對稱函數的偏導數

樊自安,陳昌銀

(1.孝感學院數學與統計學院,湖北孝感432000;2.孝感市孝南區毛陳中學,湖北孝感432000)

對稱函數的偏導數

樊自安1,陳昌銀2

(1.孝感學院數學與統計學院,湖北孝感432000;2.孝感市孝南區毛陳中學,湖北孝感432000)

對于一類特殊的函數——對稱函數,給出了它的定義、性質,這些性質給偏導數的計算和證明帶來很大方便。

對稱函數;多元函數;偏導數

在高等數學、數學分析以及偏微分方程等課程中,有許多求偏導數的問題。有一類函數,如 u它對各個變量的偏導數存在一定的規律,如果掌握這種規律,我們只需求出其中一個變量的偏導數,另一個變量的偏導數可很快寫出,而不必逐個求導。

首先看幾個定義:

定義1對于二元函數z=f(x,y),用(y,x)來代替(x,y)得到的函數z=f(y,x)叫做 z=f(x,y)的轉置函數,記作 z=[f(x,y)]T。

定義2對于二元函數z=f(x,y),若 f(x,y)=[f(x,y)]T,則稱 z=f(x,y)為對稱函數。

定義3對于多元函數 u= f(x1,x2,…,xn),用(xi,x1)來代替(x1,xi),其他自變量不變,得到的函數 u=f(x1,x2,…,xi-1,xi+1,…,xn)叫做 u=f(x1,x2,…,xn)相對于 xi的轉置函數,記作 u=[f(x1,x2,…,xn)]Txi,i=1,2,…,n。

定義4對于多元函數 u= f(x1,x2,…,xn),任意互換兩個自變量的位置得到的函數總與原函數相同,則稱多元函數 u=f(x1,x2,…,xn)為對稱函數。

下面討論對稱函數的偏導數。

1 一階偏導數的情形

定理1若二元函數 z=f(x,y)為對稱函數,它關于 x,y的兩個偏導數都存在,則

證明

定理2若多元函數u=f(x1,x2,…,xn)為對稱函數,它關于每個變量的偏導數都存在,則

證明

2 高階偏導數的情形

對于二元函數和多元函數的高階偏導數,也有類似的定理。

定理3若二元函數 z=f(x,y)為對稱函數,它關于 x,y的兩個二階偏導數都存在,則

證明

定理4若多元函數u=f(x1,x2,…,xn)為對稱函數,它關于每個變量的 n偏導數都存在,則

證明用數學歸納法證明。

k=2,只要把定理2證明過程中的f改為fx就可得到,假設對 k成立,則

3 復合偏導數的情形

對于復合多元函數的偏導數,有如下定理:

定理5若多元函數z=f(u1,u2,…,un)在點(u1,u2,…,un)有連續偏導數,每個函數 ui=ui(x1,x2,…,xn)為對稱函數,它關于每個變量的二階偏導數都存在,則

證明

4 幾個例子

例 1設 z=exysin(x+y),求

解z=f(x,y)為對稱函數。

例2驗證lap lace方程的基本解

滿足方程-△u=0。其中wn是n維單位球面面積,為lap lace算子。

證明多元函數為對稱函數,由定理4可得:

代入即得:

例3設z=f(x+y,xy),f具有二階連續偏導數,求

解設z=f(u,v),u=x+y,v=xy,u,v是對稱函數。由定理5得:

[1] 同濟大學應用數學系.高等數學[M].5版.北京:高等教育出版社,2002.

[2] 華東師范大學數學系.數學分析[M].3版.北京:高等教育出版社,2001.

The Partial Derivative of Symmetric Function

Fan Zi’an1,Chen Changyin2
(1.School of M athem atics and Statistics,Xiaogan University,Xiaogan,Hubei 432000,China;2.M aochen M idd le School of Xiaonan D istrict,Xiaogan,H ubei 432000,China)

In this paper,we give definition and characteristics of partial derivative of symmetric function.These characteristics can bring conveniency to the calculation and p roof of partial derivative.

symmetric function;function of several variables;partial derivative

O172.1

A

1671-2544(2010)03-0031-03

2010-03-03

樊自安(1972— ),男,湖北孝感人,孝感學院數學與統計學院講師,碩士。

(責任編輯:周 游)