曲解函數(shù)概念引發(fā)低級(jí)失誤的原因剖析

函數(shù)概念是高中數(shù)學(xué)中的核心概念，既是重點(diǎn)內(nèi)容，也是難點(diǎn)內(nèi)容.在長期的教學(xué)過程中，雖然每次講授這一內(nèi)容都會(huì)有新的突破，但從學(xué)生解題過程中反饋的情況看，總有令人失望的情景出現(xiàn)，有時(shí)讓人覺得匪夷所思.本文擬從學(xué)生解函數(shù)常規(guī)題中出現(xiàn)的低級(jí)錯(cuò)誤中作一些剖析，追根溯源，與同行分享.

一、學(xué)生解決函數(shù)問題中的幾種低級(jí)錯(cuò)誤

1.“函數(shù)定義”蜻蜓點(diǎn)水

高中引進(jìn)集合之后，函數(shù)定義為兩個(gè)非空數(shù)集之間的映射關(guān)系，映射的關(guān)鍵點(diǎn)是單值對(duì)應(yīng)，即A中的每一元素，在B中都有唯一的元素與之對(duì)應(yīng)，學(xué)生往往忽略這一關(guān)鍵點(diǎn).

例1已知函數(shù)f(x)=lg(x2+tx+1)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

錯(cuò)解:∵f(x)=lg(x2+tx+1)的值域是R，∴△=t2-4<0，解得-2

∴實(shí)數(shù)t的取值范圍為(-2，2).

剖析:上述解法的錯(cuò)誤根源在于沒有深刻理解對(duì)數(shù)函數(shù)是從(0，+∞)到R的一一映射，欲使f(x)的值域?yàn)镽，x2+tx+1的值必須取遍所有正數(shù).

正確解法:∵f(x)=lg(x2+tx+1)的值域?yàn)镽 ，

∴△=t2-4≥0，解得t≤-2或t≥2，

∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-∞，-2](2，+∞].

2.“定義域”視而不見

定義域是函數(shù)三要素之一，也是決定函數(shù)的重要條件之一，解題過程中時(shí)常要注意定義域.比如奇函數(shù)的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)是對(duì)稱的區(qū)域，實(shí)際問題中建立函數(shù)模型必須從實(shí)際意義中獲取定義域，等等.解題要是忽略了這一點(diǎn)，就會(huì)引發(fā)錯(cuò)誤.

例2求函數(shù)f(x)=1n(x+1)-x的單調(diào)區(qū)間及對(duì)應(yīng)的單調(diào)性.

錯(cuò)解:∵f(x)=1n(x+1)-x，∴f ′(x)=-1=，

令f ′(x)=0得x=0，且x>0時(shí)f ′(x)<0，x<0時(shí)f ′(x)>0，

∴f(x)在(-∞，0)上是單調(diào)增函數(shù)，在(0，+∞)上是單調(diào)減函數(shù).

剖析:這種解法忽略了單調(diào)區(qū)間應(yīng)是定義域的子集，即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間應(yīng)包含于定義域，最多等于定義域，不能越過定義域.

正確解法:∵f(x)=1n(x+1)-x，∴x+1>0，

即x>-1，又∵ f ′(x)=-1=，

令f ′(x)=0得x=0，∴x∈(-1，0)時(shí)f ′(x)<0，x∈(0，+∞)時(shí) f ′(x)<0，

∴原函數(shù)(-1，0)在(0，+∞)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

還有一種錯(cuò)誤是忽略了函數(shù)的定義域?yàn)榉强諗?shù)集，有時(shí)題目本身就有問題.好多復(fù)習(xí)資料上都有這個(gè)題目:已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a，b]且a+b>0，求f(x)+f(-x)的定義域，在其解答中有這樣一段話“當(dāng)a>0時(shí)，f(x)+f(-x)的定義域是”，我想這句話本身就很荒唐，換句話說，題目本身就有問題，應(yīng)該加上條件“a≤0”.

3.“對(duì)應(yīng)法則”置若罔聞

對(duì)應(yīng)法則是決定函數(shù)上的重要條件，一個(gè)函數(shù)只要定義域和對(duì)應(yīng)法則確定了，其值域也隨之確定.但在實(shí)際應(yīng)用中往往不被重視，學(xué)生解題也會(huì)因此出現(xiàn)錯(cuò)誤.

例3已知函數(shù)

f(x)=5-x2，x<0x2-4x+4，(x≥0，若f(x0)=1，求x0的值.

錯(cuò)解:令5-x2=1，得x2=4，x=±2，

再令x2-4x+4=1，得x2-4x+3=0，

∴x=1或3，∴x0的值組成的修集合為{-2，1，2，3}.

剖析:分段函數(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)在于，不同區(qū)域內(nèi)對(duì)應(yīng)法則不同.本題中x<0時(shí)，f (x)=5-x2;x≥0時(shí)，

f (x)=x2-4x+4，體現(xiàn)了不同的對(duì)應(yīng)法則，應(yīng)該考慮這一點(diǎn).

正確解法:1°當(dāng)x<0時(shí)，令5-x2=1解得x=±2，

∵x<0，∴只取x=-2;

2°當(dāng)x≥0時(shí)，令x2+4x+4=1時(shí)，解得x=1或3.

綜上可知，x0的值組成的集合為{-2，1，3}.

4.“鄰近知識(shí)”分道揚(yáng)鑣

函數(shù)、方程、不等式是同一系列的，函數(shù)的零點(diǎn)、方程的根都有明顯的幾何意義體現(xiàn)在函數(shù)的圖像上，學(xué)生應(yīng)將三者有機(jī)結(jié)合起來，注重內(nèi)在聯(lián)系.

例4關(guān)于x的方程x2-ax+6=0的兩根均大于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

錯(cuò)解:設(shè)x1，x2為原方程的兩根，依題意△=a2-24≥0x1+x2=a>4x1x2=6>4，

解a≥2得，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是:[2，+∞).

剖析:這個(gè)結(jié)果顯然與正確答案不符.有位教師面對(duì)學(xué)生這樣的答案，沒有分析學(xué)生為什么會(huì)這么做，就用根的分布構(gòu)造二次函數(shù)結(jié)合圖像一口氣解決，講到下課，顯然沒有從根本上解決學(xué)生的問題.其實(shí)學(xué)生的想法也不是沒有道理，很多學(xué)生都會(huì)這么想，因?yàn)橐郧白鰞筛鶠檎龜?shù)的類似題目都是用判別式以及韋達(dá)定理完成的，類比推理學(xué)生也會(huì)套用.教師應(yīng)從學(xué)生思維的根源去分析，因?yàn)檫@里涉及到充分與充要的問題，需要我們做進(jìn)一步探究.

正確解法:設(shè)x-2=t，則原方程可化為:t2-(a-4)t-2a+10=0，

原方程兩根均大于2，即這個(gè)關(guān)于t的方程兩根均大于0，

設(shè)t1，t2為其兩根，由判別式及韋達(dá)定理△=(-a+4)2-4(-2a+10)≥0 t1+t2=a-4>0 t1t2=-2a+10>0，

解得2≤a<5，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是:[2，5).

二、歸因分析

作為一個(gè)數(shù)學(xué)教師，經(jīng)常會(huì)因?yàn)閷W(xué)生出現(xiàn)這樣的問題而苦惱，上課時(shí)他們好像聽得很明白，但做題時(shí)總會(huì)出現(xiàn)這樣那樣的低級(jí)錯(cuò)誤.以上幾個(gè)例子雖然是很簡單的問題，但很多學(xué)生都會(huì)出現(xiàn)類似的錯(cuò)誤，為什么會(huì)這樣呢?追根溯源，我們不防回歸到知識(shí)的源頭看看，以下三個(gè)原因值得警惕.

1. 函數(shù)概念的完備性是我們教學(xué)過程中時(shí)常會(huì)淡化的.函數(shù)概念同其它數(shù)學(xué)概念一樣同時(shí)具有純粹性和完備性，它包括兩方面意思，即順推和逆推都成立.傳統(tǒng)的教學(xué)方法往往只重視其純粹性，因此學(xué)生也往往只清楚其純粹性，其完備性只是表面上的走馬看花，在實(shí)際應(yīng)用過程中時(shí)常會(huì)忘記.

2. 數(shù)學(xué)語言與自然的文字語言混淆會(huì)造成學(xué)生理解上的困難.函數(shù)的表示方法就告訴我們，有時(shí)可以運(yùn)用自然的文字語言表述，而經(jīng)常情況下是用規(guī)范的符號(hào)語言來表述，如y=f(x)同s=f(t)是同一個(gè)函數(shù)，只是起符號(hào)不同而已.在函數(shù)的表示上，同我們的直覺剛好相反，抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)學(xué)生用起來比較自然，自然的文字語言學(xué)生反而不太習(xí)慣，這一點(diǎn)在函數(shù)類應(yīng)用題上體現(xiàn)得比較明顯.

3. 不注意函數(shù)概念的邏輯順序會(huì)造成學(xué)生應(yīng)用上的錯(cuò)誤.函數(shù)問題應(yīng)用范圍廣，對(duì)學(xué)生能力要求高，其中有很多知識(shí)上的聯(lián)系與邏輯關(guān)系.例如，函數(shù)是從非空數(shù)集A到非空數(shù)集B的映射，就說明函數(shù)的定義域是非空數(shù)集;奇函數(shù)與偶函數(shù)的圖像的對(duì)稱性決定了其單調(diào)性的對(duì)稱性;學(xué)生容易把“函數(shù)值大于0恒成立”與“函數(shù)的值域是(0，+∞)”混淆，等等.

三、教學(xué)對(duì)策

我們?cè)谌粘５慕虒W(xué)過程中應(yīng)該重視這些問題的存在，采取切實(shí)可行的措施逐步解決這些問題.結(jié)合多年的教學(xué)實(shí)際，我將其歸納為:觀察→思考→對(duì)比→討論→反思.

1. 觀察

講函數(shù)概念一定要有問題情境的設(shè)置，可以像教材那樣用“炮彈發(fā)射”“臭氧層空洞”“恩格爾系數(shù)”等實(shí)際問題讓學(xué)生觀察，將學(xué)生帶入問題中，然后抽象為解析式、圖像、列表法等表示函數(shù)的方法，這就是增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識(shí).

2. 思考

當(dāng)學(xué)生通過觀察熟悉這三個(gè)實(shí)際例子后，教師要及時(shí)啟發(fā)學(xué)生思考，讓他們認(rèn)真分析實(shí)例背后隱藏的數(shù)學(xué)問題，盡量讓學(xué)生主動(dòng)思考，自然形成認(rèn)識(shí).這個(gè)環(huán)節(jié)需要教師精心設(shè)計(jì)，明確最核心的細(xì)節(jié).

3. 對(duì)比

對(duì)比包括兩方面，一是對(duì)比這三個(gè)實(shí)際的例子，比較它們的共同點(diǎn)，以便后面進(jìn)行歸納;二是容易混淆的題目的對(duì)比，前面提到的幾個(gè)例子都有很多變式以及延伸與拓展，可以將他們放在一起講解，這樣有利于學(xué)生分辨它們的區(qū)別.

4. 討論

當(dāng)學(xué)生對(duì)問題有所思、有所感悟時(shí)，可以讓他們自由討論與交流，允許他們辯論、發(fā)表不同的看法.教師最后做的工作就是作出評(píng)判，將學(xué)生的主要觀點(diǎn)列出來，統(tǒng)一大家的認(rèn)識(shí)，避免思維走向錯(cuò)誤的極端，同時(shí)給出標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)的定義，再作解釋.

5. 反思

反思是很多教師上課忽略的一個(gè)環(huán)節(jié).函數(shù)概念的教學(xué)尤其需要反思，因?yàn)樗艹橄?教師除了反思講課的每一個(gè)細(xì)節(jié)，還要反思學(xué)生聽課的每一個(gè)細(xì)節(jié)，分析學(xué)生做題中的問題所在.這樣，后續(xù)教學(xué)的過渡才能逐步得到解決.

責(zé)任編輯羅峰