一類矩陣的秩恒等式

黃 弘,熊一能

(孝感學院數學與統計學院,湖北孝感432000)

一類矩陣的秩恒等式

黃 弘,熊一能

(孝感學院數學與統計學院,湖北孝感432000)

利用計算不為0的特征值的個數來計算矩陣的秩,得到一類矩陣秩的幾個矩陣秩恒等式,并給出它們的應用。

矩陣秩;Sylvester公式;Frobenius公式

1 介紹

設Fm×n為數域F上所有m×n階矩陣的集合,rankA為A∈Fm×n的秩,E為單位矩陣,f(A)為A的多項式。當A∈Fm×n,正整數m≥2時,如果Am=A,且Ak≠A(k=2,3,…,m-1),稱A為m-冪等矩陣;如果Am=A,且Ak≠E(k=1,2,…,m-1),稱A為m-對合矩陣。

矩陣的秩是線性代數中一個基本而深刻的概念。關于矩陣的秩,有一系列的基本不等式,其中Sylvester不等式與Frobenius不等式占有重要的地位。下面是著名的Sylvester與Frobenius不等式:

Sylvester不等式 設A∈Fm×n,B∈Fn×1,C∈Fl×s,則

rankA+rankB≤rank(AB)+n

Frbenius不等式 rank(AB)+rank(BC)≤rank(AB C)+rank(B)。

關于矩陣多項式的秩的恒等式,它已成為眾多研究者的研究課題,獲得了不少好的結果[3-4]。2008年,胡付高等在文獻[4]中討論了矩陣的秩Frobenius公式等號成立的條件,并給出了下列結論:

命題1[4]設A∈Fn×n,f(x),g(x),h(x)∈F[x],(f(x),h(x))=1,則

rank[f(A)g(A)]+rank[g(A)h(A)]=rank[f(A)g(A)h(A)]+rank[g(A)]。

注意到命題1取g(A)=E,便得到文獻[3]矩陣的秩Sylvester公式等號成立的條件。

命題2[3]設f(x),g(x)∈F[x],(f(x),g(x))=1,A∈Fn×n,則

rank(f(A))+rank(g(A))=

rank(f(A)g(A))+n。

命題3[3]設A∈Fn×n,f(x),g(x)是數域F上的多項式,(f(x),g(x))=1,則f(A)g(A)=O當且僅當rank[f(A)]+rank[g(A)]=n。

注意這些結論都是分塊矩陣的初等變換方法得到的。

對A∈Fn×n,若存在可逆矩陣P,使得PA P-1為上三角矩陣Λh,本文稱Λh為A的三角矩陣,記作ΛA。顯然ΛA的對角線上的元素為A的特征值。記G是一個Fn×n中的具有交換性的矩陣集,即任意A,B∈G,AB=BA;令

M={A∈G|ΛA的為0特征值所在行的行向量全為0}。

顯然M中任意矩陣A的秩等于其不為0的特征值的個數,也等于ΛA不為0的行向量的個數。例如:設A∈Fn×n,A2=E,則A+E,A-E∈M。

本文利用求矩陣不為0的特征值的個數,研究M中矩陣的秩Frobenius公式和Sylvester公式等號成立的條件,得到幾個矩陣秩恒等式,并給出它們的應用。

2 引理

引理1[1]設A,B,C∈Fn×n,且兩兩互換(即AB=BA,AC=CA,BC=CB),則A,B,C存在有一個公共特征向量。

引理2 設A,B,C是復數域上n級矩陣,若它們兩兩互換,則存在可逆矩陣P,使得P-1A P,P-1B P,P-1CP均為上三角矩陣。

證明 對A,B,C的級數n用數學歸納法。

1)當n=1時,結論顯然成立。

2)設A,B,C均為n-1級方陣時,結論成立。當A,B,C均為n級方陣時,設σ,τ,θ是復數域上n維線性空間V的兩個線性變換σ,τ,θ在基α1,α2,…αn,下的矩陣,存在公共特征向量β1,使得σ β1=λ1β1,τ β1=μ1β1,θ β1=l1β1,λ1,μ1,l1是復數,把β1擴充為V的基β1,β2,…,βn,則A,B,C在基β1,β2,…,βn下的矩陣分別為其中A1,B1,C1為n-1級方陣。設(β1,β2,…,βn)=(α1,α2,…,αn)P1,則

因為A,B,C兩兩互換,所以A1,B1,C1兩兩互換,由歸納假設存在n-1級方陣P2使得

3 主要結果

定理1 設A,B∈M,rank(A+B)=n,則

rankA+rankB=n+rankAB。

證明 不妨設F為復數域,設A,B的特征值為α1,α2,…,αn和β1,β2,…,βn。因AB=BA,由引理2(取C為單位矩陣),存在矩陣P使得

于是AB的特征值為λ1μ1,λ2μ2,…,λnμn。

因rank(A+B)=n,故λj,μj不能同時為0,1≤j≤n。

定義|{x|x∈Q}|為集合Q中元素x的個數,則rankAB=|{λjμj|λjμj≠0,1≤j≤n}|。

rankA+rankB=|{λj|λj≠0,1≤j≤n}|+|{μj|μj≠0,1≤j≤n}|=|{(λj,μj)|λi≠0且μj=0,1≤j≤n}|+|{(λj,μj)|λi≠0且μj≠0,1≤j≤n}|+|{(λj,μj)|λi=0且μj≠0,1≤j≤n}|+|{(λj,μj|λi≠0且μj≠0,1≤j≤n}|=n+|{(αj,βij)|αi≠0且βij≠0,1≤j≤n}|=n+rankAB

此定理的逆命題不成立。

特別地,有

推論1 設A,B∈M,rank(A+B)=n,則AB=BA+O當且僅當rankA+rankB=n。

定理2 設A,B,C∈M,rank(A+C)=n,則rankAB+rankBC=rankAB C+rankB。

證明 不妨設F為復數域,設A,B,C的特征值為λ1,λ2,…,λn;μ1,μ2,…,μn和l1,l2,…,ln。因A,B,C兩兩互換,由引理2存在矩陣P使得

于是AB,BC,AB C的特征值為λ1μ1,λ2μ2,…,λnμn;μ1l1,μ2l2,…,μnln;λ1μ1l1,λ2μ2l2,…,λnμnln。由定理1的證明知,因rank(A+C)=n,故λj,l1不能同時為0,1≤j≤n。

我們考慮當μi取不同值時,μi對rankAB+rankBC和rankAB C+rankB的貢獻:

1)當μi=0,λi,l1對rankAB+rankBC和rankAB C+rankB的貢獻均為0;

2)當μi≠0,λi,li對rankAB+rankBC的貢獻取決于λi,li是否為0,當它們均不為0時,貢獻為2,否則貢獻為1(因對任意1≤i≤n,λi,li不會全為0),此時λi,li對rankAB C+rankB的貢獻分別為2和1,故有:

rankAB+rankBC=rankAB C+rankB。

4 主要結果的應用

命題4 設A∈Fn×n,若A3=A,則

rankA+rank(E-A)+rank(E+A)=2n。

證明 A3=A,

A,E-A,E+A∈M

rankE=rank[(E+A)+(E-A)]

由定理1

rank(E+A)+rank(E-A)=n+rank(EA2)

同理

rankA+rank(E-A2)=rankA2+rank(EA2)=n+rank(A-A3)=n

所以

rankA+rank(E-A)+rank(E+A)=2n

下列命題均可依上述方法證明。

命題5[1]設A∈Fn×n是冪等陣(即A2=A)的充要條件為:

rankA+rank(A-E)=n。

命題6 設A∈Fn×n是對合陣(即A2=E)的充要條件為:

rank(A+E)+rank(A-E)=n。

命題7 設A∈Fn×n,m為正整數,則:

Am+1=A?rankA+rank(A-E)+rank(Am-1+Am-2+…+E)=2n。

充分性可由Sylvester不等式證明。

命題8 設A∈Fn×n,m為正整數,k,l為任意自然數,則

rankAl+rank(Am-E)k=n,當Am+1=A;

rank(A-E)l+rank(Am-1+Am-2+…+E)k=n,當Am=E。

[1] 北京大學數學系幾何與代數研究室代數小組.高等代數[M].3版.北京:高等教育出版社,2003.

[2] Horn R A,Johnson C R.Matrix Analysis[M].New York:Academic Press,1991.

[3] 胡付高.一類矩陣多項式的秩特征[J].大學數學,2007,23(2):164-166.

[4] 胡付高,曾玉娥.一類矩陣多項式秩的恒等式與應用[J].山東大學學報:理學版,2008,43(8):51-54.

Abstract:The rank of a matrix can be obtained by calculating the number of its eigenvalues which are not 0.In this paper,by calculating the rank of a matrix,several rank identical relations of a class of matrix are obtained and some applications are given.

Key Words:rank of matrix;Sylvester formula;Frobenius formula

The Rank Identities of a Class of Matrix

Huang Hong,Xiong Yineng
(School of Mathematics and Statistics,Xiaogan University,Xiaogan,Hubei432000,China)

O151.12

A

1671-2544(2010)03-0020-03

2009-11-20

黃 弘(1969— ),男,湖北孝昌人,孝感學院數學與統計學院講師,碩士。

(責任編輯:周 游)