運用特殊化方法解答數學客觀題(之四)

求曲線的軌跡方程是解析幾何的兩個基本問題之一，也是高考命題的熱點，往往以客觀題的形式出現.對于這種題型，除了用常規方法求解，還要善于根據題目的條件和選擇題“非此即彼”的特點，大膽尋找簡便方法.本文舉出兩個運用特殊化方法解題的例子，希望為大家解答這一類問題起到拋磚引玉的作用.

例題 點P(4，-2)與圓x2+y2=4上任一點連續的中點軌跡方程是( )

A. (x-2)2+(y+1)2=1

B. (x-2)2+(y+1)2=4

C. (x+4)2+(y-2)2=4

D. (x+2)2+(y-1)2=1

解析 此題按照“相關點法”求軌跡需要較多的計算步驟.注意到圓上“任一點”中有特殊點，我們看看這些特殊點能不能發揮作用，因為這些特殊點的坐標是已知的，根據P點的坐標，我們立即就能求出中點坐標，這個坐標無疑符合軌跡方程，只要檢驗即可，運氣好的話，檢驗一次就夠了，若不行，可再選取別的特殊點檢驗.取圓與坐標軸正半軸的交點(2，0)，記作A1如圖1，則PA的中點M(3，-1)，代入選擇支檢驗，只有A符合.

反思 從“任一點”想到特殊點，用特殊點進行檢驗，簡單快捷，實在是上乘之法!在軌跡問題中，這種特殊點總是存在的，一般來說，它們是與坐標軸的交點，或者線段的中點、端點，或者與已知點重合的點，找到它們就能幫助找到正確答案，例如本題，也可選擇圓與坐標軸的其它交點檢驗，如圖中的A2，A3，A4.

解答本題常見的錯誤有:⑴用“相關點法”的時候，有些同學總是設圓上動點為(x，y)，即將要求軌跡的點與其相關點相混淆，而特殊化方法避免了犯這個錯誤;⑵用特殊點驗證的時候，可能會檢驗一個答案符合即選定，這是不對的，因為我們檢驗的時候，用的是排除法，就是不能因為一個點符合就選定，也許別的點這個答案就不符合了，所以正確的做法是全部檢驗，把符合的作為備選答案，再進行下一輪檢驗，直到選出正確答案.

變式練習:(廣州育才中學2010屆文科綜合測試)設點A為圓(x-1)2+y2=1上的動點，PA是圓的切線，且|PA|=1，則點P的軌跡方程為( )

A. y2=2xB. (x-1)2+y2=4

C. y2=-2xD. (x-1)2+y2=2

解析 要選擇P點的軌跡方程，只需要有一個點(或幾個點)檢驗即可，從這一思路出發我們不需思考怎樣求軌跡，而是想辦法找特殊點.如圖3，取圓與x軸的交點A，PA是圓的切線，|PA|=1，所以能直接看出P(2，1)，代入選擇支檢驗，只有D符合.

反思 1. 本題的巧妙之處在于選擇P點這個特殊位置作切線，因為這樣，能直接得到 P點坐標.本題也可以取更加特殊位置，比如，讓A點與原點重合，P(0，1)代入即知是A.或者取與x軸平行的切線，這也可以，只有切線與坐標軸平行，才能直接寫出動點P的坐標，驗證時要防止犯例題中提到的錯誤. 2. 要注意克服解軌跡問題中思維定勢的作用:點P是一個與A相關的點，但本題不能用“相關點法”求解.如圖3，可根據平面幾何知識，知|PM|=，所以能直接寫出軌跡方程.

小結:德國數學家希爾伯對于特殊化方法有過精辟的論述，他指出:“在討論數學問題時，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用.”我們用特殊點解上面題目都只需要短短數秒，這就是特殊化方法的妙處!解題的關鍵是找合適的特殊點，而軌跡總是有特殊點存在的.

變式訓練題:

1. 已知點A(1，0)，直線l:y=2x-4，點R是直線l上的一點，若=，則點P的軌跡方程為()

A. y=-2xB. y=2x

C. y=2x-8D. l:y=2x-4

2. 從原點O引圓(x-m)2+(y-3)2=m2+4的切線y=kx，當m變化時，切點P的軌跡方程是( )

A. x2+y2=4(x≠0)B. (x-3)2+y2=4(x≠0)

C.(x-1)2+(y-3)2=5(x≠0)D. x2+y2=5(x≠0)

3. 已知圓C與直線x-y=0 及x-y-4=0都相切，圓心在直線x+y=0上，則圓C的方程為()

A. (x+1)2+(y-1)2=2B. (x-1)2+(y+1)2=2

C. (x-1)2+(y-1)2=2D. (x+1)2+(y+1)2=2

簡答:

1. B.(在上取R(1，-2)，=，看出P(1，2)，將P代入)

2. D.(讓圓在一象限與x軸相切，切點P(，0)代入檢驗)

3. B.(用圓一與x軸的交點，或與x-y-4=0的切點檢驗)

責任編校徐國堅