區間數判斷矩陣的滿意一致性及排序方法

王西靜

(晉城職業技術學院數學系,山西晉城 048026)

0 引 言

利用區間數判斷矩陣的一致性和排序方法是區間數層次分析法的2個重要的課題.一些學者依據權重可行域建立線性規劃模型,用模型的極點來表示區間數判斷矩陣的權重范圍,顯然此方法只適用于滿足一致性的區間數判斷矩陣[1-3].Saaty等[4]提出了Monte Carlo模擬方法確定區間數判斷矩陣的排序權值.Wang等[5]給出了對一致性和不一致性區間數判斷矩陣均適用的區間數判斷矩陣排序權值的方法.馮向前等[6]指出現有的滿意一致性定義大多是通過判斷在決策允許偏差下是否具有一致性來衡量判斷矩陣是否是滿意的.但是,如果偏差設得較小,可能使得擴大后的區間數判斷矩陣不具有一致性信息,而偏差設得較大又會使原有區間數判斷矩陣表達的優先信息變得更加模糊,此時產生的排序權值是否合理則是一個值得討論的問題[7].Wang等[8]提出一種不改變區間數判斷矩陣的元素,在區間數判斷矩陣中求具有滿意一致性的排序權值的思路,但是并沒有給出滿意一致判別方法.基于此,本文從理論上對此進一步做了補充,給出了區間數判斷矩陣的滿意一致性的判別方法,并且證明了此方法適用判別區間數判斷矩陣是否具有一致性.另外,還給出了求解排序向量的優化模型,并用算例證明不論區間數判斷矩陣是否具有一致性,此模型均適用.

1 區間數判斷矩陣的滿意一致性

定義1 稱A=(aij)n×n是區間數判斷矩陣,如果對任意的i,j∈N={1,2,…,n}均有:aij=[lij, uij],且0＜ lj≤uij;aij=1/aji,aii=1.

定義2[7]稱區間數判斷矩陣 A=(aij)n×n具有一致性,若存在數字判斷矩陣A—= (a—ij)n×n,a—ij∈[lij,uij],具有一致性.

定義3 稱區間數判斷矩陣A=(aij)n×n具有滿意一致性,若存在數字判斷矩陣A—= (a—ij)n×n,a—ij∈[lij,uij],具有滿意一致性.

引理1[9]設A—=(a—ij)n×n是數字判斷矩陣,則對任意標準化數字向量w—=(w—1,w—2,…,w—n)T,有,

定理1[9]設A=(aij)n×n為區間數判斷矩陣, A具有滿意一致性的充分必要條件是集合Tw—非空,其中,

其中,w—=(w—1,w—2,…,w—n)T,δ是滿意一致性指標,一般取δ≤0.1,RI為平均隨機一致性指標[1].

對于區間數判斷矩陣 A(aij)n×n,要檢驗其是否具有滿意一致性,由定理1知,需要判斷集合 Tw—是否非空.為此,特建立下面的非線性規劃模型 P1.

定理2 設 A=(aij)n×n為區間數判斷矩陣, δ＊是模型 P1目標函數的最優值,則:A具有一致性的充要條件是,δ＊=0;A具有滿意一致性的充要條件是,δ＊≤δU,其中,δU是滿意一致性指標闕值.

證明 根據定理1,易證定理2之②成立,下面證明定理2之 ①成立.

若δ＊=0,則存在a—ij、w—i≥0,i,j∈N,使得,

根據引理1知,Aw—≥nw—,所以,A—w—=nw—,由引理2知,對于區間數判斷矩陣A,存在數字判斷矩陣A—(—aij∈aij)具有一致性,故 A具有一致性.

若 A具有一致性,則存在數字判斷矩陣A—= (a—ij)n×n,a—ij∈aij,具有一致性,即存在標準化向量w—=(w—1,w—2,L,w—n)T,使得,

即,

所以,δ＊≤0,根據引理1知,δ＊≥0,因此,δ＊=0.

定理證畢.

綜上所述,定理2說明了模型 P1不僅可以用來判別區間數判斷矩陣是否具有滿意一致性,同時還可以用來判別區間數判斷矩陣是否具有一致性.

2 排序方法

對具有滿意一致性的區間數判斷矩陣A,可以采用下面的規劃模型 P2來求解判斷矩陣的區間數排序向量.

下面證明,若令δU=0,則模型 P2等價于文獻[8]給出的線性規劃模型 P3,

事實上,我們只需證明,當δ=0時,式(1)、(2)等價于式(5).若存在w—i≥0,i∈N,使得式(1)成立,則有,A—w—≤n w—.根據引理1可得,A—w—= n w—,又根據引理2有,a—ij=w—i/w—j,i,j∈N,代入式(2)直接得到式(5).反之,若存在w—i≥0,i∈N使得式(5)成立,令a—ij=w—i/w—j,i,j∈N,則A—= (aij)n×n具有一致性,根據判斷矩陣的互反性易得式(1)成立.

由此可知,模型 P2既適用于求解不一致的區間數判斷矩陣的排序向量,也適用于求解一致的區間數判斷矩陣的排序向量.

3 算例分析

通常,供應鏈伙伴企業之間的合作狀況,直接關系到供應鏈系統運作的績效與成敗.因此,企業在選擇合作伙伴時,常需要對伙伴企業的績效、業務能力、質量管理系統以及企業所處的環境進行綜合評價[10].假設某企業擬在4個企業{X1,X2,X3,X4}中選擇合作伙伴,并聘請了 m個專家進行決策(m≥2),專家根據企業的基本狀況進行兩兩比較,給出如下的區間數判斷矩陣B,

對此,我們可首先考查判斷矩陣的合理性,即把判斷矩陣B的數據代入規劃模型P1,求解得,δ＊= 0.0168＜0.1,說明判斷矩陣具有滿意一致性.進一步,取δU=0.1,求得區間數排序向量w為,

據此可做出判斷,企業 X2是最佳的合作伙伴.

4 結 語

在文獻[8]的基礎上,本文推導出了區間數判斷矩陣滿意一致性判別方法,并證明了此方法還可以用來判別一致性問題.同時,本文提出的排序向量優化模型,既適用于求解一致性區間數判斷矩陣,也適用于求解非一致性區間數判斷矩陣.

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[7]錢 鋼,馮向前,魏翠萍.基于一致性指標的兩類不確定偏好信息集結[J].控制與決策,2009,24(1):29-34.

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[10]吳 雋,張劍英,任麗娟.基于證據推理與粗集理論的供應鏈合作伙伴選擇方法研究[J].中國軟科學,2005,21 (3):130-133.