用直線點斜式方程破解兩類易錯題

同學們知道，直線方程有五種方程形式(點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式)，這五種方程形式分別具有各自適用的范圍.本文主要與同學們來談談直線點斜式方程在破解兩類易錯題中的運用.

例1 已知點A(-2，4)、B(4，2)，直線l過點P(0， -2)與線段AB相交，則直線l的斜率k的取值范圍是__________.

分析 這道題是直線中的常見易錯題型，我們通常采用畫圖、數形結合的方法，從過定點P與線段AB上任意一點的連線的斜率角度來思考.如圖1，用兩點斜率公式可以求得直線PA、PB的斜率分別為-3、1，接下去的難點是理解直線l從y軸往直線PA變動和直線l從y軸往直線PB變動時的斜率變化規律，也就是直線l從直線PA變動到直線PB的斜率變化規律:先變小，再變大.如果實在弄不清變化規律，還可以這樣記:如果存在垂直x軸的直線與線段相交，則斜率取兩邊，否則取中間.根據這個變化規律，我們可以得到直線從y軸變動到直線PA的斜率范圍為(-∞，-3]，直線從y軸往直線PB變動時，直線的斜率范圍為[1，+∞)，所以直線l的斜率k的取值范圍是(-∞，-3]∪[1，+∞).但是，從同學們實際的解題情況來看，許多同學都不能很好地掌握和理解好這種解題方法.那么，能否找到一種更好一點的方法來破解該類問題呢?答案是肯定的，而且操作也非常簡單方便，只需要用到直線的點斜式方程和求兩條直線的交點的方法.請看下面的解法:

解法1 同學們解題時可以抓住題眼:“相交”，先設直線l的方程為y+2=k(x-0)，即y=kx-2，聯立直線AB的方程x+3y-10=0可得交點的橫坐標為，因為交點需在線段AB上，所以直線AB與直線l的交點的橫坐標需要滿足-2≤≤4，從而解得k≥1或k≤-3.

當然，同學們在學習了線性規劃知識后，還可以結合線性規劃知識與本題的另一個“隱含”的題眼:點A、B在直線l的兩側得到另一個解法:

解法2 設直線l的方程為y+2=kx，kx-y-2=0，因為點A、B在直線l的兩側(可以在直線上)，所以(-2k

-4-2)(4k-2-2)≤0，解得k≥1或k≤-3.

例2 已知過點P(1，1)的直線l在兩坐標軸上的截距相等，則直線l的方程是__________.

分析 本題也是直線中的常見易錯題型，通常采用分類討論的解題方法，但同學們常因遺漏其中在兩坐標軸上的截距都為0而漏解致錯.因此，正確的解法應是通過截距相等分截距為0相等和截距不為0相等兩種情況做，從而分別設直線方程為y=kx和x+y=a(當然，同學們也可以根據在兩坐標軸上的截距不為0相等直接得到直線的斜率為-1)，得到1=k#8226;1和1+1=a，故所求直線方程為y=x或x+y=2.實際上，我們也可以通過設直線的點斜率方程，然后分別求出直線在兩坐標軸上的截距來做，這樣還能避免分類，請看:

設直線l的點斜式方程為y-1=k(x-1)，令x=0得y軸上的截距為1-k，令y=0得x軸上的截距為1-由題意得1-k=1-，解得k=1或k=-1，所以所求直線為y=x或x+y=2.

啟示 在平時的學習中，每一個同學都會碰到或多或少的經常做錯的同一類題，有時甚至是一模一樣的題，這樣，同學們就應該思考了，這種解題方法自己有否真正弄懂?(哪怕是老師在課堂上教的)是否適合自己呢?如果自己掌握不好這種解題的方法，那么一定要及時更換另一種解題方法，不要怕找不到解題方法，要相信“條條道路通羅馬”，總有一條是適合自己的!例如本文提到的2題，對于題1老師通常教的只有數形結合法，但要根據直線斜率變化的規律才能正確解出，而直線斜率變化的規律卻是同學們學習中的一個老大難問題，經常要出錯;對于題2老師教的通常是分類討論的方法，同樣，分類討論也是同學們學習的一個難點，經常要分類不全.既然自己經常要錯，為何不想想是否有另外的解法呢?其實，題1、題2的本質是一樣的，無非就是求直線的斜率，而且直線要過定點，這樣就不難想到直線方程形式中的點斜式方程了，下面的做法也就水到渠成了.

文末兩道習題供同學們練習:

1. 經過P(0，-1)的直線l與連結A(1，-2)，B(2，1)的線段有公共點.求直線l的斜率及傾斜角α的取值范圍.

2. 求過點P(3，-2)且在兩坐標軸上的截距的絕對值相等的直線l的方程.

參考答案:1. 直線l的斜率范圍為[-1，1];傾斜角α的取值范圍為[0，]∪[，π).

2. 2x+3y=0，或x-y-5=0，或x+y-1=0.

責任編校徐國堅