構造方法在數學解題中的應用

摘 要: 構造方法是一種基本的數學方法，在中學數學中具有廣泛的應用，集中體現了數學思維方法特色。本文通過具體例題展示構造函數方法的應用。

關鍵詞: 構造方法 思想 函數

構造方法包括構造圖形、函數、方程、不等式、向量和數列等多種情況。

構造方法具有以下特征:

(1)構造方法是一種通過構造新的數學對象使原問題得以轉化，從而解決問題的一種方法。

(2)構造方法解決問題的過程比較直觀，它能斷定某種數學對象的存在。

(3)構造方法解決問題具有很大的靈活性，針對某一問題，如何進行構造，要求解題者具備豐富的解題經驗。

1.構造圖形

例1:正數A，B，C，a，b，c，滿足a+A=b+B=c+C=k。

求證:aB+bC+cA

分析:正數乘積的幾何意義可看作某個圖形的面積，由a+A=b+B=c+C=k，可以想到以k為邊長的正三角形。構造以k為邊長的正三角形，在三邊上取點L，M，N，使PL=A，LQ=a，QM=B，MR=b，RN=C，NP=c，(如圖1)由S+S+S

2.構造方程

方程可以看作是函數值為零的特殊情況。在解決問題時，根據問題條件的數量關系和結構特征，構造出新的方程，然后依據方程理論，可以使許多問題得以轉化。

例2.如圖2所示，過正方形ABCD的頂點C作一條直線，交AB、AD的延長線于E、F，求證:AE+AF≥4AB。

證明:設AB=a，AE=m，AF=n，

連接AC，則S=S+S，

即mn=ma+na，

從而有mn=(m+n)a。

令m+n=t，則mn=ta，

所以m，n是方程x-tx+ta=0的兩根。

因為m，n∈R，

所以△=t-4at≥0，所以t≥4a即AE+AF≥4AB。

評注:運用方程觀點解題可以歸結為三個步驟。

(1)將題設條件與所求結論轉化為與方程有關的問題;

(2)解這個方程或討論這個方程的有關性質(常用判別式與韋達定理)，得出相應的結論;

(3)將方程的相應結論再轉化為原問題的結論。

3.構造不等式

構造不等式也是一種具體的構造函形式。當遇到等式(或者方程)問題，從正面無法解決或者較難解決時，可以通過構造不等式的方法來實現轉化(考慮不等式取等號的情形)，這正體現了等與不等的矛盾關系。

例3.已知方程組x=nx=n…x=n?搖?搖?搖 …Θ，求方程組的解。

解:取數組(x，x，…x)，(1，1，…1)，應用柯西不等式，則有|x#8226;1|≤#8226;，

整理得≤=，

由柯西不等式等號成立的條件可知:

=k(為常數)，i=1，2，…n，

由此可得:x=x=…=x=1。

4.構造數列

在處理與自然數n有關的數學問題時，常常根據題目的特征，通過代換等方法構造出一個與原問題有關的數列，由此探尋解題的途徑。

例4.已知數列中{a}中a=2，a=(-1)(a+2)，n=1，2，3…，求{a}通項公式。

解:由題設:

a=(-1)(a+2)

=(-1)(a-)+(-1)(2+)

=(-1)(a-)+

可得a-=(-1)(a-2)。

數列{a-}是首項為2-，公比為-2的等比數列，

即:a-=(-1)，

因此，a=[(-1)+1]，n=1，2，3，…。

評注:解題的關鍵就是構造了一個特殊的等比數列{a-}。

例5.在一個有限的實數列中，任意七個連續項之和都是負數，而任意連續11項之和都是正數，試問這樣的數列最多有多少項?

解:設滿足要求的數列為a，a，…a，取其前17項形成如下的數陣:

a，?搖a，…?搖aa，?搖a，…?搖a…，?搖?搖…，?搖…a，?搖a，…?搖a對此數陣分別按行列求和可得:

S=a+a+…+a<0，S=a+a+…+a>0，這一矛盾說明數列的項數n<17，另一方面構造出滿足題目條件的含有16項的數列:6，6，-15，6，6，6，-16，6，6，-16，6，6，6，-15，6，6;由此可知n=16。

5.構造函數

在求解某些看似與函數毫不相干的數學問題時，可以根據題目的特點，巧妙地構造一個函數，使矛盾得以轉化，從而利用函數的有關性質(如單調性、有界性、奇偶性)使問題得以解決。

例6.(ab)≤ab，a，b∈R，i=1，2，…n，

求證:當且僅當==…=時等號成立。

證明:

令f(x)=(ax-b)，則f(x)=(a)x-2xab+b。

因為f(x)≥0，所以△=(-2ab)-4ab≤0

即柯西不等式成立，等號成立的充要條件也易驗證。

例7.已知:x，y∈[-，]，a∈R，且x+sinx-2a=04y+sinycosy+a=0，求cos(x+2y)的值。

分析:若用三角函數公式去做，則不易求解;若構造一個函數，則很容易求解，觀察題設的兩個等式可得x+sinx=(-2y)+sin(-2y)，此式有相同的結構，于是引入函數f(t)=t+sint，t∈[-，]，則有f(x)=f(-2y)，因為當t∈[-，]時，f(t)是增函數，所以x=-2y，即:cos(x+2y)=cos0°=1。

評注:觀察題設中的兩個方程，它們的結構高度相似，由此聯想到構造函數，并利用函數的單調性來解決問題。

例8.設|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證:ab+bc+ac>-1。

證明:令f(x)=(b+c)x+bc+1為一次函數。

因為f(1)=(1+b)(1+c)>0，且f(x)=(1-b)(1-c)>0，

所以f(x)在x∈(-1，1)時，恒有f(x)>0。

又因為a∈(-1，1)，所以f(a)>0，即ab+bc+ac+1>0。

6.構造向量

例9.(ab)≤ab，a，b∈R，i=1，2，…n，

求證:當且僅當==…=時等號成立。

證明:根據n維線性空間中內積和距離的定義，易得:

cosθ=。由|cosθ|≤1，即知柯西不等式成立。

評注:通過例題6和例題9，我們可以發現對于一個問題，可以用多種不同的構造方法去解決。

綜上可知，構造方法在解題過程中常能收到化難為易、化繁為簡效果，值得我們去很好地掌握。運用構造法解題，沒有一個統一的模式，它需要較多的分析、類比、聯想和直覺。因此，我們需要在解題實踐中積累對于不同問題的構造技巧。

參考文獻:

[1]梁法馴.數學解題方法[M].武漢:華中理工大學出版社，1995.

[2]楊澤忠.數學思想方法導論[M].山東:黃河出版社，2006.