直線與圓錐曲線相交嗎

一般地，“直線與圓錐曲線的位置關系”有唯一公共點、兩個公共點(相交)和沒有公共點三種情形，它們可由直線方程與圓錐曲線方程聯立所得的方程組的解的個數來確定. 對此，要特別注意直線與圓錐曲線是否相交問題，牢記對判別式符號的判斷.

例1 已知橢圓+=1，過點P(0，2)作斜率為k的直線l交橢圓于點P1， P2，當k為何值時， 線段P1P2 的中點在直線x=1上?

錯解 由題意得 l的方程為y=kx+2.

由方程組+=1， y=kx+2， 消去y得(2+3k2)x2+12kx+6=0.

顯然2+3k2≠0. 設P1(x1，y1)，P2(x2，y2)， 則x1+x2==2，即3k2+6k+2=0，∴k=-1±. 故當k取-1±時， 線段P1P2的中點在直線x=1上.

點評 消元后的二次方程(2+3k2)x2+12kx+6=0的根的判別式△=144k2-24(2+3k2)=3k2-2，△的符號依賴于k的取值. 應該考慮k能否使△>0， 即直線l是否與橢圓有兩個交點的問題. 由△>0得 k<-或k>，k=-1-使△>0，而k=-1-使△<0， 此時直線l與橢圓無公共點，應舍去. 正確的答案應該是k=-1-.

例2 已知雙曲線x2-=1，過點A(1，1)能否作一條直線l，與雙曲線交于兩點P1，P2，且A為線段P1P2 的中點?

錯解 設P1， P2的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則x12-=1，x22-=1. 兩式整體相減，得(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0. 而x1+x2=2，y1+y2=2，所以2(x1-x2)-(y1-y2)=0， 顯然x1≠x2，∴2.于是直線l的方程為y-1=2(x-1)，即y=2x-1.

點評 初看起來，似乎正確.其實P1，P2兩點的坐標滿足雙曲線方程并不能保證直線l與雙曲線有兩個交點.將y=2x-1代入x2-=1，得2x2-4x+3=0，其根的判別式△=16-24<0，即直線l與雙曲線沒有公共點， 因此不存在滿足條件的直線l.

例3 過原點作直線l和拋物線y=x2-4x+6交于A、B兩點，求線段AB中點M的軌跡方程.

錯解 設直線l的方程為y=kx，由其和拋物線方程組成的方程組消去y，得二次方程x2-(k+4)x+6=0.

設A(x1.y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，由韋達定理知， x1+x2=k+4，x1x2=6. 于是x=，y=kx=，聯立消去k，得y=2x2-4x. 故所求中點M的軌跡方程是y=2x2-4x.

點評 求動點的軌跡方程是解析幾何研究的兩大基本問題之一， 也是高考考查解析幾何的重點內容和主要題型. 在這種問題中，要切實理解和掌握軌跡的純粹性(軌跡上沒有不符合條件的點)和完備性(凡是符合條件的點都在軌跡上)，即軌跡上既沒有多余的點(瑕點)也沒有遺漏的點. 解題中往往以忽視軌跡的純粹性致錯居多. 這里初看起來，似乎解題思路和過程都對，其實忽視了一個重要背景: 直線l與拋物線是否有兩個交點? 當△>0時直線l與拋物線才有兩個交點，即(k+4)2-24>0，k+4>2，>，x<-或x>故所求中點M的軌跡方程應該是y=2x2-4x(x<-或x>).

要注意韋達定理在復數范圍中也成立， 運用韋達定理并不能保證二次方程x2-(k+4)x+6=0有實數根. 由于忽視了k的取值范圍， 誤認為中點M的軌跡是整個拋物線y=2x2-4x，而沒有根據k的限制去掉瑕點，因此得到錯誤的結果.

由上可見，由直線與圓錐曲線的交點坐標滿足曲線方程并不能保證直線與圓錐曲線相交，如例2;利用直線與圓錐曲線的方程聯立消元得到的二次方程的韋達定理來構建方程，也不能保證直線與圓錐曲線相交，如例1和例3.只有用這個二次方程根的判別式的符號才能確定直線與圓錐曲線公共點的個數.

練習 已知雙曲線x2-=1，過點A(0，1)作斜率為k的直線l交雙曲線于點P1，P2，當k為何值時， 線段P1P2的中點在直線x=上?(答案:k=-1+)

責任編校徐國堅