一道理科立幾題的難因分析

2010年廣州一模剛剛結束，當師生們對理科數學試題進行總結研究時，大家談論最多的是第18題——立體幾何題.大家對這道題是既愛又恨，愛的是它是決定數學成績好與差的一道分水嶺，因為前面簡單題大家都會，后面難題大多數人拿不到多少分，而這道題立幾題就成了能否讓成績上一個檔次的關鍵，這也是歷年廣東高考數學試題的一個規律;恨的是這道位列僅第三的大題，此次得分(全區均分為4.37)居然與后三道壓軸題旗鼓相當.人們不禁要問，面對這道看似簡單的立幾題，究竟是什么原因導致如此低的得分率呢?

題目:正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在的平面，垂足E是圓O上異于C、D的點，AE=3，圓O的直徑為9.

(1)求證:平面ABCD⊥平面ADE;

(2)求二面角D-BC-E的平面角的正切值.

看似簡單的原因:

(1)本題的排位在六道大題中的第三位，按常規前三道題是中等偏易的題目.

(2)題目的條件背景簡單，圖形結構新穎而不陌生，類似于2006、2008年廣東高考立幾題.

(3)設問的方式很常規，是常見的一證一求問題.

(4)入手的第(1)問簡單，一般的同學都能完成.

第(1)問證明:∵AE⊥面CDE，又CD面CDE，∴AE⊥CD，又CD⊥AD，且AD∩AE=A，∴CD⊥面ADE，又CD面ABCD，∴面ABCD⊥面ADE.

所以無論從那方面來看，此題都應該是一道較簡單能拿滿分的題.然而，當同學們滿懷信心做第(2)問時，此題的“難”終于露出了它的真面目.以向量坐標法為例來說明(對于求角問題大多數同學選擇坐標法求解，這也是高考立幾題考察的一個側重方向).

感到“難”的原因:

(1)建系困難.此題條件只有一個垂直關系即AE面CDE，若以A為坐標原點，另一個垂直關系原圖中沒有直接給出，若隨意作垂直建系，找坐標無疑是相當困難的.較多同學想到了以D為坐標原點建系，但沒有給出CD⊥DE的證明，省略了建系過程，實際上此環節占4分.有些同學審題不清，默認CE是圓的直徑，得出CD⊥DE.還有同學不會自己作出z軸.

建系過程:由第(1)問的證明有CD⊥面ADECD⊥DE，即以D為坐標原點，DC、DE分別為x軸和y軸，以平行于AE的直線為z軸建系如圖2.

(2)找點的坐標困難，特別是B點的坐標.考完后，有同學說“找”不出CD和DE的長度. 的確，這里的長度不是找出來的，而是要通過一定的努力求出來.

在Rt△CDE中，CD2+DE2=92，在Rt△ADE中，由AD=CD，DE2+32=CD2，聯立方程得:CD=3，DE=6，∴C(3，0，0)，D(0，0，0)，E(0，6，0)，A(0，6，3).

而大多數沒有完成此題的同學還是卡在了B點的坐標，同學們習慣了找坐標，但B點在底面的射影在哪里呢?不知道.在做對此題的同學中有相當部分同學是猜對B點坐標的.

事實上，在圓O內，可作以CD、DE為邊的圓內接矩形CDEF，連接BF，如圖2，可證BF//AE，則BF面CDE，即F為B在面CDE上的射影，則B(3，6，3).

而更簡捷的方法是求B點坐標.設B(x，y，z)，由=，即(x-3，y，z)=(0，6，3)，利用向量相等即得.

(3)計算困難.經過前面困難的兩關，剩下的僅僅是一個計算法向量的過程了.但面對計算關，仍有許多同學跌落此處.較大的數字、含根號的運算，讓同學們叫苦不迭，最后能正確運用公式，得出正確答案的同學寥寥無幾.

設平面ABCD的一個法向量為=(x1，y1，z1)，則#8226;=0，#8226;=0， 即6y1+3z1=0，3x1=0，可得=(0，1，-2).

設平面BCE的一個法向量為=(x2，y2，z2)，則#8226;=0，#8226;=0， 即6y2+3z2=0，3x2+3z2=0，可得=(2，， -2).

∴cos<，>==，設所求二面角為θ，可知θ為銳角，∴cosθ=，∴sinθ=，故tanθ=為所求.

啟示:“難”和“易”是相對的.通過分析，我們認為此題仍然是一道常規的立幾題.造成讓同學們對此題感到“難”的原因是在向量坐標法引入到立體幾何后，同學們弱化了自身對幾何推理論證、求值運算能力的要求，忽視了對辯圖、識圖能力的培養，對高考理科立幾題命題的特點、趨勢不夠了解，缺乏針對性的訓練.因此，在立體幾何的學習中，同學們要努力做到:

(1)重視幾何推理論證、數值運算能力的培養.在向量坐標法引入到立體幾何后，對避免一些繁雜的幾何證明求值，起到了很重要的作用，特別是求角、求距離，傳統的“證”“找”“求”變成僅是計算問題，也因此立體幾何曾經失去了幾何味，難以發揮其培養同學們空間想象能力的功能.因而，近幾年的高考立幾題在兩種方法兼顧的前提下，坐標法在建系找點坐標的過程中，往往需要經歷幾何推理證明和求值的過程.同學們要扎實掌握線線、線面、面面關系的幾何推理證明，同時培養自己辨圖、識圖能力. 建系時，在沒有明顯的三線兩兩垂直的情況下，要給出充分的推理證明過程，否則，將會在此環節失分.此外，建系要將盡量多的相關點放在坐標軸上，便于后續計算.

(2)加強找點坐標的訓練.得到點的坐標是整個向量坐標法做題過程的關鍵，找錯一個點的坐標將全盤皆輸.在圖形中找坐標是基本要求，但有時一些長度需要運用平面幾何知識計算出來，有時一些點的坐標要根據條件如向量垂直、平行、相等等相關的公式求得.

(3)熟記公式，確保運算的準確度.要熟練運算的過程，簡化運算程序，能準確求出法向量，所取法向量最好不含分式.對三個角(線線角、線面角、面面角)一個距離(點到面距離)公式要有區分記憶，確保不失分.

責任編校 徐國堅