把根留住

許多同學當遇到函數具有形如f(x)=f(-x+4)的性質時，到底具有對稱性，還是周期性，理解得含糊不清，出現解答錯誤.下面針對類似f(x)=f(-x+4)的幾種形式加以分析辨別，以便同學們更好地理解掌握.

一、由表及里，把握根本

對于定義域為R的函數y=f(x)，什么樣的表現形式是具有對稱性或周期性?

1. 對稱性.

(1)軸對稱.

定義:若點A(a，b)、B(c，d)關于直線x=m(m為常數)對稱，其充要條件為=m，且b=d.

例1 若滿足f(x)=f(-x+4)，試分析其圖像特征.

從上式可知:對于x∈R，點M(x，f(x))與點N(-x+4，f(-x+4))都在函數y=f(x)的圖像上，由于此時=2，且f(x)=f(-x+4)，故點M、N始終關于直線x=2成軸對稱，由于x∈R點M、N都有這一性質，故函數y=f(x)的圖像關于直線x=2成軸對稱.

(2)中心對稱.

定義:若點A(a，b)、B(c，d)關于點(m，0)(m同前)對稱，其充要條件為=m，且b+d=0.

例2 若滿足f(x)=-f(-x+4)，試分析其圖像特征.

接上，對于x∈R，首先=2，又由f(x)=-f(-x+4)，得=0，故點M、N始終關于點(2，0)對稱，由于x∈R點M、N都有這一性質，故函數y=f(x)的圖像關于點(2，0)成中心對稱.

2. 周期性.

定義:若x∈R都有f(t+n)=f(t)(n為常數)，則函數f(x)為周期T=n的周期函數.

例3 若滿足f(-x)=-f(-x+4)，試分析其圖像特征.

令-x=t，由x∈R，故t∈R，即f(t)=-f(t+4)，故x∈R都有f(t+8)=f(t)，即函數f(x)為周期T=8的周期函數.

二、一般結論

給定定義域為R的函數f(x)，根據表現形式可得一般結論:

三、把根留住

要準確理解和掌握形如f(x)=f(-x+4)的各種變化，關鍵在于理解函數的定義及性質，以及幾何中的中心對稱和軸對稱等概念.雖然形式有“七十二變”，但只要能抓住事物的本質，把“根”留住，就能鑒別函數是具有對稱性還是周期性，從而正確解答問題.

因此，在高三數學復習中一定要把課本上的定義、概念、公式、性質、基本方法等這些“根”留住!這樣，孫猴子雖然變化多端也是跳不出如來佛的手掌哦.

練習:

1. 滿足f(π+x)=-f(x)，f(-x)-f(x)=0的函數f(x)可能是()

A. cos2xB. sinxC. sinD. cosx

2. 已知定義域為R的函數f(-x)=滿足f(-x)=-f(x+4)，當在x>2時為f(x)單調遞增.如果x1+x2<4且(x1-2)(x2-2)<0，則f(x1)+f(x2)的值()

A. 可能為0 B. 恒大于0

C. 恒小于0 D. 可正可負

3. 已知函數y=f(x)滿足f(x)=f(4-x)(x∈R)，且 f(x)在x>2時為增函數，記a=f()，b=f()，c=f(4)，則a，b，c的大小順序是_________________.

4. 若f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x-2)+f(x)=0，給出下列4個結論:①f(2)=0;②f(x)是以4為周期的函數;③f(x)的圖像關于直線x=0對稱;④f(x+2)=f(-x).其中所有正確結論的序號是.

5. 若f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x)=f(1-x)，則f(1)+f(2)+f(3)=.

(答案:1. D;2. C;3.c>a>b ;4. ①②④;5. 0.)

責任編校徐國堅