參數搭橋,天塹變通途

參數對于主元，是一種賓主關系，它為主元服務，受主元重用.在高考數學試題的解題過程中，反客為主，由參數唱主角戲的場景也異常精彩.

例1 P、Q、M、N四點都在橢圓x2+=1上，F為橢圓在y軸正半軸上的焦點，已知與共線，與共線，且#8226;=0，求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值.

分析 四邊形“沒有”面積公式，因此難以用某邊長為參數，建立面積函數式.幸好，它有兩條互相垂直的對角線PQ和MN，使得四邊形面積可用它們的乘積來表示.然而，它們要與已知橢圓找到關系，還需要一個參數k，并找到PQ，MN對k的依賴式.這就要“無中生有”了.如右圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F(0，1)，且PQ⊥MN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設PQ的斜率為k.題設中沒有這個k，因此是“無中生有”式的參數.我們之所以看中它，是認定它不僅能表示PQ= f1(k)，還能表示MN= f2 (k). 又PQ過點F(0，1)，故PQ方程為y=kx+1，將此式代入橢圓方程得(2+k2)x2+2kx-1=0，設P、Q兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x1=，x2=，從而PQ2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=，亦即PQ=.無論在橢圓方程中，還是P，Q，M，N的坐標中，x，y是當之無愧的主元.而這是新的函數關系PQ=f1(k)=標志著主賓易位，問題已經發生了轉變.

(ⅰ)當k≠0時，MN的斜率為-，同上可推得，MN=，故四邊形S=PQ#8226;MN==.令u=k2+，得S==2(1-).因為u=k2+≥2，當k=±1時，u=2，S=，且S是以u為自變量的增函數，所以≤S<2. 以上為本題解答的主干，以下k=0時情況，只是一個小小的補充，以顯完善之美.其實，以“不失一般性”為由，設“k≠0”為代表解答亦可.這時，可省去下邊的話.

(ⅱ)當k=0時，MN為橢圓長軸，MN=2，PQ=，S=PQ#8226;MN=2.

綜合(ⅰ)(ⅱ)知，四邊形PMQN面積的最大值為2，最小值為.

啟示 參數k將F(x，y)=0的方程轉化為關于k的函數，達到“賓主融融”的和諧境界.參數成為解題化歸中的一個重要角色，有時在“反客為主”中成為主角.

例2 已知f(x)是定義在[-1，1]上的奇函數且f(1)=1，若a、b∈[-1，1]，a+b≠0，有>0.若f(x)≤m2-2am+1對所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立，求實數m的取值范圍.

分析f(x)≤m2-2am+1對所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]恒成立等價于f(x)max≤m2-2am+1對所有x∈[-1，1]、a∈[-1，1]成立，而求解抽象函數的最值往往需要:(1)先證該函數的單調性，對于(1)，抽象函數單調性的證明往往借助定義，利用拼湊條件，判斷差的符號.如任取x1，x2∈[-1，1]且x10，利用奇函數及x2-x1>0，得f(x2)-f(x1)>0，從而f(x)在[-1，1]上單調遞增;對于(2)，轉換視角變更主元，由m2-2am≥0構造關于a的一次函數，即在g(a)=-2ma+m2在a∈[-1，1]上大于等于0，利用g(a)是一條直線這一圖像特征，數形結合得關于m的不等式組g(-1)≥0，g(1)≥0，從而求得m的范圍是m≥2或m≤-2.

啟示 設參、消參及參數的討論，歷來是高考的重點和難點之一，特別當參數較多時，往往感到不得要領或無從下手，對這類問題的基本對策是:當參數多于兩個時，應逐漸消去非主要的參數，最終得到兩個互相依存的參數，最后或通過均值不等式，或通過解一般不等式，或通過三角函數等數學手段去確定所求參數的范圍.什么樣的問題適合“反客為主”?適合“反客為主”的問題，一定是正面比較繁難，而交換主突位置(例如含參變量的方程或函數)則相對容易破解問題.

考場練兵 對于a∈[-1，1]，求使不等式<2x+a+1恒成立的x的取值范圍.

答案 ∵y=x為R上的減函數，∴由原不等式得:x2+ax>2x+a+1.即a(x-1)+(x2-2x-1)>0，當a∈[-1，1]時恒成立.令f(a)=a(x-1)+(x2-2x-1).只須f(-1)>0，f(1)>0x2-3x>0，x2-x-2>0x<0或x>3，x<-1或x>2x∈(-∞，-1)∪(3，+∞)即為所求.

責任編校徐國堅