實數集R上幾個常見拓撲的比較

李艷穎

(寶雞文理學院數學系,陜西寶雞 721007)

實數集R上幾個常見拓撲的比較

李艷穎

(寶雞文理學院數學系,陜西寶雞 721007)

給出了實數集R上的7個子集族,并證明它們是R的拓撲基,決定了R上7個不同的拓撲,同時還對這些拓撲進行了比較,得到它們之間粗細的確定關系。

實數集;拓撲;拓撲基;嚴格細于

實數集在點集拓撲學中占有相當重要的位置,它是抽象拓撲空間的一個最好的、最直觀的、最接近實際的例子。因此弄清楚R上的拓撲基及由基生成的拓撲之間的關系,是我們學好點集拓撲學的必備基礎。本文給出了實數集R上的7個子集族,并證明它們是R的拓撲基,他們決定了R上7個不同的拓撲,同時還對這些拓撲進行了比較,得到它們之間粗細的確定關系。

1 基本概念與定理

定義1[1]若 X是一個集合,X的拓撲基是 X的一個子集族β(其成員稱為基元素)使得:

(1)對每個x∈X,至少存在一個包含x的基元素B;

(2)若 x屬于兩個基元素B1,B2的交,則存在包含 x的基元素B3,使得B3?B1∩B2。

注:條件(1) 等價 ∪B∈βB=X[2]。若對于任何B1,B2∈β,有B1∩B2∈β,這時 ∈β必然滿足條件(2)[2]。本文在證明中經常用到這兩個條件。

定義2[1]設Γ和Γ1是給定集合 X上的兩個拓撲,若Γ1?Γ,則稱Γ1細于Γ;若Γ1?Γ是真包含關系,則稱Γ1嚴格細于Γ。

定義3[3]若兩個拓撲中的任何一個都不細于另一個,則稱它們是不可比較的。

定理1[1]設 X為一個集合,β是 X上拓撲Γ的一個基,則Γ等于β中元素所有并所成的族(由此定理可知β?Γ)。

定理2[1]設β,β1分別是 X上拓撲Γ,Γ1的基,則下列陳述等價:

(1)Γ1細于Γ;

(2)對于每個x∈X及包含x的每個基元素B∈β,存在一個基元素B1∈β1,使得 x∈B1?B若是真包含關系,則稱Γ1嚴格細于Γ。

2 實數集上7個拓撲基及其拓撲

在本部分,我們將應用第一部分的定義與引理,證明以下7種集族可以構成 R上的拓撲基,并同時對它們決定的7個不同的拓撲進行比較,得到它們的粗細關系。在本文中除特殊注明外,小寫英文字母都屬于實數集。

1)證明β1={(a,b)|a＜b}是實數集的一個拓撲基。

顯然,此集族可以滿足定義1中的兩個條件,構成實數集的一個拓撲基,并且β1決定的拓撲就是由R的所有開區間構成的通常拓撲,記為Γ,且Γ=β1∪{Ф}。

2)證明β2={[a,b)|a＜b}是實數集的一個拓撲基。

證明顯然β2滿足條件(1)的等價形式∪B∈β2B=R,并且對于任何 B1,B2∈β2,有 B1∩B2∈β2,這時β2是實數集的一個拓撲基,并且β2決定的拓撲我們通常稱為實數下限拓撲,記為Γl。

明顯地,它與實數集的通常拓撲有很大區別。對于每個(a,b)∈Γ,我們可以這樣選取β2中的基元素,對于任何 i∈Z+,任意選取bi∈R,使得 a＜…＜b2＜b1＜b以及于是有(a,b)= ∪i∈Z+[bi,b),因此(a,b) ∈Γl,即Γ ? Γl;反過來的包含關系卻明顯不成立,故Γl嚴格細于Γ。

此外,類似Γl與Γ比較,可以證明ΓlQ嚴格細于Γ,即ΓΓlQΓl。

4)證明β3={(a,b]|a＜b}是實數集的一個拓撲基。

證明顯然β3滿足定義1的條件(1),并且對于任何B1,B2∈β3,或者B1∩B2≠Ф或者B1∩B2∈β3,因此β3是實數集的一個拓撲基,并且β3決定的拓撲我們通常稱為實數上限拓撲,記為Γu。

按照證明Γl嚴格細于Γ的方法,很容易可以得出Γu嚴格細于Γ的結論。而Γl與Γu是不可比較的,因為取[a,b)∈β2,對a∈[a,b)不存在[c,b)∈β3,使得 a∈(c,d]? [a,b),即Γl?Γu;同理,Γu?Γl。

5)證明β4=β1∪{B-K|B ∈β1},K=是實數集的一個拓撲基。

證明β4中包含兩類集合:(1)(a,b)∈β1;(2)

由β1?β4,可知β4滿足定義1的條件(1)。對任意的B1,B2∈β4,若B1,B2∈β1,則顯然滿足定義1的(2);否則有兩種情形:(1)B1=(a,b)-K,B2=(c,d)-K,若 B1∩B2≠ Ф,則

(2)B1=(a,b),B2=(c,d)-K,若B1∩B2≠Ф,則

因此β4是實數集的一個拓撲基,記為Γ-K。

顯然β1?β4,由定理1,Γ?Γ-K。反過來,(0,1)-K∈Γ-K,明顯地,(0,1)-K?Γ,從而由定理2,有Γ-K嚴格細于Γ。同時,明顯地,有(0,1)-K?Γl與(0,1)-K ?Γu,而[a,b) ∈Γl與(a,b]∈Γu也顯然無法由β4中基元素取并表示,所以Γ-K與Γl,Γu是不可比較的。

6)證明β5={(a,+∞)|∈R}是實數集的一個拓撲基。

證明顯然 ∪B∈β5B=R,并且對于任何B1=(a,+ ∞),B2=(b,+ ∞)∈β5,不妨設 a＜ b,有B1∩B2=B2∈β5,于是β5是實數集的一個拓撲基,它決定的拓撲通常稱為實數集的右手拓撲,記為Γrig,且Γrig=β5∪{Ф}。

由于β5?β1,則由定理2,Γrig? Γ。反之,對任意的(a,b) ∈Γ,且 b＜+ ∞,由Γrig=β5∪{Ф}即知(a,b)∈Γrig,從而Γ嚴格細于Γrig。

7)證明β6={(-∞,a)|a∈R}是實數集的一個拓撲基。

證明仿照5的方法即可證明β6是實數集的一個拓撲基,它決定的拓撲通常稱為實數集的左手拓撲,記為Γlef,且Γlef=β6∪{Ф}。

同樣的,Γlef? Γ,Γ嚴格細于Γlef,而Γlef與Γrig是不能比較的,因為Γrig=β5∪{Ф}與Γlef=β6∪{Ф}明顯彼此都不能包含對方。

綜合以上論述,可以總結出實數集上常見的7個拓撲之間的粗細關系為:

其中ΓlQ與Γu,Γ-K不能比較。

[1] Munkres J R.拓撲學基本教程[M].北京:科學出版社,1987.

[2] 熊金城.點集拓撲講義[M].北京:高等教育出版社,2003.

[3] Seymour Lipschutz.Theory and Problemsof General Topology[M].上海:華東師范大學出版社,1982.

The Comparison for Some Common Topologies on Real Numbers R

Li Yanying
(Department of M athematics,Baoji A rt and Science College,Baoji,Shanxi 721013,China)

This paper show s seven classes of sets of real numbers,and proves that these classes of sets are bases for some topologies on real numbers,they determine seven different topologies on real numbers.At the same time,the paper compares with these topologies,and summarizes the coarseror weaker relations between these topologies.

real number set;topology;base for a topology;strict weaker

O189.11

A

1671-2544(2010)03-0041-03

2010-03-31

寶雞文理學院基金資助項目(ZK0786)

李艷穎(1981— ),女,吉林松原人,寶雞文理學院數學系講師,碩士。

(責任編輯:周 游)