細節之大

例題:在數列{an}中，a1=1，an=a1+2a2+2a3+…+(n-1)an-1(n≥2)，則通項公式an=.

這是一道以遞推關系為載體的數列填空題，用函數觀點不難入手，步驟如下:

(1)賦值:在an=a1+2a2+2a3+…+(n-1)an-1(n≥2)中，令n為n-1，得到anan-1=a1+2a2+2a3+…+(n-2)an-2.

(2)作差:兩式相減后得到an-an-1=(n-1)an-1， 即an=nan-1，=n(n≥2).

(3)累乘: =#8226;#8226;…=n(n-1)(n-2)…3#8226;2=n!，a1 =1.

(4)結論: an=n!，n∈N*.

有的同學做到這里，以為大功告成.殊不知，本題卻得零分，實在可惜.仔細觀察每一步，你能找到錯誤的原因嗎?

其實，不難發現遞推式an-1=a1+2a2+3a3+…+(n-2)an-2成立的條件應該是n≥3，而不n≥2是所以兩式相減后得到的等式an=nan-1成立的條件也應該是n≥3.正確的解法是:=#8226;#8226;…=n #8226;(n-1)(n-2)…3=，其中n≥3，在an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1(n≥2)中，令n=2得a2=a1 =1. 所以當n≥3時，an=.a2 =1適合此式，但a1 =1不適合此式.因此數列{an}的通項公式應該是an=1，(n=2).(n≥2)

“n≥3”與“n≥2”有差別，賦值時由于忽視了這個細節，使到手的分數在不經意間丟失，留下了許多遺憾，這不得不引起大家足夠的重視.

求遞推數列的通項是高考考查數列問題的重要題型. 數列的任意項an、an-1或an-2等，以及數列的前n項和Sn(或Sn-1，Sn-2等)之間的關系常常體現在遞推關系式之中. 由于數列可以看作是項數n的函數， 因此我們往往可以在遞推關系式中取n為n-1(或n+1)等(特別要注意新的取值范圍)， 通過對兩個遞推式進行減法運算， 得到相鄰項(或其他項)之間的某種關系， 使問題順利獲解. 這種函數觀點是求遞推數列通項最基本、最核心的思想方法，必須切實掌握.

練習:

1. 已知數列{an}的前n項積為n，即n=a1a2…an(n≥1)，求數列{an}的通項公式.

2. 數列{an}中， Sn是其前n項和，若a1=1，an=Sn-1(n≥2)求Sn.

(答案:1. an=1，(n=1). (n≥2)

2. Sn=a1+a2+a3+a4+…+an=1+=()n-1.)

責任編校 徐國堅