探尋突破口是高效解題的利器

題目:已知點A(-a，0)，B(a，0)(a>0)為△ABC的兩個頂點，且(1+ax)4的展開式中含x2項的系數為6，兩個動點D，F分別滿足下列條件:(1)++=0;(2)==;(3)向量與共線，設△ABC的頂點C的軌跡是E，設過定點Q(0，2)的直線l與E交于不同的兩點R、T，求#8226;的取值范圍.

分析:此題的條件比較多，動點有D，F，C三個，且錯綜復雜，不容易下手，是一道頗具難度的題目，從哪里找到題目的突破口呢?要確定△ABC的兩個頂點A(-a，0)，B(a，0)先要求出a的值，由二項展開式的通項公式可得，所以Tr+1=Cr4(ax)r=arCr4xr，Tr+1=Cr4(ax)r=a2C24x2，a2C24=6，得a=1，得A(-1，0)，B(1，0)這是解題的第一個小突破口;由++=0可知點D是△ABC的重心，這是第二個突破口;因為△ABC的頂點C的軌跡是E，不妨根據軌跡的知識設點C(x，y)，根據重心公式容易得D(，)又是一個突破口，那么動點F的坐標又如何表示呢?由=可知點F在AB的垂直平分線上， 因此得到點F的橫坐標為0，又向量與共線，故F，D的縱坐標相同，即F(0，)，我們又前進了一步.由=可得=，我們又前進了一大步，不難求出頂點C的軌跡方程為x2+=1.至此我們雖然看到了一點勝利的曙光，但是還不能高興得太早，接下來我們還要面臨更大的挑戰.眾所周知，直線與圓錐曲線的相交問題是同學們學習中的瓶頸問題，按照常規做法我們不妨先設出R(x1，y1)，T(x2，y2)兩點的坐標，因為直線l是過定點Q(0，2)，挖掘題目的隱含條件.我們最容易忽視的就是不考慮當x=0時的情形是否滿足題意，實際上當x=0時，直線l與x2+=1交于兩點R(0，)，T(0，-)，得到#8226;=(0，-2)#8226;(0，--2)=1，符合題意.接下來我們看當k≠0時的情形，不妨設l的方程為y=kx+2，聯立x2+=1，y=kx+23x2+(kx+2)2=3(3+k2)x2+4kx+1=0…①

由上述方程①根據韋達定理可得x1x2=，x1+x2=-.同時不要忽視了判別式的作用啊!由△=(4k)2-4#8226;(3+k2)>0，k2-1>0，得k2>1.這可是題目中的靈魂所在啊!

我們的最終目標是求出#8226;的取值范圍，當然少不了要獲得#8226;的表達式，下面就來探究#8226;的表達式.因為#8226;=(x1，y1-2)(x2，y2-2)=x1x2+y1y2-2(y1+y2)+4，又y1+y2=，y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=++4，所以#8226;=x1x2+y1y2-2(y1+y2)+4=-+4-+4=…②，#8226; 的表達式是求出了，但是接下來我們又如何求出它的范圍呢?這是我們所面臨最關鍵的突破口，由分離可得1-，又因為k2>1，所以3+k2>4，得(1-)∈(，1)，綜上所述#8226;的取值范圍是(，1]，又是一系列的突破，我們終于把這道難題解答出來了!

啟示:探尋突破口是解題的重中之重，是對同學們的知識、能力、思維的考驗. 要想在考試中取得好成績，就必須在平常的解題中，在探尋解題的突破口方面多下點功夫，要能明察秋毫，要在眾多突破口面前能抓住主要矛盾，通過攻克一系列的小突破，再實現大的突破，關鍵性的突破，條分縷析、目標分解、逐個擊破是解題的核心所在.功夫不怕有心人，只要我們持之以恒，我們一定會在解題方面實現質的飛躍，面對再難的題也不會感到頭痛，從而不斷提高我們學習數學的興趣.

責任編校 徐國堅