一維常系數(shù)對流方程的步長定律和固有差分格式

2010-10-23 05:30:24李娟

湖北工程學(xué)院學(xué)報(bào) 2010年3期

李娟

(北京理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院,北京100081)

李娟

(北京理工大學(xué)機(jī)電學(xué)院,北京100081)

由常用差分格式得出的差分余項(xiàng)中的奇數(shù)次冪項(xiàng)和偶數(shù)次冪項(xiàng)分別會(huì)產(chǎn)生彌散(色散或頻散)和耗散效應(yīng)。但是利用泰勒展開式并且使差分余項(xiàng)為零,可以得出一維常系數(shù)對流方程的步長定律和固有差分格式,結(jié)論也適用于解類似的變系數(shù)雙曲型方程和擬線性雙曲型方程。

偏微分方程;雙曲型方程;對流方程;數(shù)值解法;差分格式

雙曲型方程的一些常用數(shù)值解差分格式得出的差分方程會(huì)有差分余項(xiàng)存在,因此差分格式計(jì)算出的數(shù)值解有誤差。雖然可以采用更復(fù)雜、精度更高的差分格式來降低誤差,但是這樣仍然存在計(jì)算量大和誤差這兩個(gè)問題,所以有必要尋求完全表示原微分方程的差分方程。通過利用泰勒(Taylor)級數(shù)展開[1],并且促使差分余項(xiàng)為零,可以解決因差分余項(xiàng)引起的彌散(色散或頻散)和耗散效應(yīng),使數(shù)值解與解析解保持一致。

1 Lax-Friedrichs差分格式的泰勒(Taylor)級數(shù)展開

一維常系數(shù)對流方程:

其中u=u(x,t),a為常數(shù)且不為零。Lax-Friedrichs差分格式[2]:

其中,τ為時(shí)間步長,h為空間步長。即得:

設(shè)u=u(x,t)是原微分方程(1)的光滑解,并且都在u(xi,tn)處由泰勒級數(shù)展開得:

將上述三式代入(2)式中,并整理得:

2 差分余項(xiàng)的消除

由原微分方程(1)得:

將(4)式代入(3)中,并整理得:

R(xi,tn)即為差分余項(xiàng)。當(dāng)a2τ2-h2=0時(shí),R(xi,tn)=0,那么由差分方程(2)式得到的微分方程(5)等價(jià)于原微分方程(1)。分別將aτ=h和aτ=-h代入(2)式中得:當(dāng)aτ=h時(shí),=;當(dāng)aτ=-h時(shí),。實(shí)際上,也可以通過采用這種方法對迎風(fēng)格式(upwind)、Lax-Wendroff格式和Beam-Warming格式進(jìn)行分析從而得出相同的結(jié)果。

3 結(jié)論

一維常系數(shù)對流方程的固有差分格式:

對于?u/?t+a(x,t)?u/?x=0這樣的變系數(shù)雙曲型方程,雖然特征線dx/dt=a(x,t)是一條曲線,但是u的值沿特征曲線保持不變,所以若已知a(x,t),那么將同一條特征線上相鄰兩時(shí)刻點(diǎn)的相對斜率(△x/△t)作為當(dāng)前步長內(nèi)的常數(shù)a值,在每步內(nèi)看作常系數(shù)雙曲型方程,這樣計(jì)算出的值即為準(zhǔn)確解。對于?u/?t+u?u/?x=0這樣的擬線性雙曲型方程,滿足a=u0,即由初值確定常數(shù)a的一系列不同的一維對流方程,每一點(diǎn)仍可用常系數(shù)對流方程來解。