一類正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判斷的推廣

徐國(guó)進(jìn),徐國(guó)安

(1.孝感學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北孝感432000;2.孝感市孝南區(qū)朋興中學(xué),湖北孝感432000)

一類正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂判斷的推廣

徐國(guó)進(jìn)1,徐國(guó)安2

(1.孝感學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖北孝感432000;2.孝感市孝南區(qū)朋興中學(xué),湖北孝感432000)

主要利用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂原則以及Cauchy不等式、Holder不等式得出了判斷一類正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的方法,并對(duì)該方法進(jìn)行了推廣。

正項(xiàng)級(jí)數(shù);收斂;發(fā)散

1 引言及引理

正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題是數(shù)學(xué)分析課程中的一個(gè)重要內(nèi)容,正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判別方法也多種多樣,本文旨在探討一類正項(xiàng)級(jí)數(shù)

之間的收斂關(guān)系,從中得出一些新的判別方法,對(duì)此類正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂判斷作一個(gè)補(bǔ)充,并給出其應(yīng)用案例。

為便于討論和證明,先列出本文涉及到的部分引理。

引理1[1,4](部分和有界,正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂) 正項(xiàng)級(jí)數(shù)∑un收斂的充要條件是:部分和數(shù)列{sn}有界,即存在某正數(shù) M,對(duì)一切正整數(shù) n有sn＜M。

引理2[1,4](比較原則) 設(shè) ∑un和 ∑vn是兩個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果存在某正數(shù) N,對(duì)一切n＞N都有 un≤vn,則1)若級(jí)數(shù) ∑vn收斂,則級(jí)數(shù)∑un也收斂;2)若級(jí)數(shù) ∑un發(fā)散,則級(jí)數(shù) ∑vn也發(fā)散。

引理3[3](Cauchy不等式) 設(shè) ai,bi為任意實(shí)數(shù)(i=1,2,…,n),則

其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)ai與bi成比例時(shí)成立。

2 主要結(jié)論及其證明

定理1若0＜a1≤a2≤…an≤an+1≤…,則收斂的充要條件為如下級(jí)數(shù)收斂。

證明1)充分性。

n≥2時(shí),由

2)必要性。

所以,對(duì)一切正整數(shù) N,存在某正整數(shù) M,有

(上述證明中,[x]為 x的取整)

定理2若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,那么正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。

證明因?yàn)槭諗?得

所以,任給正數(shù)ε,總存在正整數(shù) N,使得當(dāng) n＞N時(shí),有即 an＞,將數(shù)列{an}按遞增排序,記它為{bn},此時(shí)存在正整數(shù) N0,當(dāng)n＞ N0時(shí),有 bn≤an,從而因重新排序不改變級(jí)數(shù)的收斂性,故收斂,再由定理1,收斂,又根據(jù)引理2比較原則,正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,證畢。

定理3設(shè)為收斂正項(xiàng)級(jí)數(shù),則存在常數(shù)k使

證明由引理3Cauchy不等式:

定理4若正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂,則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。

證明設(shè)sn=a1+a2+…+an,s0=0,

問(wèn)題:把定理4進(jìn)一步推廣一下,還能不能得到類似的結(jié)果呢?

定理5若正項(xiàng)級(jí)數(shù)是收斂的(其中p為常數(shù),且 p＞1),則正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂。

證明設(shè)sn=a1+a2+…+an,s0=0,則

[1] 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].3版.北京:高等教育出版社,2001.

[2] 任親謀.數(shù)學(xué)分析習(xí)題解析[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社,2004.

[3] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].2版.北京:高等教育出版社,2006.

[4] 陳傳璋,金福臨,朱學(xué)炎.數(shù)學(xué)分析[M].2版.北京:高等教育出版社,1983.

[5] 吉米多維奇.數(shù)學(xué)分析習(xí)題集[M].北京:人民教育出版社,1979.

The Extension of Convergence Tests for a Class of Series of Positive Terms

Xu Guojin1,Xu Guoan2
(1.School of Mathematics and Statistics,Xiaogan University,Xiaogan,Hubei 432000,China;2.Pengxing Middle School of Xiaonan District,Xiaogan,Hubei 432000,China)

By use of convergence principles,Cauchy inequality and Holder inequality,several methods of finding the convergence of a class of series of positive terms are given in this article.Also,these methods are extended.

series of positive term s;convergence;divergence

O173.1

A

1671-2544(2010)03-0023-03

2010-03-12

湖北省教育科學(xué)“十一五”規(guī)劃項(xiàng)目(2007B086)

徐國(guó)進(jìn)(1964— ),男,湖北孝感人,孝感學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院講師。徐國(guó)安(1961— ),男,湖北孝感人,孝感市孝南區(qū)朋興中學(xué)教師。

(責(zé)任編輯:周 游)