圖表語言的解密

圖表也是一種數學語言.這種語言以圖形和表格的形式傳送信息，它有立意新穎，設計靈活，構思精巧，內涵豐富，解法多樣等特點，因而備受當今命題人的青睞，許多高考創新題型常在圖表上打主意.

解圖表型題目應在讀圖表，識圖表和用圖表上通過觀察找到其中的關鍵點，有效地實現圖表語言到文字語言的轉化，從而在思考上引起質的飛躍，從而達到破題的目的.

例1 如圖，甲、乙兩人分別位于方格中A、B兩處，從某一時刻開始，兩人同時以每分鐘一格的速度向東或西或南或北方向行走，已知甲向東、西行走的概率均為，向南、北行走的概率分別為和p;乙向東、西、南、北行走的概率均為q.

(1)求p和q的值;

(2)試判斷最少幾分鐘，甲、乙兩人可以相遇，并求出最短時間內可以相遇的概率.

分析 同時進行兩個相互獨立事件，因為概率的總和為1，因此有以下解答:(1)甲向四個方向行走是一個必然事件，∴+++p=1， ∴p=.同理4q=1，∴q=.甲、乙二人到底在哪兒相遇沒有定數，但我們可以看到，甲、乙二人在一個正方形的兩個對角頂點上.他們要在最短時間內相遇，他們必須沿著這個正方形的邊行走.

(2)如解圖，設甲、乙兩人在C、D、E處相遇的概率分別為pC、pD、pE.

從圖形中來，回到圖形中去，在圖上標明這三點，讓我們的思路一目了然，才會有下面的解答.甲、乙兩人最少需要2分鐘可以相遇.

每人朝對方走2步，因為他們的速度相同(每分鐘都是一格).則pC=(×)×(×)=， pD=2(×)×2(×)=，pE=(×)×(×)=，∴pC+pD+pE=++=，即所求的概率為.

啟示 這是一個幾何圖形信息題，具有多樣性、直觀性的特征，充分挖掘圖形內涵，全方位地審視圖形，全面掌握圖形所提供的信息，以形助數是解決信息題的關鍵.

例2 某資料室在計算機使用中，如下表所示，編碼以一定規則排列，且從左至右以及從上到下都是無限的. 此表中，求主對角線上數列1，2，5，10，17，…的通項公式.

分析 這里的主對角線就是一條“閱讀順序”:1、2、5、10、17、26…求這個數列的通項公式，按我們的習慣，可采用逐差法:從第2項開始，每一項減去前面一項得到一個新的數列，這個數列是1、3、5、7、9、11、…不難發現這是一個以1為首項，以2為公差的等差數列. 由此求原數列的通項公式也不是難事，比如設其通項公式是n的二次函數:bn=An2+Bn+C.

用此待定系數法，分別令n=1、2、3，容易求得A=1，B= -2，C =2，從而得到通項公式為:bn=n2-2n+2， 這個問題的解決，就是在“主對角線”上通過閱讀完成的. 如果換一個角度，或者說換一種順序來“閱讀”這個圖表題，我們將得到問題的另外的解法，當然是同一個結果.

從上向下閱讀這個表格，可以看到從上到下的每一列都是一個等差數列:

第1列，是一個常數為1的常數列;

第2列，是一個以1為首項，以1為公差的等差數列(自然數列);

第3列，是一個以1為首項，以2為公差的等差數列;

……

第m列，是一個以1為首項，以m - 1為公差的等差數列.

對于第m列的這個數列，它的通項公式自然有cn=1+(m-1)(n-1).

對于表中主對角線上的這個數列，自然有m = n，此時通項公式化為:cn=1+(n-1)2=n2-2n+2，這個結果與上面的結果實現了殊途同歸.

如果再換一種“閱讀”順序，從左到右看這個表格，還會再一次殊途同歸，得到同樣一個結果. 對于本題的第(2)問，我們先考慮100這個數是否在主對角線上.令n2-2n +2=100，得到(n-1)2 = 99，易知 n-1 (從而n) 不是個正整數，本題無解，即100這個數不在主對角線上. 以下考慮100這個數在其他的一般位置上.設100在表格中間的第n行、第m列，則由通項公式得到1+(m-1)(n-1)=100即 (m-1) (n-1)=99 ， 這是一個關于正整數m和n的不定方程，通過對99的因式分解:99=1×99 = 3×33 = 9×11 = 11×9 =33×3 = 99×1，容易得到方程的解是

m=2，n=100，m=4，n=134，m=10，n=12，m=12，n=10，m=34，n=14，m=100，n=2.

于是，100這個數在表格中出現6次，其具體位置是:第2列第100行，第4列第34行，第10列第12行，第12列第10行，第34列第4行，第100列第2行.

啟示 解決這類問題的關鍵是要抓住問題中所給出的各行所構成數列的特征，再根據所給出的特殊項順利地解決相關問題.

考場練兵 如右下圖所示的根據如圖所示的程序框圖，將輸出的x、y值依次分別記為和x1，x2…，xn，…，x2010和y1，y2，…，yn，…，y2010.

(Ⅰ)求數列的通項公式xn;

(Ⅱ)求數列{yn}的通項公式yn;

(Ⅲ)zn=x1y1+x2y2+…+xnyn(n∈N*，n≤2010).

答案與提示 (Ⅰ)xn=1+

2(n-1)=2n-1(n∈N*，n≤2010);(Ⅱ)yn=3n-1(n∈N*，n≤2010);(Ⅲ)運用錯位相減法，得zn=(n-1)#8226;3 n+1+3-n2(n∈N*，n≤2010).責任編校 徐國堅