談類比在解題中的應用

類比，是由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征.類比，可以通過特殊推知特殊.借助類比，可以推測未知，可以發現結論，可以探索和提供解決問題的思路和方法.本文談談談類比在解題中的應用，希望能對提高同學們的解題能力有所幫助.

一、退一步，尋找類比起點

例1 如圖，過四面體V-ABC的底面上任一點O分別作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分別是所作直線與側面交點. 求證:++為定值.

分析 退一步考慮平面上的類似命題:“過△ABC(底)邊AB上任一點O分別作OA1∥AC，OB1∥BC，分別交BC，AC于A1，B1，看看+是否為定值”. 這一命題利用相似三角形性質很容易推出其為定值1. 另外，過A、O分別作BC垂線，過B、O分別作AC垂線，則用面積法也不難證明定值為1.于是類比到空間圍形，也可用兩種方法證明其定值為1.

證明 如圖，設平面OA1 VA∩BC=M，平面OB1 VB∩AC=N，平面OC1 VC∩AB=L，則有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1 ∽△ LCV，得++=++.

在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一點O，用面積法易證得:

++=1，

∴++=1.

點評 運用類比推理的方法，可以幫助我們發現問題，探索規律，不少定理、公式就是運用這種方法提出，再經過嚴格的證明得到的.

二、換角度，調整類比空間

例2平面外的有一個三角形，三個頂點A、B、C到平面的距離分別是7、9、13，則這個三角形的重心到平面的距離為

分析與解 設三角形為△ABC，如果這個三角形的三個頂點在平面的同側，如圖過點A作平面∥，則，之間的距離為7，B到的距離為9-7=2，C到的距離為13-7=6，利用梯形中位線易求得BC中點D到的距離為= 4，而重心G在AD上，且=，重心G到的距離為d′=4×，故重心G到的距離為d=4×+7=. 其實，這三點未必在平面的同側，哪些點在另一側呢?要分類討論且各類還要畫圖，是不是很麻煩呢?

類比，我們換個角度，想一想地理中的“海拔高度”這一概念，如果山峰海拔4235m記為+4235m，海峽的海拔高度235m記為-235m. 我們若以平面為參照平面，因為A、B、C三點在平面同側，則A、B、C三點的“海拔高度”分別為7，9，13，記為+7，+9，+13，我們以此為“坐標”來表示A、B、C三點與平面的相對位置關系，而三角形的重心坐標為三坐標的算術平均值，故重心G到平面的距離為d==，那么，另外的可能情況為d1==1，d2==，d1==5. 這樣我們就很輕松的產生了所有情形的結論.

三、抓定量，看準類比實質

例3 函數y= f(x)的圖像與直線x=a，x=b及x軸圍成圖形的面積成為函數 f(x)在[a，b]上的面積，已知函數y=sinnx在[0，]的面積為(n∈N*)，則①函數y=sin3x在[0，]上的面積為.②函數y=sin(3x-)+1在[，]上的面積為.

解析 (1)令n=3，則y=sin3x在[0，]上的面積為，又∵y=sin3x在[0，]和[，]上的面積相等，所以函數y=sin3x在[0，]上的面積為.

(2)由y=sin(3x-)+1，設=3x-，

∴ y=sin3+1，又 ∵ x∈[，]，

∴ 3∈[0，3] ，∴ ∈[0，]，由(1)得:y=sin3在[0，]上的面積是，

∴ y=sin3+1在[0，]上的面積為S1+S2+S3+S4=2×+2S3.

∵ S3+S4=1×(-0)-S5=-，

∴函數y=sin(3x-)+1在[，]上的面積為- .

點評 本題的第一問很簡單，只需代入一下就可以了.第二問的求解抓住y=sin3x在[0，]上的面積為這個不變量，對y=sin(3x-)+1從圖形上進行類比，再進行分析、轉化即可產生結論.其中，抓不變量是促成類比順利進行的關鍵.

四、想性質，促成類比發生

例4 我們知道:圓的任意一弦(非直徑)的中點和圓心連線與該弦垂直(即:斜率均存在時，斜率之積為-1)，那么，若橢圓b2x2+a2y2=a2b2的一弦(不過原點)中點與原點連線及弦所在直線的斜率均存在，你能得到什么結論?請予以證明.對于雙曲線b2x2-a2y2=a2b2呢?也存在類似結論嗎?

解析 假若弦的斜率與弦的中點和圓心連線的斜率都存在，由于兩線垂直，我們知道斜率之積為-1.對于方程b2x2+a2y2=a2b2，若a=b，則方程即為圓的方程，由此可以猜測兩斜率之積為-或-.

事實上，設弦AB的兩端點的坐標分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，中點為P，則

b2x21+a2y21=a2b2，b2x22+a2y22=a2b2b2(x22-x21)+a2(y22-y21)=0#8226;=-kAB#8226;kOP=-，即兩斜率之積為-.

類似地，設雙曲線的弦為AB，弦中點為P，可得kAB#8226;kOP =.

點評 本題首先產生結論，然后再證明，顯然方便了很多，如何產生結論呢?要會進行類比，通過想到圓的性質，促成類比發生

五、看特征，究出類比母體

例5 若函數 f(x)滿足:當xy≠0時， f(xy)= f(x)+ f(y)且 f(x)不恒為零，當x>1時， f(x)=0.

(1)求證:函數 f(x)為偶函數.

(2)求使 f(x)+ f(2-)<0成立的x的范圍.

(3)若Un=(n∈N*)，求數列{Un}的前項n和Sn.

分析 由 f(xy)= f(x)+ f(y)讓我們想到了對數函數f(x)=logax，類比對數函數，我們可以想到 f(1)=0，若x>1時，f(x)>0則a>0，此時函數遞增.同樣也應該存在著“f()= f(x)-f(y)”及“f(an)= f(a)”.

解析 (1)令x=y=1，得 f(1)=0，又 f(1)=f [(-1)×(-1)]=2 f(-1)=0，得 f(-1)=0，再令 y=-1，得 f(-x)= f(x)+ f(-1)，即 f(-x)= f(x)，故 f(x)為偶函數.

(2)由條件得 f(x)+ f(2-)<0，可轉化為f[x(2-)]< f(1)，即 f(|2x-3|)< f(1).

由 f(x)= f(x2#8226;)= f(x2)+ f()=2f(x)+ f()，得 f()=-f(x)，那么 f()= f(x)+ f()= f(x)- f(y)，于是設01，得 f()>0，即 f(x2)- f(x1)>0也就是 f(x2)> f(x1)，∴ f(x)在(0，+∞)上為增函數，

∴|2x-3|<1，2x-3≠0，得1

(3)類比對數函數的性質，易得 f(an)= nf(a)，那么 f(2-n)= f [()n]=nf().

由 f(1)=0，得 f(2×)=2 f()=0 f()=0，從而Un==.

于是Sn=U1+U2+…+Un=+++…+……①

那么2Sn=1+++…+……………………②

由②減①，得Sn=1+++…+-=2-，

故數列{Un｝的前n項和Sn為2-.

點評 本題通過看特征“f(xy)= f(x)+ f(y)”，發現了本題的類比母體“對數函數f(x)=logax”，類比對數函數，發現了很多相關結論，從而打開了解題思路.

六、重方法，擴大類比戰果

一個優秀的數學方法決不是解一個題，而是解一類題.由于這些題可能會分布在不同的章節之中，因此，就要求我們要善于知識遷移，善于將這一優秀的方法類比到不同內容的問題之中.類比二次函數最值的求法，我們可以輕松求解下列問題:

例6 求解下列各題，并比較各題的解法有什么區別

(1)求函數y=x2+2x++的最小值.

(2)若≤x≤9時，求y=log3(3x)#8226;log3的最大及最小值.

(3)若關于x的方程cos2x+4sinx+c=0[0，]在內有解，求c的范圍.

(4)求y=(sinx+1)(cosx+1)的最大及最小值.

(5)求x+的范圍.

(6)若方程9-|x-2|-4#8226;3-|x-2|-a=0有實數解，求實數a的取值范圍.

(7)若，是實系數二次方程x2-2mx+m+2=0的兩實根，求2+2最值.

(8)實數a在什么范圍內取值時?曲線c1∶+y2=1與曲線c2∶y2=x有公共點.

(9)由橢圓b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的頂點B(0，-b)引一條弦BP，求BP的最大長度.

解析 (1)y=(x-)2+2(x-)+2=[(x-)+1]2+1≥1.

(2)由≤x≤9-1≤log3x≤2，而y=log3(3x)#8226;log3.=(1+log3x)(log3x-3)=(log3x-1)2-4-4≤y≤0.

(3)當x∈[0，]時，0≤sinx≤1，由c=sin2x-4sinx-1=(sinx-2)2-5，得:-4≤c≤4.

(4)y=(sinx+1)(cosx+1)=(sinx+cosx)+sinxcosx+1=[(sinx+cosx)+1]2-1，由-≤sinx+cosx≤，得:-1≤y≤.

(5)設t=，則x=3-t2(t≥0)，由x+=3-t2+t=-(t-)2+.

那么x+的范圍為:[，+∞).

(6)由a=9-|x-2|+4#8226;3-|x-2|=-(3-|x-2|-2)2+4，又由0<3-|x-2|≤10

(7)由△=(-2m)2-4(m+2)≥0m≤-1或m≥2.

由于+=2m，=m+22+2=(+)2-2=4m2-2(m+2)=4m2-2m-4，當m=-1時，2+2的最小值為2.

(8)由+y2=1知可設x=a+cos，y=sin，則sin2=(a+cos)a=-2cos2-cos+2=-2(cos+)2+ .由于-1≤cos≤1，得-≤a≤.

(9)設點P的坐標為(x，y)，由b2x2+a2y2=a2b2，得:x2=a2-y2(-b≤y≤b)，

所以 |BP|==，

(i)當2b2≤a2時，y=-，得|BP|min=;

(ii)當2b>a時，y=b，得|BP|min=2b.

點評 上述各題不管是以什么形式出現，最終都是二次函數問題.如果我們對二次函數的性質與最值問題，真正達到熟練掌握的程度，再將方法稍作類比即可完成這些問題的求解.

類比，是重要的推理方法之一，更是重要的思維方法之一.愿這種特殊的思維方法早日在你的“思維農場”中生根、發芽.

責任編校 徐國堅