負指數函數法a，b系數確定方法探討

張玉呆

負指數函數法a，b系數確定方法探討

張玉呆

對計算地表移動盆地主斷面內地表移動變形的負指數函數法a，b系數確定方法及負指數函數法應用過程中應注意的問題進行了詳細分析。

地表移動盆地；地表移動變形；負指數函數法；a，b系數；擬合精度

1 負指數函數法表達式

為了分析計算地表移動盆地主斷面內地表移動變形情況，提出了各種不同的剖面函數，負指數函數法就是其中之一。它是由唐山煤炭研究所周國銓、虞萬波等工程師在分析大量實測資料的基礎上于1965年提出的。這種方法所用公式如下：

式中：W（x）——剖面上任一點橫坐標x處下沉值；

Wm——剖面上最大下沉值，這里不區分充分采動和非充分采動；

x——剖面上任一點橫坐標，以最大下沉值點的橫坐標為0；

L——半個移動盆地長，即由最大下沉點到盆地邊界點的距離；

a，b——決定于具體地質采礦條件的參數。

各參數對應的坐標系統見圖1。

式（1）公式法在本文討論中簡稱“L”公式法。

“L”公式法在應用中存在下列問題：

①坐標原點選在最大下沉點，而最大下沉點的確定存在較大誤差，這就使坐標原點存在較大誤差，從而影響整個下沉曲線的預計精度。

②半個移動盆地長L是根據最大下沉點和盆地邊界點確定的，由于盆地邊緣部分下沉曲線平緩，而且起伏不規則，邊界點位置很難準確確定，因此選點帶有很大的主觀性，這就摻入了人為誤差，使確定的L值誤差較大，從而解出的系數a，b值往往出現較大差別，不利于實際應用。

為了解決上述問題，1980年唐山煤炭研究所對負指數函數預計公式提出了新的計算公式：

式中：H——開采深度；

c——坐標原點平移系數，取絕對值。各參數對應的坐標系統見圖2。

圖2 沿走向主斷面的坐標系統（傾向主斷面類似）

式（2） 中，取采區邊界為坐標原點。對式（2）中x/H前“±”號的取法：橫坐標x的正向指向煤柱時（圖2 a）取“+”號；橫坐標x指向采空區時（圖2 b）取“-”號。本文均使用圖2a，取“+”號。

式（2）公式法在本文討論中簡稱“H”法。

2 參數a，b與主要地質采礦因素的關系

在煤層賦存狀態、采煤方法、頂板管理方法一定的情況下，對矩形工作面來說，其地表移動下沉盆地呈橢圓形，只是由于上覆巖性不同，采動程度不同，使得下沉盆地的范圍不同，下沉值不同。當開采深度相同時，上覆巖性愈硬，半盆地長L愈大，最大下沉值愈小；當其他條件相同時，采動程度愈充分，盆地半長L愈大，最大下沉值也愈大。

①由式（1）可得拐點t的橫坐標：

將式（3） 代入式（1） 得拐點下沉值W（t）：

由此可知：b與Wt/Wm有關，大量實測資料已經證明，當充分采動時，Wt/Wm≈0.5。隨充分采動程度的降低Wt/Wm愈來愈大于0.5，即Wt/Wm隨采動程度的變化而變化，而b隨Wt/Wm的變化而變化，因此b與充分采動程度有關。

②由式（3） 可得：

由此可知：當b一定的情況下，a與xt/L有關。設b=3，a=3，6，9時的無因次下沉曲線見圖3。

圖3 b=3，a=3，6，9時的無因次下沉曲線

由圖3可以看出，隨a的變化，曲線對拐點的對稱性基本不變，只是橫向發育不同罷了，因此a反映了盆地橫向發育程度，主要與上覆巖性有關。

③設已知某一下沉值W（p），則由式（1）可求得該下沉值點的橫坐標xp：

若取剖面上任意兩點的W（p1)，W（p2)則其橫坐標比值為：

由此可知，任意兩點的橫坐標的比值和參數a無關，只決定于b值。這就說明，a值變化不引起剖面上下沉值分布規律的變化，而只使盆地橫向發育程度產生改變，即a反映了下沉盆地橫向發育程度，b反映了剖面上下沉值分布變化規律，也就是a主要與上覆巖性有關，b主要與采動程度有關。

3 通常確定參數a，b的方法及本文提出的選點法

目前由實測資料計算a，b，不管是用“L”法還是“H”法，通常采用2種方法。

一種是用下沉曲線函數取2次對數，然后按最小二乘法求解，此法本文稱為“答解法”，其方法如下（以“L”法公式為例推導）。

以上2種方法，答解法確定a，b可使整個下沉剖面上擬合程度分布均勻，缺點是計算繁雜；拐點法確定a，b可使拐點位置一致且計算簡便。但拐點也是很難確定的，因為傾斜曲線與曲率曲線較下沉曲線的誤差要大得多，由它們確定的拐點精度是不穩定的，而拐點的精度直接影響系數a，b的精度，即影響下沉曲線的擬合精度，所以拐點法精度很難保證。

通過上述分析認為，應盡量保證最危險變形區段下沉曲線的擬合精度，也就是在拐點附近即開采邊界上方最危險變形區段內的觀測線上取連續若干觀測點（可視具體情況取4，5，6等點）的下沉值W（x）與橫坐標x代替拐點用最小二乘法求解，公式仍用式（14）、式（15），只是式中N為所取觀測點個數。

這種方法克服了答解法計算繁雜的缺點，發揮了它的優點，使最危險變形區段內下沉曲線擬合良好；克服了拐點難以確定的缺點，使計算較簡單。這種方法簡稱“選點法”。

4 本文分析的主要問題

本文欲通過各種方法求解參數a，b并計算預計與實際下沉曲線的擬合精度，主要搞清以下問題：

①L大小不同，參加計算的測點個數、位置相同所確定的a，b系數的大小變化及其擬合精度；

②L大小相同（或“H”法），參加計算的測點個數、位置不同所確定a，b系數的大小變化及其擬合精度；

③答解法、拐點法、選點法當邊界點下沉值取10 mm時，“L”法和“H”法中，同一種方法確定參數a，b的大小變化及其擬合精度；

④“L”法與“H”法中用3種方法確定參數a，b的大小及其擬合精度。

5 計算與分析

為了解決上述問題，對平頂山二礦、五礦、十礦3條走向和2條傾向線的實測資料用不同方法確定參數a，b，并計算預計與實際下沉曲線的擬合精度。

由表1（見表1） 可知：L的變化只改變a值的大小，即L減小，a值減小；L對b值無影響，而且確定的a，b系數對擬合精度無影響，此進一步證明L僅僅影響a的穩定性。

表1 L不同，觀測點個數、位置相同時a，b值及擬合精度

表2 L一定，觀測點個數、位置不同“L”法確定a，b值及擬合精度

表3 H一定，觀測點個數、位置不同“H”法確定a，b值及擬合精度

由表2、表3可以看出，L或H一定時，減少參加計算下沉盆地邊緣部分的觀測點，可使a，b值均增大，確定的a，b系數使下沉曲線擬合精度提高。因此，不管“L”法還是“H”法，減少地表下沉盆地邊緣部分觀測點參加計算a，b，均使a，b值增大、擬合精度提高。

由表4、表5、表6可看出（見表4、表5、表6）：“L”與“H”法用同一種方法在參加計算a，b的測點個數、位置相同的情況下，確定的a值不同，b值基本不變，而且確定的a，b值使下沉盆地擬合精度基本相同，說明“L”法或“H”法在用實測資料確定a，b時精度一樣。

表4 邊界點相同時“L”和“H”法用答解法解算a，b及擬合精度

表5 邊界點相同時“L”和“H”法用拐點法解算a，b及擬合精度

由表7、表8（見表7、第36頁表8） 可以看出：

①拐點法確定a，b值的大小與答解法比較，變化無規律，其確定的a，b值使下沉盆地擬合精度有時比答解法高，有時低，不穩定，說明拐點很難準確確定；

表6 邊界點相同時“L”和“H”法用選點法解算a，b及擬合精度

表7 “L”法用3種方法解算a，b及擬合精度（條件L10）

②選點法確定a，b值的大小與答解法比較，a，b值均增大，其確定的a，b值使下沉盆地擬合精度都比答解法高，而且穩定；

③拐點法確定的a，b值的大小與選點法比較，變化無規律，其確定的a，b值使下沉盆地擬合精度只有極少數觀測線比選點法高，絕大部分觀測線不如選點法。

表8 “H”法用3種方法解算a，b及擬合精度（條件L10）

6 對確定系數a，b的初步看法

①由上述分析可知：“L”法和“H”法用同一種方法（答解法、拐點法、選點法）由實測資料確定a，b時，其精度基本相同，因此用“H”法代替“L”法并不能提高a，b系數的精度；

②確定a，b系數的精度與L的大小沒有關系，因此用實測資料確定a，b時，取L10即可；

③無論是“L”法還是“H”法，當減少地表下沉盆地邊緣部分的測點計算a，b時，精度都相應提高。這說明下沉盆地邊緣部分已不符合負指數函數所描述的下沉規律，用它們參加計算將使下沉盆地曲線產生變形，因而使預計精度降低，即負指數函數法描述下沉盆地有一定范圍，超出此范圍后，a，b系數確定誤差均增大。

④3種方法確定a，b值，以本文提出的選點法為最好，其精度較高，而且穩定。

7 負指數函數法應用應注意的問題

7.1 提高確定L的精度與提高預計精度的關系

由前述分析已知，確定a，b的精度與L變化無關，是否說提高確定L的精度無必要呢？由表9（見表9）可知，由于L的不對應使預計精度大為降低。也就是說，在確定a，b值與預計下沉盆地所處地質采礦條件相同的情況下，所確定的L也必須與確定a，b值時所確定的L值相對應，如果L的確定存在較大誤差的話，則求系數a，b所用L與預計下沉盆地曲線所確定L存在較大不對應誤差，則兩者間的誤差勢必影響預計下沉曲線的精度，這就是提高邊界點下沉值，從而提高確定盆地半長L的精度，使確定a，b使用的L值與預計下沉曲線的L值相對應。

表9 “L”法用選點法計算的結果

7.2 “H”法取代“L”法的優點

由前述分析可知：“H”法和“L”法用同一種方法根據實測資料求系數a，b時其精度基本一樣，那么為何還要用“H”法代替“L”法呢？比較表10（見表10）與表9可知，用“H”法代替“L”法后，ΔM變化大大減小，若提高量取H的精度，則ΔM將很小，因此預計下沉曲線的精度將大為提高。這就說明用“H”法代替“L”法后，cH值的確定精度比L值的確定精度高，從而使確定系數a，b的實測資料與預計下沉曲線的對應性更高，因此提高了下沉曲線的預計精度。

表10 “H”法用選點法解算的結果

8 結語

通過前述分析：負指數函數法最佳公式應用“H”公式法，確定a，b系數的方法應選用選點法，這樣可使負指數函數法預計精度大大提高；但用選點法確定系數a，b使預計下沉曲線邊緣部分收斂過快，也就是說下沉曲線邊緣部分已不符合負指數函數法所描述的下沉規律，解決此問題，尚需進一步討論。

[1]中國礦業大學.煤礦巖層與地表移動.北京：煤炭工業出版社，1981.

[2]何國清.礦山開采沉陷學.徐州：中國礦業大學出版社，1991.

Talks of the Methods to Determine the a,b Coefficient in Negative Exponential Function

Zhang Yudai

The mainland table movement and deformation in the main section of the surface movement basin can be expressed in negative exponential function.This article detailed analyzed the methods to determine the a,b coefficient in negative exponential function,as well as the problems during applications.

surface movement basin;surface movement and deformation;negative exponential function method;a,b coefficient;fitting precision

P642.26

A

1000-4866（2010）04-0032-05

張玉呆，男，1962年12月出生，畢業于西安礦院，本科學歷，講師，現在山西大同煤炭職業技術學院工作。

2010-07-14

2010-08-03