推廣形式具有此功能.再聯想到洛德利格公式(勒讓德多項式的微分形式)為

將此結果代入洛德利格公式即可得到

此即為施列夫利積分表達式.通過以上的過程既加深了對哥西積分公式的理解，又領會了勒讓德多項式的微分形式和積分形式之間的關系.

接下來在學習勒讓德多項式的母函數(生成函數)時，考慮到從拉普拉斯方程而來，因此可以分析一下拉普拉斯方程的基本解

如果要證明G(x,z)能夠生成勒讓德多項式Pn(x)，這時要引導學生思考用G(x,z)生成Pn(x)的定義式還是微分形式或積分形式.再聯想到在復變函數論中學習過的泰勒級數，泰勒展開可以將一個式子展開成泰勒級數，而其中的泰勒系數cn(x)是一個積分表達式，將G(x,z)進行泰勒展開看結果如何.

經過計算得到cn(x)=Pn(x)，因此有

所以稱G(x,z)為Pn(x)的母函數.通過這樣的分析可以讓學生理解母函數的來龍去脈，在面對由G(x,z)生成Pn(x)的哪種形式時，更是鍛煉了學生思考問題的能力，為他們以后的繼續深造打下了一定的基礎.

6 自己建立公式

數學物理方法中的公式特別多，可以和學生一起自己建立公式，這對學生學好這門課程非常有幫助.例如勒讓德多項式的遞推公式這一內容可以不按書上思路，而是帶領學生從母函數公式出發建立屬于自己的遞推公式.以文獻[5]所舉為例,母函數

(1)

對(1)式的兩端分別關于z，x求導，得

(2)

(3)

式(2)乘以z，減去式(3)乘以(x-z)，然后比較公式兩端關于z的同次冪的系數可得

此為遞推公式一.

用(1-2xz+z2)乘式(2)，再利用式(1)，比較兩端z的系數可得

(2n+1)xPn(x)-nPn-1(x)=(n+1)Pn+1(x)

此為遞推公式二.

參考文獻[1]，利用遞推公式一和遞推公式二經過比較復雜的運算得出遞推公式三

對于遞推公式三，可以帶領學生尋求更為簡單的辦法.在尋找遞推公式二時用(1-2xz+z2)乘以式(2)，自然能想到用(1-2xz+z2)乘以式(3)也應該能得到一個遞推公式.按照上述辦法運算可得

(4)

因此在講解勒讓德多項式的遞推公式問題時，通過引導學生自己建立遞推公式，既能拓寬學生的思路又能讓學生感到這些遞推公式是大家一起建立起來的，對這些公式會產生親切感.因此學生對這些公式的印象會非常深刻，不容易遺忘；即使遺忘了，他們自己也會推導出來，從而增強了學好這門課程的自信心.教師的工作是教會學生學習的，要教會他們如何去分析問題，解決問題，而不是強迫他們學習，簡單地記住一些公式應付考試.

7 學生登臺講課

對于有些比較簡單的章節可以讓學生登臺講課.有的學生比較活躍，也有講課的欲望和能力，選擇合適的內容讓他們備課，當一次教師，對這些學生的學習會起到非常大的促進作用.另外，也能激發全班同學的學習興趣，特別是對那些畏懼數學物理方法這門課程的同學來說，看到自己的同學都能站在講臺上講課，這無疑能夠增強他們學好該門課程的信心.

傅里葉變換這部分內容比較適合學生講述.這部分內容概念容易理解，公式推導過程和例題簡潔易懂，通過嘗試發現學生授課的效果較好.

8 總結

數學物理方法是物理學專業的一門重要專業課，是電動力學、量子力學等后續課程的基礎，如何提高學生學習數學物理方法的興趣，加強學習的效果，使學生掌握好該門課程，非常值得探討.筆者根據自己的教學經驗，提出了上述建議或方法.當然它們是相互緊密聯系的，教師在對某一問題進行講解時往往可能要同時用到幾種方法，以期達到最佳效果.

參考文獻

1 田麗杰，李清山，徐秀瑋，郝志仁.數學物理方法多元化雙主型教學模式的探索與實施.魯東大學學報(自然科學版)，2009(1)：44～47

2 程樹英，程利青.數學物理方法的教學改革初探.電氣電子教學學報，2009(9)：16～26

3 四川大學數學系編.數學物理方法.北京：高等教育出版社，1985.113～117

4 柯導明，陳軍寧.數學物理方法.北京：機械工業出版社，2008.97～98

5 四川大學數學系編.數學物理方法.北京：高等教育出版社，1985.340～341

6 梁昆淼編，劉法，繆國慶修訂.數學物理方法.北京：高等教育出版社，1998