一道文科立幾題引發的思考

2010年廣州一模剛剛過去，在文科數學中，令師生們感到苦惱的是立體幾何題的得分較低，全區的平均得分6.5分，得分率不超過一半.人們不禁要問，為什么看起來不難的題目但“殺傷力”卻這么大呢?下面讓我們先看題目:

如圖1，正方形ABCD所在平面與三角形CDE所在平面相交于CD，AE⊥平面CDE，且AE=3，AB=6.

(1)求證:AB⊥平面ADE;

(2)求凸多面體ABCDE的體積.

解析:題目延續了實施新課程標準后對文科立體幾何考查的風格——復雜幾何體.讓我們來想想題目對同學們提出了哪些方面的要求?如何應對?

1. 要有較強的空間想像力.對平行和垂直的位置關系能判斷準確.(因為不規則幾何體難以建立坐標系，運用不了向量法)

2. 證明線面垂直.這對于同學們來說是一個難點:第一，部分同學沒有掌握線面垂直的判定定理，即不懂得或不能正確把線面垂直問題轉化為線線垂直. 第二，沒有正確掌握“降維”的思想，只證明了垂直平面內的一條直線而不是兩條相交直線.

3. 求幾何體的體積.難點是正確找到幾何體的高，一般有三種可能:第一種可能高在圖中已經出現，需要證明;第二種可能高沒在圖中出現，要作出來再證明;第三種可能是要用轉換頂點的方法去找.

下面來看看同學們是如何做錯的，錯的原因又是什么.

對于第一問，常見的錯誤做法有兩種:

① ∵ AB⊥AD，AD平面ADE， ∴ AB⊥平面ADE.

② ∵ AE⊥平面CDE，DE平面CDE，∴ AE⊥DE又∵ AB⊥AD，∴ AB⊥平面ADE.

以上兩種錯誤做法的出現是由于沒有掌握好線面垂直的判定定理，而這個定理是高考考查的重點內容!正確的做法是: AE⊥平面CDE，CD平面CDE，∴ AE⊥CD. ∵ AB∥CD，∴ AE⊥AB.在正方形ABCD中，AB⊥AD，∵ ADAE=A，∴ AB⊥平面ADE.

對照錯誤做法①，少了AE⊥AB這一步， “只證明了垂直平面內的一條直線而不是兩條相交直線.”做法②則是忽略了主角“AB”，線面垂直的判定定理是要證明“AB”垂直平面ADE內兩條相交直線而不是在平面內任意找兩組垂直關系.

對于第二問，容易出現的錯誤做法:VABCDE=VE-ABCD=VA-BCDE=SCDE#8226;AE，DE==3，SCDE=#8226;CD#8226;DE=×6×3=9，VA-BCDE=SCDE#8226;AE=×9×=9.

方法一:以上錯誤做法的出現是由于把三棱錐的轉換頂點的思想類比地用在四棱錐上，但是求四棱錐的體積是不能轉換頂點的，此時要作出高EF，如圖2，過點E作EF⊥AD于點F，∵ AB⊥平面ADE，EF平面ADE，∴ EF⊥AB . ∵ AD∩AB=A，∴ EF⊥平面ABCD. 因此EF為四棱錐VE-ABCD的高，由三角形面積相等可求得EF===，∴ VE-ABCD=SABCD#8226;EF=×36×=18.

方法二:而求四棱錐的體積除了上述直接求出的方法外，常用的有把四棱錐“割”成兩個三棱錐去求. 連接BD，如圖3，則凸多面體ABCD分割為三棱錐B-CDE和三棱錐B-ADE. 由第一問知， AB為三棱錐B-CDE的高.而求三棱錐B-ADE的高，先要證明AB∥平面CDE:∵ AB∥CD，AB平面CDE，CD平面CDE，∴ AB∥平面CDE， ∴ 點B和A點到平面CDE的距離相等，因此AE的長度等于三棱錐B-ADE的高.

∴VB-CDE=S△CDE#8226;AE=×9×3=9，VB-ADE=S△ADE#8226;AB=××6=9，∴ VABCDE=VB-CDE+VB-ADE=9+9=18.

方法三:和“割”相對應的是“補”，即把不規則幾何體補成一個規則的幾何體，本題可把四棱錐補成直三棱柱，如圖4，作出線段EG，BG，CG，容易證明該幾何體為直三棱柱，底面為△ADE，高為AB，

VADE-BCG=SADE#8226;AB=×6=27，

VB-CEG=SCEG#8226;BG=9，

VABCDE=VADE-BCG-VB-CEG=27-9=18.

啟示:

1. 由于文科數學對向量法不作要求，基本上是用幾何法證明平行和垂直等關系，因此同學們必須強化對空間圖形的讀圖，識圖，辨圖能力，比如在一個幾何體的圖中，哪些直線是平行的，哪些直線是垂直的，這些感性的判斷認知也是很重要的，因為這可以為下一步推理證明提供思路，不然推理證明就會變得無從入手，也就是沒有所謂的“靈感”.

2. 提高對平行和垂直等關系的推理論證能力.高考中立體幾何第一問一般是要求證明平行或垂直的關系，因此要對線面平行，線面垂直，和面面垂直的判定定理做到熟練掌握，不能機械式地死記硬背，平時在對定理進行記憶時要對定理的內容進行無圖聯想，使之運用時能做到腦中有圖，而不是一堆單調的文字符號，否則容易錯漏百出.

3. 求幾何體的體積是高考文科立體幾何考查的一個重點，找高是關鍵，如何找高，依據是幾何證明中的線面垂直，因此對于線面垂直的掌握的好差會影響到找幾何體的高的能力，對于在圖中找出的高，是需要證明其垂直底面的.

4. 割和補是將不容易求體積的復雜幾何體化為簡單幾何體的方法，在本題中，補的方法做起來比割的方法更為簡單，這是值得引起注意的地方，因為割的思想為大多數同學所掌握和使用，而補則由于要作較多的輔助線往往會讓同學們覺得較煩較難而忽視，建議在以后的練習當中加強補的思想.

責任編校徐國堅