數(shù)學(xué)直覺思維讓課堂教學(xué)更顯效

數(shù)學(xué)直覺思維是對(duì)抽象的數(shù)學(xué)對(duì)象的一種直接領(lǐng)悟和洞察，是在具備一定的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)知識(shí)積累過程中形成的一種思維能力，它有著直接性、快速性、跳躍性、個(gè)體性、堅(jiān)信感、偶然性、非邏輯性、創(chuàng)造性、或然性等特點(diǎn).我認(rèn)為數(shù)學(xué)課堂教學(xué)不但離不開學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維的培養(yǎng)，而且更需要用好數(shù)學(xué)直覺思維去解決數(shù)學(xué)問題，這樣才會(huì)使課堂教學(xué)更顯效.為此，筆者在教學(xué)實(shí)踐中，對(duì)數(shù)學(xué)直覺思維的運(yùn)用作了些探索.

一、數(shù)學(xué)美感，激發(fā)直覺思維動(dòng)力，數(shù)學(xué)課堂興趣盎然

數(shù)學(xué)直覺的本質(zhì)就是某種“美的意識(shí)”或“美感”.數(shù)學(xué)美充滿了整個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，而這些數(shù)學(xué)美是引起數(shù)學(xué)直覺的動(dòng)力，是產(chǎn)生數(shù)學(xué)直覺的重要條件.我們?cè)诮虒W(xué)實(shí)踐中應(yīng)充分展現(xiàn)數(shù)學(xué)美、挖掘數(shù)學(xué)美或創(chuàng)造數(shù)學(xué)美，引導(dǎo)學(xué)生按照美的規(guī)律去想象、去判斷.

例1已知函數(shù)f(x)=，那么f (1)+ f (2)+ f ()+ f (3)+ f ()+ f (4)+ f ()=.

分析:本題如果逐個(gè)代入求值，顯然比較麻煩且費(fèi)時(shí)較多，但如果憑直覺發(fā)現(xiàn)，本題有著和諧的對(duì)稱美，且2×=3×=4×=1，就會(huì)意識(shí)到采取自變量的互補(bǔ)配對(duì)策略，f (2)+ f ()、 f (3)+ f ()、 f (4)+ f ()的結(jié)果應(yīng)該相同.

由 f (2)=， f ()= f (2)+ f ()=1，計(jì)算并發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律f (x)+ f ()=1，從而得出答案是3.

數(shù)學(xué)中有很多問題有著和諧的對(duì)稱美，解題時(shí)若能挖掘與利用這種關(guān)系，往往會(huì)有意想不到的收獲.在解某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，針對(duì)其中的式子f (x)的特點(diǎn)，為其配湊一個(gè)合適的式子 f ()，使得由f (x)和 f ()之間的運(yùn)算產(chǎn)生一些有用的關(guān)系式，往往能促使問題向有利的方向轉(zhuǎn)化，進(jìn)而解決問題.

二、數(shù)形合璧，誘導(dǎo)直覺思維動(dòng)機(jī)，數(shù)學(xué)解題如虎添翼

縱觀多年數(shù)學(xué)高考試題，巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思維方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問題，有著事半功倍的效果.由數(shù)思形，由數(shù)想形，利用圖形的直觀誘發(fā)直覺，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維非常有幫助.提高了數(shù)形直觀思維能力，學(xué)生在解答有關(guān)數(shù)或形的數(shù)學(xué)問題時(shí)就如虎添翼.

1. 數(shù)變形，眼中有數(shù)，心中有圖

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)抽象的概念時(shí)，若把它的屬性用恰當(dāng)?shù)膱D形加以展示，相信會(huì)給學(xué)生帶來直觀、形象和清晰的視覺沖擊，從而使學(xué)生的直覺思維能力得以提升和發(fā)揮.

例2如果實(shí)數(shù)x和y滿足方程(x-2)2+y2=2，求的最大值.

分析:從整體上觀察題設(shè)中的方程和所求式，可以發(fā)現(xiàn):已知圓的方程，求幾何意義為斜率的代數(shù)式的最大值.憑直覺可知，相切時(shí)取最大值.

不妨設(shè)點(diǎn)A(x，y)在圓(x-2)2+y2=2上，圓心為C(2，0)，半徑等于(如圖1)，則是點(diǎn)A與原點(diǎn)連線的斜率.當(dāng)OA與⊙C相切，且切點(diǎn)A落在第一象限時(shí)，kOA有最大值，即有最大值.

因?yàn)镃A=，OC=2，所以O(shè)A==.

所以()max=tan∠AOC=1.

在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，學(xué)生如果能做到眼中是數(shù)，心中有圖形，那么必然會(huì)在觀察圖形的過程中增強(qiáng)學(xué)生的想象力，促使學(xué)生產(chǎn)生接近于實(shí)際的直覺猜想，提高直覺感知能力.在解題時(shí)，構(gòu)造出恰當(dāng)?shù)膸缀螆D形常常能得出令人拍案稱奇的巧妙解法，而且數(shù)形結(jié)合也是誘導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)直覺思維動(dòng)機(jī)的一個(gè)極好的切入點(diǎn).

2. 形化數(shù)，眼中有圖，心中有數(shù)

在平面幾何和空間幾何中，我們也常常在“覓數(shù)”中找到捷徑，即在觀察圖形時(shí)，既要定性也要定量.換言之，借助圖形來完成某些題時(shí)，僅畫圖示“意”是不夠的，還必須反映出圖形中的數(shù)量關(guān)系.

例3圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線x+y+1=0的距離為的點(diǎn)共有幾個(gè)?

分析:由平面幾何知，到定直線l:x+y+1=0的距離為的點(diǎn)的軌跡是平行l(wèi)的兩條直線.因此問題就轉(zhuǎn)化為判定這兩條直線與已知圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù).將圓方程變形為:(x+1)2+(y+2)2=8，知其圓心是C(-1，-2)，半徑r=2，而圓心到定直線l的距離為，由此判定平行于直線l且距離為的兩條直線中，一條通過圓心C，另一條與圓C相切，所以這兩條直線與圓C共有3個(gè)公共點(diǎn)(如右圖2).

可見，數(shù)形結(jié)合的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來，使抽象思維和形象思維結(jié)合起來，在解決代數(shù)問題時(shí)，聯(lián)想到它的圖形，從而啟發(fā)思維，找到解題之路;或者在研究圖形時(shí)，利用代數(shù)的性質(zhì)，解決幾何的問題.

三、經(jīng)驗(yàn)積累，豐富直覺思維源泉，數(shù)學(xué)課堂百花齊放

數(shù)學(xué)直覺思維是人腦對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象、結(jié)構(gòu)以及關(guān)系的敏銳的想象和迅速的判斷，盡管有偶然性的特點(diǎn)，但并不是憑空臆想的，而是依靠過去的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)以及對(duì)有關(guān)知識(shí)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，從而從整體上把握問題的實(shí)質(zhì)，進(jìn)而分析問題，解決問題.因此，學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的經(jīng)驗(yàn)積累是培養(yǎng)直覺思維能力的基礎(chǔ).在日常教學(xué)中，我們不難發(fā)現(xiàn)，成績好的學(xué)生在解數(shù)學(xué)題時(shí)，知道題意和條件后，解題思路馬上在他們的腦海中涌現(xiàn).為什么這些學(xué)生思維如此敏捷呢?原因是因?yàn)樗麄兇竽X中積累了比一般學(xué)生更多的知識(shí)，故快速反應(yīng)的數(shù)學(xué)直覺就應(yīng)運(yùn)而生.

在教學(xué)直線與圓錐曲線的問題時(shí)，我舉了一道常見的例題:

例4設(shè)直線l:y=kx-1與雙曲線x2-3y2=1交于A，B兩點(diǎn)，以AB為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，求k的值.

分析:通過對(duì)問題的分析后，很多學(xué)生馬上想到OA⊥OB，這一初中知識(shí)為解此題提供了直覺的源泉，緊接著學(xué)生的思維便活躍起來，順理成章地便設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2+y1y2=0.這一形式的出現(xiàn)使學(xué)生意識(shí)到，只需將直線方程和雙曲線方程聯(lián)立成方程組，消去y和x再運(yùn)用韋達(dá)定理代入上式即可.仔細(xì)觀察又可以轉(zhuǎn)化為:y1y2=(kx1-1)(kx2-1)=k2x1x2-k(x1+x2)+1，所以只需消去y，由上可以得到關(guān)于k的方程，從而解出k的值.

量的積累是質(zhì)的飛躍的前提，豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)的積累是產(chǎn)生直覺思維的源泉，沒有對(duì)圓的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)的正確把握，則不可能有此題的直覺判斷.

四、鼓勵(lì)猜想，培養(yǎng)直覺思維信心，數(shù)學(xué)課堂充滿創(chuàng)新

直覺思維是一種瞬間思維，它是邏輯的凝結(jié)、簡縮和躍進(jìn)，而其過程往往是不清晰的，但將這些思維環(huán)節(jié)展開時(shí)，可以看到不少是發(fā)散思維、類比、歸納和聯(lián)想的結(jié)果，因此教學(xué)中要全面介紹形象思維、邏輯思維和直覺思維，使學(xué)生能從整體上把握問題.

例5在一次數(shù)學(xué)測(cè)試后，一位學(xué)生對(duì)一道求值題的解答引起了在場(chǎng)幾位教師的爭論.

函數(shù)f (x)是定義在(0，+∞)上的單調(diào)函數(shù)，且f (xy)= f (x)+ f (y)，f (4)=1.

(1)求f (16)的值; (2)證明:f (xn)=nf (x)(n∈N+).

解:看到f (xy)= f (x)+ f (y)，憑直覺馬上想到了f (x)=logax，而f (4)=1，所以，f (16)=log416=2，f (xn)=log4 xn=nlog4 x=nf(x).

教師甲:該同學(xué)采用投機(jī)取巧的辦法，沒有采用賦值法的步驟來求解，考查不出該生對(duì)用賦值法求解抽象函數(shù)問題的掌握情況，因此不能給分，否則會(huì)造成不良后果.

教師乙:雖然該學(xué)生沒有采用賦值法的步驟來解題，但畢竟看出了抽象函數(shù)所對(duì)應(yīng)的一個(gè)具體函數(shù)，因此可以給一定的分?jǐn)?shù)，給予鼓勵(lì).

教師丙:該生解法過程完整，應(yīng)給滿分.

教師甲:禁止采用投機(jī)取巧，強(qiáng)調(diào)按課本要求的格式完成.

教師乙:鼓勵(lì)按照采用賦值法的步驟來解題的同時(shí)，適當(dāng)觀察抽象函數(shù)對(duì)應(yīng)的函數(shù)模型，最后應(yīng)按照課本要求完成解題格式.

教師丙:強(qiáng)調(diào)直覺，只要能把問題解決并且理由充足即可.

教學(xué)中，教師沒有必要強(qiáng)迫學(xué)生的思考方式、表達(dá)形式一定要如自己所想.相反，應(yīng)該把直覺思維在課堂中明確地提出，制定相應(yīng)的活動(dòng)策略.當(dāng)遇到學(xué)生的奇思妙想時(shí)，不要輕易地說“不”，對(duì)于學(xué)生的大膽設(shè)想應(yīng)給予充分肯定，對(duì)其合理成分及時(shí)給予鼓勵(lì)，愛護(hù)、扶植學(xué)生的自發(fā)性直覺思維，也許只有這樣，才能呵護(hù)他們可貴的直覺思維，才會(huì)讓我們的學(xué)生在獲得知識(shí)的同時(shí)，變得更聰明.

“跟著感覺走”是教師經(jīng)常講的一句話，其實(shí)這句話里已蘊(yùn)涵著直覺思維的萌芽，只不過我們大家沒有把它上升為一種思維觀念.我們應(yīng)該把直覺思維冠冕堂皇地在課堂教學(xué)中明確的提出，制定相應(yīng)的活動(dòng)策略，從整體上分析問題的特征.

五、善于反思，彌補(bǔ)直覺思維“漏洞”，數(shù)學(xué)教學(xué)更加嚴(yán)謹(jǐn)

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科.直覺是一種不經(jīng)過分析、推理的認(rèn)識(shí)過程而直接快速地進(jìn)行判斷的認(rèn)識(shí)能力，學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺思維由于受心理因素和認(rèn)知水平的限制而時(shí)常產(chǎn)生錯(cuò)誤，因此養(yǎng)成反思的習(xí)慣，可以彌補(bǔ)學(xué)生思維的漏洞.

例6已知x+y=1，求證:xn+yn≥(n∈N+).

分析:看到本題學(xué)生會(huì)憑直覺毫不猶豫地想到數(shù)學(xué)歸納法.方法雖不錯(cuò)，但似乎缺少點(diǎn)什么.深入分析已知條件會(huì)有如下巧解:

設(shè)x=+t，y=-t，則有xn+yn=(+t)n+(-t)n=2[C 0n()n+C 2n()n-2t2+…]≥(n∈N+)

本題如果停留在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上不深入發(fā)現(xiàn)已知條件的特征，就得不到上述美妙的證法.

在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，邏輯思維與直覺思維是相互補(bǔ)充、相互作用的，偏離任何一方都會(huì)制約一個(gè)人思維能力的發(fā)展，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，培養(yǎng)學(xué)生辯證運(yùn)用邏輯思維與直覺思維的自覺意識(shí)，是發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力的一個(gè)重要方面.

直覺存在于邏輯方法運(yùn)用過程的整體或局部.通常在我們接觸問題之后，首先就有一個(gè)依靠直覺判斷選擇策略、制定計(jì)劃的階段，然后才能動(dòng)用邏輯思維進(jìn)行邏輯推理和集中思維以使認(rèn)識(shí)逐步深入.而在局部的前進(jìn)過程中思維受阻后，則仍需依靠直覺思維去重新探索、猜測(cè)和想象，使思維發(fā)散直至找到新的正確思路.在這個(gè)過程中，就主要傾向而言，直覺思維是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要方法，而邏輯思維則是解決問題的基本方法.因此，在具體的數(shù)學(xué)思維過程中，我們應(yīng)加強(qiáng)這兩種思維方式辯證運(yùn)用的自覺意識(shí)，特別是要重視直覺思維在解決問題時(shí)的指引方向和調(diào)整思路的重要作用.

責(zé)任編輯羅峰