三角開路,知一曉天下

結(jié)合實(shí)際，利用三角變換(尤其是余弦的倍角公式和特殊情形下公式的應(yīng)用)，考查三角函數(shù)性質(zhì)的命題;與導(dǎo)數(shù)結(jié)合，考查三角函數(shù)性質(zhì)及圖像;以三角形為載體，考查三角變換能力，及正弦定理、余弦定理靈活運(yùn)用能力;與向量結(jié)合，考查靈活運(yùn)用知識能力.

例1 已知函數(shù)f(x)=2cos2x+2sinx+1(x∈R，>0)的最小正周期是.

(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求函數(shù)f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合.

分析 本小題主要考查特殊角三角函數(shù)值、兩角和的正弦、二倍角的正弦與余弦、函數(shù)y=Asin(x+)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查基本運(yùn)算能力.

(Ⅰ)f(x)=2#8226;+sin2x+1=sin2x+cos2x+2=sin2xcos+cos2xsin+2=sin2x++2，

故由函數(shù)f(x)的最小正周期是，可得=，所以=2.

(Ⅱ)由f(x)=sin4x++2.

當(dāng)4x+=+2k，即x=+(k∈Z)時，sin4x+取得最大值1，所以函數(shù)f(x)的最大值是2+，此時x的集合為x|x=+，k∈Z.

啟示 1. 對無條件求值問題:一是要善于利用二倍角公式降次，化異名函數(shù)為同名函數(shù);二是要善于通過觀察看能否變出特殊角如30°、45°、60°、90°等，寫出具體數(shù)值;三是要熟記公式，多做練習(xí)，熟能生巧，解決這類問題時，一時“山窮水盡”，忽然間又“柳暗花明”.

2. 對于有條件求值問題:一是要特別注意角所在象限及三角函數(shù)值的符號;二是要善于應(yīng)對不同名函數(shù)且角度有多種的問題，利用角的重新組合和三角函數(shù)變換進(jìn)行相除或相加以達(dá)到相消.

3. 求三角函數(shù)的值域或最值:一是要掌握基本三角函數(shù)的值域;二是要盡量將異名函數(shù)化成同名函數(shù)，多個三角函數(shù)化成一個三角函數(shù)，三是碰到有條件的最值問題時特別要考慮端點(diǎn)問題的情況.

例2 函數(shù)f1(x)=Asin(x+)A>0，>0，<的一段圖像過點(diǎn)(0，1)，如圖所示 .

(1)求函數(shù)f1(x)的解析式;

(2)將函數(shù)y=f1(x)的圖像往右平移，得到函數(shù)y=f2(x)，求y=f1(x)+f2(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

分析 通過圖像，確定相關(guān)待定系數(shù)A、、.結(jié)合周期和“五點(diǎn)法”往往是解題的關(guān)鍵.通過若干特殊點(diǎn)代入函數(shù)式，可以求得相關(guān)待定系數(shù)A、、.這里需要注意的是，所選擇的點(diǎn)要認(rèn)清其屬“五點(diǎn)法”中的哪一位置點(diǎn)，并能正確代入列式.依據(jù)五點(diǎn)列表法原理，點(diǎn)的序號與式子關(guān)系如下:“第一點(diǎn)”(即圖像上升時與x軸的交點(diǎn))為x+=0;“第二點(diǎn)”(即圖像曲線的“峰點(diǎn)”)為x+=;“第三點(diǎn)”(即圖像下降時與x軸的交點(diǎn))為x+=;“第四點(diǎn)”(即圖像曲線的“谷點(diǎn)”)為x+=;“第五點(diǎn)”為x+=2.

⑴由圖像知，T=，∴=2又圖像過點(diǎn)(-，0)，∴Asin(2×(-)+)=0，即-+=0，解得=.又圖像過點(diǎn)(0，1)，即Asin=1，解得A=2，∴f1(x)=2sin(2x+);

⑵將函數(shù)y=f1(x)的圖像往右平移，得到y(tǒng)=2sin(2(x-)+)，即f2(x)=2sin(2x-)，∴y=f1(x)+f2(x)=2sin(2x+)+2sin(2x-)=2sin(2x+)-2cos(2x+)=2sin(2x-)，

∴當(dāng)2k-≤2x-≤2k+，解得k-≤x≤k+，

∴y=f1(x)+f2(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[k-，k+](k∈Z).

啟示 通常從圖像可確定振幅和周期，則可直接確定函數(shù)式y(tǒng)=Asin(x+)中的參數(shù)A和，再選取相應(yīng)點(diǎn)(一般取最高、低點(diǎn)或與x軸的交點(diǎn))確定的值.

例3 已知函數(shù)f(x)=Asin2(x+)A>0，>0，0<<，且f(x)的最大值為2，其圖像相鄰兩對稱軸之間的距離為2，并過點(diǎn)(1，2)，試計算f(1)+f(2)+…+f(2010).

分析 由f(x)的最大值為2知振幅A=2;由圖像相鄰兩對稱軸之間的距離為2知f(x)為周期函數(shù)且最小正周期T=4.由f(x)=2sin2(x+)=1-cos2(x+)，知=T=4=.

在f(x)=2sin2(x+)中，以(1，2)代入:2sin2(+)=2sin+=±1.

已知0<<，所以=，從而f(x)=2sin2(x+1)=1-cos(x+)=1+sinx.

由于求和的項(xiàng)數(shù)太多，逐項(xiàng)想加決非明智之舉，也不是命題人的本意.我們猜測必有周期性的規(guī)律可循，故應(yīng)將突破點(diǎn)放在尋找這個規(guī)律.

由f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4+(sin+sin+sin+sin2)=4，

同理:f(5)+f(6)+f(7)+f(8)=4，一般地有:

f(4k+1)+f(4k+2)+f(4k+3)+f(4k+4)=4+sin(2k+)+sin(2k+1)+sin(2k+)+sin(2k+2)=4 .

于是f(1)+f(1)+…+f(2010)=4×502+3 =2011.

啟示 本題雖非無限，其求和的項(xiàng)數(shù)也比較多，逐項(xiàng)相加的工作量之大是難以想象的.而妙用周期性解題，其速度之快，不是令人嘆為觀止嗎?

數(shù)學(xué)問題的求解過程中，需要我們不斷地觀察、感知、判斷、推理分析、綜合，要在推理中思考，在思考中尋找解題的模型，在模型的變換中形成解題的思維鏈條，在解題思維鏈條的反思、調(diào)整、修補(bǔ)中尋求解題的合理性、簡捷性和準(zhǔn)確性.這當(dāng)中，弄清猜透命題人的原始意圖，或許對你解題能力的不斷提升有著較大的幫助.

考場練兵 設(shè)向量=(sinx，cosx)，=(cosx，cosx)，x∈R，函數(shù)f(x)=#8226;(+).

(Ⅰ)求函數(shù)f(x)的最大值與最小正周期;

(Ⅱ)求使不等式f(x)≥成立的x的取值集.

答案 (Ⅰ)∵ f(x)=#8226;(+)=#8226;+#8226;=sin2x+cos2x+sinxcosx+cos2x=1+sin2x+(cos2x+1)=+sin(2x+)，

∴ f(x)的最大值為+，最小正周期是=.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)≥+sin(2x+)≥sin(2x+)≥02k≤2x+≤2k+k-≤x≤k+，k∈Z.

即f(x)≥成立的x的取值集合是{x|k-≤x≤k+，k∈Z }.

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)