七種易混概率題型解題剖析

概率在近年的高考中占有一定的比例，要充分注意一些重要概念的實(shí)際意義，理解概率處理問(wèn)題的基本思想和方法(觀察與試驗(yàn)、分析與綜合、一般化與特殊化).本文略舉數(shù)例對(duì)六種題型作一些簡(jiǎn)要剖析，僅供參考.

一、是否等可能性問(wèn)題

等可能事件的概率:如果一次試驗(yàn)中可能出現(xiàn)的結(jié)果有n個(gè)，而且所有結(jié)果都是等可能的.如果事件A包含m個(gè)結(jié)果，那么事件A的概率P(A)= .

例1擲兩枚骰子，求事件A為出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和等于5的概率.

分析公式P(A)=

僅當(dāng)所述的試驗(yàn)結(jié)果是等可能性時(shí)才成立，而取數(shù)值2和3不是等可能的，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為2的只有一種情況:(1，1)，而出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為3的有兩種情況:(1，2)，(2，1)可出現(xiàn)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為4的有三種情況:(1，3)，(3，1)，(2，2)可出現(xiàn)，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為5的有四種情況:(1，4)，(4，1)，(2，3)，(3，2)可出現(xiàn)，

解析擲兩枚骰子可能出現(xiàn)的情況:(1，1)，(1，2)，…，(1，6)，(2，1)，(2，2)，…，(2，6)，…，(6，1)，(6，2)，…，(6，6)，基本事件總數(shù)為6×6=36.在這些結(jié)果中，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和等于5的只有四種結(jié)果(1，4)，(2，3)，(4，1)，(3，2)，∴P (A)==.

點(diǎn)評(píng)解決等可能性事件的概率問(wèn)題的關(guān)鍵是:正確求出基本事件總數(shù)和A包含的基本事件數(shù).

二、“互斥”與“獨(dú)立”問(wèn)題

不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件.

相互獨(dú)立事件是指事件A與事件B，他們其中一個(gè)發(fā)生與不發(fā)生對(duì)另一個(gè)發(fā)生的概率沒(méi)有影響.

相互獨(dú)立事件的概率乘法公式:P(A*B)=P(A)*P(B).

獨(dú)立事件重復(fù)試驗(yàn)又叫貝努里試驗(yàn)，是在同樣的條件下，重復(fù)地各次之間相互獨(dú)立地進(jìn)行的一種試驗(yàn)，在這種試驗(yàn)中，每一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且在任何一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率都是一樣的.

n次獨(dú)立事件重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式:Pn(k)=Ckn#8226;P k(1-P)n-k.

例2甲投籃命中率為0.85，乙投籃命中率為0.75，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少?

分析本題是相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件而不是互斥事件.將兩人都恰好投中2次理解為“甲恰好投中兩次”與“乙恰好投中兩次”的和.

解析設(shè)“甲恰好投中兩次”為事件A，“乙恰好投中兩次”為事件B，則兩人都恰好投中兩次為事件AB，則P(AB)=P(A)×P(B)=C230.852×0.15×C230.752×0.25=0.1372.

點(diǎn)評(píng)在一般情況下，互斥與相互獨(dú)立是兩個(gè)互不等價(jià)、完全不同的概念.

例3 從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機(jī)抽取1件，假設(shè)事件A:“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率P(A)=0.96.

(1)求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率P;

(2)若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，求事件B:“取出的2件產(chǎn)品中至少有一件二等品”的概率P (B).

分析本小題主要考查相互獨(dú)立事件、互斥事件等的概率計(jì)算，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，以及推理與運(yùn)算能力.

解析 (1)記A0表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無(wú)二等品”，A1表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”.則A0 . A1互斥，且A=A0 + A1，故P(A)=P(A0 + A1)=P(A0 )+P( A1)=(1-P )2+C12P(1-P )=1-P 2，于是0.96=1-P 2，解得P 1=0.2，P 2=-0.2(舍去).

(2)記B0表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無(wú)二等品”，則B=B0.

若該批產(chǎn)品共100件，由(1)知其中二等品有100×0.2=20件，故P(B0)==.

P(B)=P(B0)=1-P(B0)=1-=.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于較復(fù)雜的概率問(wèn)題，應(yīng)分清事件的構(gòu)成以及概率的轉(zhuǎn)化，理解清楚“至多有一個(gè)事件發(fā)生”“至少有一個(gè)事件發(fā)生”和“恰有一個(gè)事件發(fā)生”等語(yǔ)句的真實(shí)含義是解題的關(guān)鍵.

三、“互斥”與“對(duì)立”問(wèn)題

其中必有一個(gè)發(fā)生的互斥事件叫做對(duì)立事件.

互斥事件與對(duì)立事件的關(guān)系:對(duì)立事件一定是互斥事件 ，但互斥事件不一定是對(duì)立事件.兩個(gè)對(duì)立事件之和為必然事件.

求某一事件發(fā)生的概率，首先應(yīng)注意分析具體問(wèn)題中事件發(fā)生的概率類型，同一隨機(jī)事件用了哪種模型，是互斥模型(正向思考)還是對(duì)立模型(反向思考).

例4從裝有4個(gè)黑球和4個(gè)白球的口袋內(nèi)任取4個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是()

A. 至少有2個(gè)白球，都是白球

B. 至少有2個(gè)白球，至少有2個(gè)黑球

C. 恰有2個(gè)白球，恰有4個(gè)白球

D. 至少有1個(gè)白球，都是黑球

分析 本題容易把“互斥”與“對(duì)立”混淆，解題時(shí)必須注意.

解析 A，B既不互斥，也不對(duì)立， C互斥而不對(duì)立， D既互斥又對(duì)立，所以正確答案應(yīng)為C.

例5 口袋中裝有30個(gè)小球，其中n個(gè)紅色、5個(gè)藍(lán)色、10個(gè)黃色，其余為白色，求

(1)如果從裝里取出3個(gè)都是相同顏色球(無(wú)白色)的概率是，且n≥2，計(jì)算紅球有幾個(gè)?

(2)根據(jù)(1)的結(jié)論，計(jì)算從袋中任取3個(gè)小球至少有一個(gè)是紅球的概率.

分析 本題主要考查互斥事件與對(duì)立事件概率的求法及排列組合的知識(shí)，考查邏輯思維能力及綜合運(yùn)用知識(shí)分析和解決問(wèn)題的能力.

解析 取3個(gè)球的總數(shù)為C330=4060.

設(shè)事件A為:3個(gè)球全是紅色;事件B為:3個(gè)球全是藍(lán)色;事件C為: 3個(gè)球全是黃色，則有P(B)==，P(C)==.

∵A，B，C為互斥事件，∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).

即=P(A)++，所以P(A)=0，即取3個(gè)球，紅球的個(gè)數(shù)小于或等于2.又n≥2，所以n=2.

(2)記事件D: 3個(gè)球中至少有一個(gè)是紅球，則D為: 3個(gè)球中沒(méi)有紅球.

P(D)=1-P(D)=1-=.

點(diǎn)評(píng) 求某些較復(fù)雜的事件的概率時(shí)，通常有兩種方法:一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥的概率的和，二是先去求此事件的對(duì)立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率，但一定要分清事件的對(duì)立事件到底是什么事件，不能重復(fù)或遺漏，它常用于“至多”“至少”型問(wèn)題的探求.

四、“條件概率P(B|A)”與“積事件的概率P(AB)”問(wèn)題

事件A、B同時(shí)發(fā)生，故該事件記為A#8226;B，也叫事件A、B的積事件.P(A#8226;B)=P(A)#8226;P(B);P(A1#8226;A2…An)=P(A1)#8226;P(A2)…P(An)

在縮減的樣本空間SA中，作為在事件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率，叫事件A、B的條件概率P(B|A).

例6袋中有6個(gè)紅色、4個(gè)白色乒乓球，作不放回抽樣，每次任取一球，取2次，求:

(1)第二次才取到紅色球的概率;

(2)發(fā)現(xiàn)其中之一是紅色的，另一個(gè)也是紅色的概率.

分析本題容易把P(AB)與P(B|A)的含義弄混淆.P(AB)表示在樣本空間S中，A與B同時(shí)發(fā)生的概率;而P{B|A}表示在縮減的樣本空間SA中，作為在條件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率.

“第二次才取到紅色球”與“第二次取到紅球”是不一樣的兩件事.“第二次才取到紅色球”中的“才”點(diǎn)明了第一次取球是一個(gè)白色的乒乓球，而“第二次取到紅球”這句話就無(wú)法明確第一次取得什么顏色的球.故求第二次才取到紅色球的概率是一個(gè)條件概率.而該題的第二問(wèn)就是一個(gè)非常明確的求條件概率的問(wèn)題.

解析 (1)設(shè)事件A為“第一次取到白球”，事件B為“第二次取到紅球”，事件C為“第二次才取到紅球”，則P(C)=P(AB)=P(A)P(B)P(B|A)=×=.

(2)設(shè)事件為“取兩次其中之一是紅球”，事件E為“兩個(gè)都是紅球”，事件F為“其中之一是紅球，另一個(gè)也是紅球”，則事件ED為“兩次取球都是紅球”.

于是P(ED)=×=，P(D)=×+×+×，故P(F)=P(E |D)==

=.

例7一張儲(chǔ)蓄卡的密碼共六位數(shù)字，每位數(shù)字都可從0～9中任選一個(gè).某人在銀行自動(dòng)取款機(jī)上取錢時(shí)，忘記了密碼的最后一位數(shù)字，求:

(1)任意按最后一位數(shù)字，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率;

(2)如果他記得密碼的最后一位是偶數(shù)，不超過(guò)2次就按對(duì)的概率.

分析 第一問(wèn)中“任意按最后一位數(shù)字”與“不超過(guò)2次就按對(duì)的概率”這兩句話目的是為了完成同一件事就是“按對(duì)密碼”，切不可把“任意按最后一位數(shù)字”作為條件，而把“不超過(guò)2次就按對(duì)的概率”作為估計(jì)的事件，這樣就會(huì)誤把第一問(wèn)看作求條件概率的問(wèn)題，從而就會(huì)找不到解題的思路.該題的第二問(wèn)，條件與目的就相當(dāng)明確了，是一個(gè)條件概率.

解析 設(shè)第i次按對(duì)密碼為事件Ai(i=1，2)，則A=A1∪(A1A2)表示不超過(guò)2次就按對(duì)密碼.

(1)因?yàn)槭录嗀1與事件A1A2互斥，由概率的加法公式得:P(A)=P(A1)+P(A1A2)=+=.

(2)用B表示最后一位按偶數(shù)的事件，則P(A|B)=P(A1|B)+P(A1A2|B)=+=.

點(diǎn)評(píng) 條件概率P(B|A)表示在條件A已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的概率.而積事件的概率P(AB)表示在樣本空間S中，A與B同時(shí)發(fā)生的概率，計(jì)算積事件的概率時(shí)必須注意三點(diǎn):事件的獨(dú)立性，各事件同時(shí)發(fā)生，分別求出各個(gè)事件發(fā)生的概率再求其積.

五、“有序”與“無(wú)序”問(wèn)題

在解決有關(guān)概率的綜合應(yīng)用題中，要注意分析題中各要素之間是否與順序有關(guān)，若與順序有關(guān)，則用排列知識(shí)解決，若與順序無(wú)關(guān)，則用組合知識(shí)解決.

例8 兩部不同的長(zhǎng)篇小說(shuō)各由第一、二、三、四卷組成，每卷1本，共8本.將它們?nèi)我獾嘏懦梢慌牛筮?本恰好都屬于同一部小說(shuō)的概率是(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示).

分析 本題中的兩部長(zhǎng)篇小說(shuō)是不同的，且各部又由不同的四卷組成，所以它們?cè)谂懦梢慌诺臅r(shí)候是與順序有關(guān)的，這一點(diǎn)必須注意.

解析 從兩部不同的長(zhǎng)篇小說(shuō)8本書(shū)的排列方法有A88種，左邊4本恰好都屬于同一部小說(shuō)的排列方法有A44A44A22種.所以， 將符合條件的長(zhǎng)篇小說(shuō)任意地排成一排，左邊4本恰好都屬于同一部小說(shuō)的概率是:P==種.所以，填

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查運(yùn)用排列和概率知識(shí)，以及分步計(jì)數(shù)原理解決問(wèn)題的能力，推理和運(yùn)算能力.

例9 甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個(gè)紅球，2個(gè)白球;乙袋裝有2個(gè)紅球，n個(gè)白球.由甲，乙兩袋中各任取2個(gè)球.

(Ⅰ)若n=3，求取到的4個(gè)球全是紅球的概率;

(Ⅱ)若取到的4個(gè)球中至少有2個(gè)紅球的概率為，求n.

分析 本題中甲、乙兩袋中的紅球和白球各自都是相同的，且取到的紅球沒(méi)有先后順序之分，所以與順序無(wú)關(guān)，應(yīng)用組合知識(shí)解決.

分解 (I)記“取到的4個(gè)球全是紅球”為事件A，P(A)=#8226;=#8226;=.

(II)記“取到的4個(gè)球至多有1個(gè)紅球”為事件B，“取到的4個(gè)球只有1個(gè)紅球”為事件B1，“取到的4個(gè)球全是白球”為事件B2.由題意，得P(B)=1-=.

P(B1)=#8226;+#8226;=;

P(B2)=#8226;=，

所以，P(B)=P(B1)+P(B2)=+ =，化簡(jiǎn)，得7n2-11n-6=0，解得n=2，或n=-(舍去)，故n=2.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查運(yùn)用組合、概率等基本知識(shí)，同時(shí)考察邏輯思維能力和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力.

六、“二項(xiàng)分布”與“幾何分布”問(wèn)題

離散型隨機(jī)變量的概率分布:設(shè)離散型隨機(jī)變量可能取的值為x1，x2，…，xi，…，取每一個(gè)值xi(i=1，2，…)的概率P(=xi)=P2，則稱下表.

為隨機(jī)變量的概率分布，簡(jiǎn)稱的分布列.

(1)二項(xiàng)分布:n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率PK=P(=k)=CnnP kqn+k，其中0≤k≤n，q=1-q隨機(jī)變量的分布列如下:

則稱這樣隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，記作~B(n，p)，其中n、 p、為參數(shù)，并記:CknP kqn-k =b(k;n， p).

(2)幾何分布:在獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，某事件第一次發(fā)生時(shí)所作的試驗(yàn)的次數(shù)是一個(gè)取值為正整數(shù)的離散型隨機(jī)變量，“=k”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)事件第一次發(fā)生，隨機(jī)變量的概率分布為:

則稱這樣隨機(jī)變量服從幾何分布，記作g(k，p)=q k-1p，其中q=1-p，k=1，2，3，…

注意:幾何分布不同于二項(xiàng)分布，要注意它們的區(qū)別，一個(gè)是n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)恰好發(fā)生k次的概率，另一個(gè)是在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)某事件第一次發(fā)生的概率，它們的共同之處是都是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).

例10接種甲流疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80，現(xiàn)有5人接種該疫苗，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為_(kāi)_________.(精確到0.01)

分析 設(shè)出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的人數(shù)為，則5人接種該疫苗可看作5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，所以服從二項(xiàng)分布.

解析 由題意知，至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為P(≥3)=C35#8226;0.803#8226;0.202+C45#8226;0.804#8226;0.20+C55#8226;0.805，故填0.94.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查運(yùn)用組合、概率的基本知識(shí)和分類計(jì)數(shù)原理解決二項(xiàng)分布問(wèn)題的能力，以及推理和運(yùn)算能力. 二項(xiàng)分布是常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布，必須重點(diǎn)掌握.

例11 某射手每次命中目標(biāo)的概率為0.15，現(xiàn)該射手連續(xù)向目標(biāo)射擊，如果命中目瞟，則射擊停止，否則繼續(xù)射擊，直到命中目標(biāo)，但射擊次數(shù)最多不超過(guò)10次，求射擊次數(shù)的概率分布.

分析 此題屬于幾何分布，每個(gè)概率應(yīng)用P(=k)=q k-1P，而P(=k)應(yīng)理解為前k-1次未命中目標(biāo)且第k次命中目標(biāo)或前k-1次未命中目標(biāo)且第k次也未命中目標(biāo)兩重含義，應(yīng)與二項(xiàng)分布區(qū)別開(kāi)來(lái).

解析 由題意得=1，2，…，10，各次射擊是相互獨(dú)立的，故有P(=i)(1-0.15)i-1×0.15=0.85i-1×0.15，其中i=1，2，…，9.

而P(=10)=0.859×0.15+0.8510=0.859，故所求分布列為

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查概率和離散型隨機(jī)變量分布列等知識(shí).考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力離散型隨機(jī)變量在某一范圍內(nèi)取值的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和.

七、“可辯認(rèn)”與“不可辨認(rèn)”問(wèn)題

在解決與球放入盒子等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，要注意，若球或盒子是編好號(hào)的，則我們稱其為“可辯認(rèn)”， 若球或盒子不是編好號(hào)的，則稱其是“不可辯認(rèn)”.

例12 將n個(gè)球等可能地放入到N個(gè)編號(hào)的盒子中去(每個(gè)盒子容納球的個(gè)數(shù)不限)，求事件A:“某指定的n個(gè)盒子中恰有一球的概率.

分析 注意此題中的球可能是編號(hào)的，也可能是沒(méi)有編號(hào)的，因此解題時(shí)要注意它的兩面性，即“可辯認(rèn)”與“不可辨認(rèn)”，切忌片面的處理問(wèn)題.

解析 分兩種情況:

如果球是編號(hào)的(即可辨認(rèn)的)，則將n個(gè)球等可能地放入到N個(gè)編號(hào)的盒子中，樣本空間包含基本事件的總數(shù)為Nn，而A中含有n!個(gè)基本事件，∴P(A)=.

如果球沒(méi)有編號(hào)(即不可辯認(rèn)的)，我們?cè)诖擞梅?hào)“□”表示一個(gè)盒子，“○”表示球，先將盒子按號(hào)碼排列起來(lái)這樣的N個(gè)盒子由N+1個(gè)“|”構(gòu)成，然后把n個(gè)球任意放入N個(gè)盒子中，比如:|○|○○|…|○○○|，在這樣的放法中，符號(hào)“|”和“○”共占有:N+1+n個(gè)位置，在這N+1+n個(gè)位置中，開(kāi)始和末了的位置上必須是“|”，其余的N+n-1個(gè)位置上“|”和“○”可以任意次序排列.則N-1個(gè)“1”和n個(gè)“○”在中間的N+n-1個(gè)位置上的可以區(qū)別的排列數(shù)是CnN+n-1，故S含有CnN+n-1個(gè)基本事件，將n個(gè)不可辨認(rèn)的球放入指定的n個(gè)盒子，使每盒恰有一球的放法只有1種，故A含1個(gè)基本事件，從而P(A)==.

總結(jié) 解決概率問(wèn)題要注意三個(gè)步驟:

(1)確定事件類型等可能事件，互斥事件，獨(dú)立事件，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，二項(xiàng)分布，幾何分布， 即所給的問(wèn)題歸結(jié)為六類問(wèn)題中的某一種.

(2)判斷事件的運(yùn)算和事件， 積事件， 即是至少有一個(gè)發(fā)生，還是同時(shí)發(fā)生，分別運(yùn)用相加或相乘運(yùn)算.

(3)運(yùn)用公式

等可能事件:P(A)=，互斥事件:P(A+B)=P(A)+P(B)，獨(dú)立事件:P(A#8226;B)=P(A)#8226;P(B)，n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn):Pn(k)=CknP k(1-P)n-k

求解.

責(zé)任編校 徐國(guó)堅(jiān)