感悟二元一次方程組應用題中的數(shù)學思想

對數(shù)學思想方法的領悟與運用滲透在整個初中階段的數(shù)學學習過程中，是克服題海戰(zhàn)術，取得優(yōu)異成績的有效策略。在列二元一次方程組解應用題中，若能靈活運用數(shù)學思想方法來求解，將能起到事半功倍的效果。本文結合例題加以分析，希望對教學有所幫助。

一、整體思想

當一個問題中未知數(shù)較多，一個一個地求解比較復雜，或有時不能求解時，可將其中滿足某一共同特性的固定代數(shù)式看作一個整體，這樣有時可使運算簡捷。

例1:甲騎自行車從A到B地，乙騎自行車從B地到A地，兩人均勻速前進，已知兩人在上午8時同時出發(fā)，到上午10時，兩人還相距36千米，到中午12時，兩人又相距36千米，求A、B兩地間的距離。

分析:題目中甲、乙的速度，A、B兩地的距離均不知道，可分別設x、y、z。相等關系有兩個:上午10時相距36千米(未相遇)，中午12時，又相距36千米(已相遇，后又相離)。

解:設甲騎自行車的速度為x千米/時，乙騎自行車的速度為y千米/時，A、B兩地相距z千米，根據(jù)題意，得:

2(x+y)+36=z①4(x+y)-36=②

將(x+y)看作一個整體，②-①，得2(x+y)-72=0。

所以x+y=36。

將x+y=36代入①，得z=108。

答:A、B兩地相距108千米。

二、數(shù)形結合思想

數(shù)形結合思想是把圖形與蘊涵的數(shù)量關系巧妙的結合起來，使問題更直觀，更容易解決。

例2:中央電視臺2套“開心辭典”欄目中，有一期的題目如圖1所示，2個天平都平衡，則與2個球體的質(zhì)量相當?shù)恼襟w個數(shù)為

分析:本題有三個未知量—球體、圓柱體、正方體的質(zhì)量，觀察圖形可得到兩個等量關系:2個球體的質(zhì)量=5個圓柱體的質(zhì)量;2個正方體的質(zhì)量等于2個圓柱體的質(zhì)量。

解:設一個球體、圓柱體與正方體的質(zhì)量分別為x、y、z，根據(jù)題意，得:

2x=5y①2z=②

①×2-②×5，得2x=5z。

所以與2個球體相等質(zhì)量的正方體的個數(shù)為5，故選A。

三、方程思想

將數(shù)量關系轉化為方程(組)的形式，通過解方程(組)使問題得以解決的思維方式就是方程思想，用方程的思想解決往往比用其它方法簡捷、方便得多。

例3:《一千零一夜》中有這樣的一段文字:有一群鴿子，其中部分在樹上歡歌，另一部分在地上覓食，樹上的一只鴿子對地上覓食的鴿子說:“若從你們中飛上來一只，則樹下的鴿子就是整個鴿群的;若從樹上飛下去一只，則樹上、樹下的鴿子就一樣多了。”你知道樹上、樹下各有多少只鴿子嗎?

分析:此題有兩個未知量——樹上的鴿子數(shù)與樹下的鴿子數(shù)。

問題中有兩上等量關系:

(1)樹下的鴿子數(shù)-1=×(樹上的鴿子數(shù)+樹下的鴿子數(shù));

(2)樹上的鴿子數(shù)-1=樹下的鴿子數(shù)+1。

解:設樹上的鴿子為x只，樹下的鴿子為y只，根據(jù)題意得:

y-1(x+y)x-1=y+1，解得x=7x=5。

答:樹上有7只鴿子，樹下有5只鴿子。

四、分類思想

分類討論思想就是把二元一次方程組在應用題中包含各種可能情況，按某一標準分成若干類，然后對每一類分別進行解決，從而達到解決整個問題的目的。

例4:“七星”體育彩票經(jīng)銷商計劃用45000元從省體彩中心購進彩票20扎，每扎1000張。已知體彩中心有A，B，C三種不同價格的彩票，進價分別為A種彩票每張1.5元，B種彩票每張2元，C種彩票每2.5元。若經(jīng)銷商同時購進兩種不同型號的彩票20扎，用去45000元，請你設計購票方案。

分析:本題從A、B、C三種彩票中選出兩種彩票購買，故有3種情況可能發(fā)生，即購進A與B彩票、A與C彩票或B與C彩票。

解:設購進A種彩票x張，B種彩票y張，則:

x+y=1000×201.5x+2y=45000，解得因x=-10000y=30000，因x<0，所以方程組無解。

設購進A種彩票x張，C種彩票z張，則:

x+z=1000×201.5x+2z=45000，解得因x=5000z=15000。

設購進B種彩票y張，C種彩票z張，則:

y+z=1000×202y+2.5z=45000，解得因y=10000z=10000。

綜上，當經(jīng)銷商同時購進兩種不同型號的彩票時，共有兩種方案可行，即A種彩票5扎，C種彩票15扎，或B種彩票與C種彩票各10扎。