數(shù)學(xué)解題的切入點(diǎn)——定義與性質(zhì)

每年全國(guó)及各省市高考試卷，都會(huì)出現(xiàn)一些新定義或新性質(zhì)的信息給予題.其命題的用意主要是以拉開一定的差距.那么為適應(yīng)國(guó)家的考核標(biāo)準(zhǔn)，同學(xué)們?nèi)绾卧诙潭虝r(shí)間內(nèi)完成此類具有挑戰(zhàn)性的試題.這是一個(gè)新的研究課題.本人通過觀察與鉆研，認(rèn)為:從新定義、新性質(zhì)出發(fā)，并利用新定義、新性質(zhì)推導(dǎo)出來的結(jié)論以及相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解決此類問題.現(xiàn)將本人的見解結(jié)合2009年一些試題闡述如下:

一、直接從定義性質(zhì)出發(fā)

此類題一般會(huì)給出一個(gè)新定義，要求同學(xué)們通過閱讀此定義獲取新的信息，并利用此信息完成題中所給出的問題.要順利完成求解首先要讀懂題目的要求或規(guī)則，對(duì)新概念可采取簡(jiǎn)單化、具體化與特殊化的策略加以分析和研究.

例1 (2009浙江理10)對(duì)于正實(shí)數(shù)，記M為滿足下述條件的函數(shù)f(x)構(gòu)成的集合:x1，x2∈R且x2>x1，有-(x2-x1)

A. 若f(x)∈M，g(x)∈M，則f(x)#8226;g(x)∈M

B. 若f(x)∈M，g(x)∈M，則g(x)≠0，則∈M

C. 若f(x)∈M，g(x)∈M，則f(x)+g(x)∈M

D. 若f(x)∈M，g(x)∈M，且1>2，則f(x)-g(x)∈M

解析 根據(jù)定義有-a1(x2-x1)

例2 (2009山東理10)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=log2(1-x)，x≤0，則f(2009)的值為()

A. -1B. 0C. 1D.2

解析 依定義知:x>3有f(x)=f(x-1)-f(x-2)=

[f(x-2)-f(x-3)]-f(x-2)=-f(x-3)，即f(x+3)=-f(x)，及x>0有f(x+6)=-f(x+3)=f(x)，即f(x+6)=f(x)，∴ f(2009)=f(334×6+5)=f(5)=-f(2)=-[f(1)-f(0)]=

-[f(0)-f(-1)-f(0)]=-f(-1)=log2(1+1)=1，故選C.

二、利用定義性質(zhì)及相關(guān)的推導(dǎo)結(jié)論

例3 (2009湖南理21)對(duì)于數(shù)列{un}若存在常數(shù)M>0，對(duì)任意的n∈N*，恒有un+1-un+un-un-1+…+ u2-u1≤M，則稱數(shù)列{un}為B-數(shù)列，

(1)首項(xiàng)為1，公比為q(q<1)的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列?請(qǐng)說明理由;

(2)設(shè)Sn是數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和，給出下列兩組論斷;

A組:①數(shù)列{xn}是B-數(shù)列，②數(shù)列{xn}不是B-數(shù)列;

B組:③數(shù)列{Sn}是B-數(shù)列，④數(shù)列{Sn}不是B-數(shù)列.

請(qǐng)以其中一組中的一個(gè)論斷為條件，另一組中的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論;

(3) 若數(shù)列{an}，{bn}都是B-數(shù)列，證明:數(shù)列{anbn}也是B-數(shù)列.

分析 (1)直接利用B-數(shù)列定義，根據(jù)不等式a-b≤a+b≤a+b從而有:

un+1-un+un-un-1+…+u2-u1≥(un+1-un)+(un-un-1)+…+(u2-u1)=un+1-u1;及un+1-un+un-un-1+…+u2-u1≤(un+1-un)+un-un-1+…+(u2-u1)≤(un+1+un)+(unun-1)+…+(u2+u1)≤2(un+1+un+…+u1);

an+1bn+1-anbn=(an+1bn+1-an+1bn)+(an+1bn-anbn)≤an+1bn+1-an+1bn+an+1bn-anbn=an+1bn+1-bn+bnan+1-an，

結(jié)合B-數(shù)列的定義，可以知(2)真命題:若數(shù)列{Sn}是B-數(shù)列，則數(shù)列{xn}是B-數(shù)列.

(3)關(guān)鍵有n+1≤M1+u1，i=1，2，…，n.結(jié)合不等式性質(zhì)B-數(shù)列定義，原題得證.

解析 (1)設(shè)滿足題設(shè)的等比數(shù)列為{an}，則an=qn-1，從而有an-an-1=qn-1-qn-2=qn-2 q-1，n≥2.

因此an+1-an=an-an-1+…+a2-a1=q-1(1+q+q2+…+qn-1).

因?yàn)閝<1，所以1+q+q2+…+qn-1=，即an+1-an+ an-an-1+…+a2-a1<，

故首項(xiàng)為1，公比為q(q<1)的等比數(shù)列是B-數(shù)列.

(2)命題:若數(shù)列{Sn}是B-數(shù)列，則數(shù)列{xn}是B-數(shù)列.

證明:若數(shù)列{Sn}是B-數(shù)列，存在一個(gè)正數(shù)M，n∈N*使Sn+1-Sn+Sn-Sn-1+…+S2-S1≤M，即xn+1+xn+…+x1≤M+x1.令M′=2[M+x1]，而xn+1-xn+xn-xn-1+…+x2-x1≤xn+1+xn+xn+xn-1+…+x2+x1≤2[xn+1+xn+xn+xn-1+…+x2+x1]≤2[M+x1]=M′，所以數(shù)列{xn}是B-數(shù)列.

(3)若數(shù)列{an}{bn}是B-數(shù)列，則存在正數(shù)M1、M2，對(duì)任意的n∈N*，有an+1-an+an-an-1+…+a2-a1≤M1，bn+1-bn+bn-bn-1+…+b2-b1≤M2，從而有an=an-an-1+an-2+…+a2-a1+a1≤an-an-1+an-1-an-2+…+a2-a1+a1≤M1+a1.同理:bn≤M2+b1，

令K1=M1+a1，K2=M2+b1，an+1bn+1-anbn=

an+1bn+1-anbn+1+anbn+1-anbn≤bn+1an+1-an+anbn+1-bn，從而有≤K2an+1-an+K1bn+1-bn，an+1bn+1-anbn+anbn-an-1bn-1+…+a2b2-a1b1≤K1(bn+1-bn+bn-bn-1+…+b2-b1)+K2(an+1-an+an+an-1+…+a2-a1)≤K2M1+K1M2，故數(shù)列{anbn}是B-數(shù)列.

三、利用定義性質(zhì)及相關(guān)的推導(dǎo)結(jié)論，結(jié)合一些與試題有關(guān)的知識(shí)

例4 (北京理20) 已知數(shù)集A={a1，a2，…an}(1≤a1

(Ⅰ)分別判斷數(shù)集{1，3，4}與{1，2，3，6}是否具有性質(zhì)p，并說明理由;

(Ⅱ)證明:a1=1，且=a;

(Ⅲ)證明:當(dāng)時(shí)n1=5，a1，a2，a3，a4，a5成等比數(shù)列.

分析 (Ⅰ)直接利用數(shù)集的性質(zhì)P進(jìn)行判斷.

(Ⅱ)數(shù)集A具有性質(zhì)P在i=2，3，…n條件，ai>1，所以anai>an，∴ anaiA

必∈A，從而有<，根據(jù)集合基本性質(zhì)知:=an-i+1從而命題得證.

(Ⅲ)在(Ⅱ)基礎(chǔ)上可推出=a1=1及a23=a2a4=a1a5，=a2，=a2，=a2，從而命題得證.

解析 (Ⅰ)由于3×4與均不屬于數(shù)集{1，3，4}，∴該數(shù)集不具有性質(zhì)P.

由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都屬于數(shù)集{1，2，3，6}，∴該數(shù)集具有性質(zhì)P.

(Ⅱ)∵A={a1+a2+…+an}具有性質(zhì)P，∴ anan與中至少有一個(gè)屬于A，由于1≤a1an，故ananA.從而1=∈A，∴ a1=1.

∵ 1=a1an，故akanA(k=2，3，…，n).

由A具有性質(zhì)P可知∈A(k=2，3，…，n).

又∵<<…<<，∴ =1，=a2 ，…= an-1，=an，從而++…++=a1+a2+…+an-1+an，∴ =an.

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，當(dāng)n=5時(shí)，有=a2，=a3即a5=a2a4=a23，∵ 1=a1a2a4=a5，∴ a3a4A，由A具有性質(zhì)P可知A.由a2a4=a23，得=A，且1<=a2，∴ ==a2，∴ ====a2，即a1，a2，a3，a4，a5是首項(xiàng)為1，公比為a2成等比數(shù)列.

例5 (2009上海理22)已知函數(shù)y=f(x)的反函數(shù).定義:若對(duì)給定的實(shí)數(shù)a(a≠0)，函數(shù)y=f(x+a)與y=f -1(x+a)互為反函數(shù)，則稱y=f(x)滿足“a和性質(zhì)”;若函數(shù)y=f(ax)與y=f -1(ax)互為反函數(shù)，則稱y=f(x)滿足“a積性質(zhì)”.

(1)判斷函數(shù)g(x)=x2+1(x>0)是否滿足“1和性質(zhì)”，并說明理由;

(2)求所有滿足“2和性質(zhì)”的一次函數(shù);

(3)設(shè)函數(shù)y=f(x)(x>0)對(duì)任何a>0，滿足“a積性質(zhì)”. 求y=f(x)的表達(dá)式.

分析 y=f(x)的反函數(shù)是y=f -1(x)，y=f(x+a)的反函數(shù)是y=f -1(x)-a，y=f(ax)的反函數(shù)是y=，x=f(f -1(x))以及變量的轉(zhuǎn)化思想，令x=ax0.結(jié)合“a和性質(zhì)”， “a積性質(zhì)”進(jìn)行判斷求解.

解析 函數(shù)g(x)=x2+1(x>0)的反函數(shù)是g-1(x)=(x>1)，∴ g-1(x+1)=(x>0)，而g(x+1)=(x+1)2+1(x>-1)，其反函數(shù)為y=-1(x>1)，故函數(shù)g(x)=x2+1(x>0)不滿足“1和性質(zhì)”.

(2)設(shè)函數(shù)f(x)=kx+b(x∈R)滿足“2和性質(zhì)”，k≠0，∴ f -1(x)=(x∈R)，∴ f -1(x+2)=，而

f (x+2)=k(x+2)+b(x∈R)得反函數(shù)y=.

由“2和性質(zhì)”定義可知=對(duì)x∈R恒成立，∴ k=-1，b∈R即所求一次函數(shù)為f (x)=-x+b(b∈R).

(3)設(shè)a>0，x0>0，且點(diǎn)(x0，y0)在y=f(ax)圖像上，則(y0，x0)在函數(shù)y= f -1(ax)圖像上，故f(ax0)=y0，f -1(ay0)=x0，可得:ay0=f(x0)=af(ax0).令ax0=x，則a=，∴ f(x0)=f(x)，即f(x)=.綜上所述f(x)=(k≠0)，此時(shí)f(ax)=，其反函數(shù)就是y=，而f -1(ax)=，故y=f(ax)與y=f -1(ax)互為反函數(shù).

至此，我們從以上題目的解法，可以得知一些新題的處理方法.但高考命題具有很大的靈活性與挑戰(zhàn)性，不可能完全掌握其規(guī)律，這里僅供參考與探討.

責(zé)任編校徐國(guó)堅(jiān)