集合復(fù)習(xí)“三大紀(jì)律八項(xiàng)注意”

集合是中學(xué)數(shù)學(xué)中最基本的概念，其重要性不言而喻.內(nèi)容不多，理解不難，高考不可少，且大多放在第一小題.在復(fù)習(xí)這塊內(nèi)容時如果一些細(xì)節(jié)不注意，在特定時間特定背景下往往容易陰溝翻船.因此，下面簡要介紹集合復(fù)習(xí)時需要注意的地方，我把它歸結(jié)為:“三大紀(jì)律八項(xiàng)注意”.希望能幫助同學(xué)們加深對集合有關(guān)概念的理解，少走彎路，提高復(fù)習(xí)效率.

第一，識符號懂語言，學(xué)好集合真本領(lǐng);

第二，記概念知運(yùn)算，集合學(xué)好占一半;

第三，用好數(shù)軸韋恩圖，集合解題馬力足.

三大紀(jì)律我們要做到，八項(xiàng)注意切莫忘記了.

第一，注意集合的“三性”.

集合的“三性”是指:確定性、互異性、無序性，它們是集合的最基本特征.要注意弄清它們的含義，才能在解題時正確運(yùn)用.尤其是互異性容易被忽視.因此，當(dāng)集合中元素含有參數(shù)時，要注意“回代檢驗(yàn)”.

例1 已知A={a+2，(a+1)2，a2+3a+3}，若1∈A，求實(shí)數(shù)a的值.

解析 ①如果a+2=1，則a=-1，代入a2+3a+3，亦得1，這與集合的互異性矛盾;

②如果(a+1)2=1，則a=0或-2.若a=0時，A={2，1，3}符合題意;若a=-2時，A={0，1，1}不符合題意;

③如果a2+3a+3=1，則a=-1或a=-2.若a=-1時，A={1，0，1}不符合題意;若a=-2時，A={0，1，1}不符合題意.

綜上所述，a=0即為所求.

第二，注意分清元素集合間的關(guān)系.

元素與集合的關(guān)系一定是屬于(∈)與不屬于()的關(guān)系，而集合與集合則有相等(=)、包含()和真包含()的關(guān)系.在解題過程中，首先要分清楚是元素與集合還是集合與集合的關(guān)系.

例2 下列關(guān)系錯誤的是()

A. {0}B. 0∈{0}C. 0∈{}D. 0{}

解析 數(shù)0是元素，{0}是含一個元素0的集合，是不含任何元素的集合，{}是以作為元素的集合.要注意它們的區(qū)別與聯(lián)系. A、B、D均正確，C是錯誤的.

例3 (1)若a，b∈{3，4，5}，則函數(shù)f(x)=ax2+bx有多少條不同的對稱軸?

(2)若{a，b}{3，4，5}，則函數(shù)f(x)=ax2+bx有多少條不同的對稱軸?

解析 二次函數(shù)圖像的對稱軸為x=-，故只要研究有多少個不同的的值即可，但要注意兩小題的區(qū)別.第(1)小題中a，b∈{3，4，5}，由于a，b都是集合的元素，它們的值可以相同可以不同.當(dāng)a，b不同時有A23=6個不同的值;當(dāng)a，b相同時=1，因此共有7條不同的對稱軸;第(2)小題中{a，b}{3，4，5}，根據(jù)集合的互異性可知a，b只能不相等，因此只有A23=6條不同的對稱軸.

第三，注意空集的特殊性.

是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，與任何集合的并集等于集合本身，與任何集合的交集等于空集.忽視它的特殊性，同樣會造成解題錯誤.

例4 A={x|-3≤x≤4}，B={x|2m-1≤x≤m+1}，若A∪B=A時，求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

錯解 由A∪B=A得BA，故有2m-1≥-3，2m-1≤m+1，m+1≤4，解得-1≤m≤-2，所以m的取值范圍為-1≤m≤-2.

分析 當(dāng)A∪B=A時，誤認(rèn)為集合B是非空的，且B是A的子集，忽視了B為空集的情況.

正解 由A∪B=A，得BA，所以B=或B≠.當(dāng)B=時，2m-1≥m+1得m>2;當(dāng)B≠時，2m-1≥-3，2m-1≤m+1，m+1≤4，解得-1≤m≤2.

綜上所述，所求的取值范圍為m≥-1.

由此可見，在解有關(guān)子集的問題時應(yīng)防止漏解，注意分類討論.

第四，注意不等式與集合的結(jié)合.

集合問題經(jīng)常與不等式聯(lián)系在一起，特別是進(jìn)行子交并補(bǔ)運(yùn)算，往往需要先解一些簡單的不等式.所以要解決好此類問題需要先學(xué)會一些基本不等式的求解，比如一次不等式、二次不等式、簡單分式不等式、基本的指數(shù)、對數(shù)不等式以及含有絕對值的不等式等.

例5 已知全集U=R，集合M={x|-2≤x-1≤2}和N={x=2k-1|k=1，2…}的關(guān)系的韋恩(Venn)圖如圖1所示，則陰影部分所示的集合的元素共有( )

A. 3個 B. 2個

C. 1個 D. 無窮多個

解析 先要對所給兩個集合進(jìn)行細(xì)化，對M集合而言，先解一個簡單的一次不等式.由-2≤x-1≤2，得-1≤x≤3，則M∩N={1，3}，有2個，選B.

例6 若集合A={x|2x-1<3}，B={x|<0}，則A∩B是()

A. {x|-1

C. {x|-

解析 由2x-1<3-3<2x-1<3-2<2x<4-13，畫數(shù)軸容易得答案為D.

由此可見，掌握一些常見的不等式的解法對于解答此類題是多么重要!

第五，注意方程與集合的結(jié)合.

集合盡管與方程的關(guān)系沒有與不等式的關(guān)系那么緊密，但方程一旦通過集合語言表達(dá)出來，方程的整套理論幾乎都能考查.在歷年高考當(dāng)中，以考查一次、二次方程較為常見.

例7 集合M={x|ax2-2x+2=0，x∈R}至多有一個元素，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

錯解 由題意知，集合M為或M中只有一個元素，當(dāng)M=時，=4-8a<0，即a>，當(dāng)M中只有一個元素時，=4-8a=0，即a=，故a的取值范圍為a≥.

分析 這是一道很容易錯的題目!錯因誤認(rèn)為ax2-2x+2=0表示的一定是一元二次方程，而忽視了當(dāng)a=0時，-2x+2=0即x=0也滿足題意.實(shí)際上，如果同學(xué)們知道判別式“”是用來判斷一元二次方程的根的情況的，那么在遇到含有參數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)的方程時，自然就要分情況討論了.

正解 當(dāng)a=0時，-2x+2=0即x=0滿足題意;當(dāng)a≠0時，由錯解可知a≥.

綜上所述，故a的取值范圍為a≥或a=0.

第六，注意分清是數(shù)集還是點(diǎn)集.

對于集合問題，首當(dāng)其沖要搞清楚集合中的元素究竟是什么，就中學(xué)而言就是到底是點(diǎn)集還是數(shù)集，這一點(diǎn)非常重要但又往往被人忽略.解決此類問題關(guān)鍵在于分清集合的表示方法:對于列舉法，容易把點(diǎn)集{(2，4)}誤寫為{2，4}或{x=2，y=4}等;對于描述法給出的集合{x∈A|P(x)}，要緊緊抓住豎線前邊的代表元素x的形式，以及它所具有的性質(zhì).

例8 設(shè)M={y|y=2x，x∈R}，{y|y=x2，x∈R}則M∩N=( )

A. {(2，4)} B. {(2，4)，{4，16}}C. M=ND. MN

解析 這個題很容易誤認(rèn)為M∩N是方程組求交點(diǎn)，即:由方程組y=2x，y=x2，得它們的公共解為x=2，y=4或x=4，y=16，故選B.原因是對集合的表示形式認(rèn)識不清，將數(shù)集與點(diǎn)集混為一談，從而造成錯誤.正確的理解應(yīng)是集合M表示函數(shù)y=2x的值域，即M={y｝y>0}，而集合N表示函數(shù)y=x2的值域，即N={y｝y≥0}，顯然MN ，故應(yīng)選D.

請同學(xué)們認(rèn)真對比一下，我把題目改成:

設(shè)M={x|y=2x， x∈R}，{x|y=x2， x∈R}，則M∩N=( )

情況會如何呢?此時M∩N就是方程組求交點(diǎn)，則選B.

第七，注意教材里的閱讀材料.

教材里的閱讀材料《集合中元素的個數(shù)》，這類型題目，表面上看起來錯綜復(fù)雜，若能利用容斥原理和韋恩圖，則可使問題具體化而順利解決.因此同學(xué)們在復(fù)習(xí)時一定不能不看，高考中題目出到這里來，也不能說是完全超綱.

例9 50名學(xué)生參加甲、乙兩項(xiàng)體育活動，每人至少參加了一項(xiàng)，參加甲項(xiàng)的學(xué)生有30名，參加乙項(xiàng)的學(xué)生有25名，則僅參加了一項(xiàng)活動的學(xué)生人數(shù)為( )

A. 50B. 45C. 40 D. 35

分析 集合A中元素的個數(shù)常記作card (A).本題中設(shè)50名學(xué)生組成全集U，參加甲項(xiàng)的學(xué)生組成集合A，參加乙項(xiàng)的學(xué)生組成集合B.這樣甲乙兩項(xiàng)都參加的學(xué)生就組成了A∩B.可借助容斥原理和韋恩圖來解題.

解析 依題意，card(A)=30，card (B)=25，而card (U)=50，∴card (A∩B)=30+25-50=5，即有僅參加了一項(xiàng)活動的學(xué)生人數(shù)為50-5=45，故應(yīng)選B.

注:本題中card(U)=50，∴card(A∪B)≤50.根據(jù)容斥原理card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)和韋恩圖可得，至少有5人兩項(xiàng)活動都參加了.容斥原理card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)和韋恩圖是解決“至多”“至少”問題的有力工具.

第八，注意集合新定義題.

“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運(yùn)算五種，然后根據(jù)此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.集合新定義題，即是在以集合為定義的素材，創(chuàng)設(shè)一些課本上沒有見過的新情景問題，這類問題大多以課內(nèi)知識為起點(diǎn)向其他知識層面遷移.解決這類問題的關(guān)鍵在于讀懂題意，即準(zhǔn)確把握新信息，然后以舊帶新，利用已有的知識來解決新情景問題.

例10 給定一個數(shù)集A和一種運(yùn)算*，若對于這個集合A中的任意兩個元素x1，x2都有x1*x2仍然是這個集合A的元素，那么我們就稱集合A對運(yùn)算法則*是封閉的.現(xiàn)設(shè)A={x=m+n，m，n∈Z}.

(1) 證明集合A對加法和乘法是封閉的;(2) 集合A對減法和除法是封閉的嗎?

解析 本題中出現(xiàn)了新的定義:集合的封閉性.根據(jù)封閉性的定義，在集合A中任取兩數(shù)x1，x2(具有A中性質(zhì))，需判斷x1+x2，x1x2，x1-x2，分別是A中元素，則運(yùn)算是封閉的，否則運(yùn)算不是封閉的.這很有點(diǎn)抽象代數(shù)的味道.

證明 (1)任取x1，x2∈A，則必存在m1，n1，m2，n2∈Z，使得x1=m1+n1，x2=m2+n2.于是x1+x2=(m1+

n1)+(m2+n2)=(m1+m2)+(n1+n2)，x1x2=(m1+n1)(m2+n2)=(m1m2+2n1n2)+(m1n2+m2n1).

因?yàn)閙1，n1，m2，n2∈Z，所以m1+m2，n1+n2， m1m2+2n1n2，m1n2+m2n1∈Z，

∴x1+x2，x1x2∈A，故集合A對加法和乘法是封閉的.

(2) 同(1)可證集合A對減法是封閉的，但對除法不是封閉的.如:令x1=1+，x2=2，則x1，x2∈A.而==+因?yàn)閆，所以A，則集合A對除法不是封閉的.

責(zé)任編校 徐國堅(jiān)