搭建小學生數學概念形成中的“支撐點”

所謂數學概念的形成，是指學生依據直接經驗，從大量的具體例子出發，通過觀察、操作等活動形成表象，并對表象進行分析、歸納、抽象、概括，抽取出一類數量關系或空間形式的共同屬性，從而獲得初級概念，并把概念的本質屬性推廣應用到同類事物中的過程，這個過程可以概括為“事例→表象→概念→應用”。因為小學生以形象思維為主，所以學具操作在抽象數學概念的形成中起著很重要的支撐作用。根據數學概念形成的階段性特點，數學教師要引領學生通過動手操作為概念的形成搭好以下幾個“支撐點”。

一、 概念的“感知”階段——在操作中“建立表象”

這一環節處在“事例→表象”階段，主要是運用直觀性的學習活動，讓學生對數學概念有一些初步的感性認識。教師可以根據學習內容的特點，充分喚醒學生的已有經驗，有目的地給學生提供適當的學具，并編擬相應的“操作提綱”，讓學生圍繞提綱進行有序的觀察與操作，感知具體事例，獲得感性認識，建立反映事物本質屬性的表象，為下一步深刻理解數學概念奠定基礎。具體可從以下兩方面入手。

1.在觀察中“豐富表象”

在學習新概念前，有目的地組織學生運用概念對應的學具進行觀察，并提出思考性問題，讓學生借助知覺，豐富感知性表象。例如，學習“體積”的概念時，教師給學生提供兩只同樣的玻璃杯(盛有一定量的水)，讓學生將兩個大小不同的石塊分別放入這兩只杯中，引導學生一邊操作一邊觀察:你發現了什么?并且思考:為什么放入的石塊較大，水面就升得高?從而讓學生獲得石塊占有空間的感性認識。

2.在動手中“形成表象”

小學生的表象形成經常是從動作開始的，通過親自動手操作，借助動作思維可以獲得鮮明的感知。因此，學生在學習數學概念時，要引導他們運用學具進行實際操作，促進概念表象的形成。例如，學習“長方形的周長”的概念時，教師給學生提供許多小棒，讓他們用小棒擺出各種各樣的長方形，用手摸一摸這些長方形的周長，并說說這些長方形的周長有什么共同的地方。學生在擺、摸、說的過程中逐步形成了長方形周長的表象:即長方形的周長就是圍成它的4根小棒長度的和，從而為下一步探索長方形周長的計算方法奠定了良好的表象基礎。

二、 概念的“理解”階段——在操作中“感悟內涵”

這一環節處在“表象→概念”階段，主要是在學生通過感知活動獲得感性知識進而形成表象的基礎上，教師不失時機地引導學生將形成的表象進行提煉、概括，通過分析比較它們的屬性，抽象出共同的本質特征。該階段的重心是理解概念的“本質內涵”，由于小學生的抽象分析能力還不強，所以他們往往需要通過學具的操作來幫助理解概念的內涵。當然，此階段的動手操作和第一階段有所不同，它帶有更多的“理性操作”成份，主要是為學生抽象數學概念的形成提供一個“直觀模型”，使他們能夠更容易、更深刻地理解概念。具體做法如下。

1.在操作中“體驗含義”

如學習“余數”的概念，讓學生進行“把7顆豆子分到3個盤子里”的操作。通過操作，學生找到了余數的“直觀模型”，明白了那個剩下來不夠再分的豆子數就是“余數”，并且體驗到了“余數一定要比除數小”，否則每個盤子里至少還可以再分到一顆豆子，往盤子里放豆子的過程就是“試商”。接著，在學生用實物操作的基礎上，讓學生脫離實物在頭腦里分豆子，運用表象操作來體驗“余數”的含義，最后通過符號操作得出:

7÷3=2……1。

2.在操作中“發現特征”

如學習“長方體的特征”，在學生明白了什么是“面、棱、頂點”后，給學生提供一組小棒(有接頭)和長方形紙片等學具，讓他們以4人小組為單位，從提供的材料中選擇所需部分，通過“試驗”、“篩選”等操作活動，組裝成一個長方體(有多種組裝法)，學生在討論、組裝的過程中逐漸發現了長方體“面”的特征(面的形狀、大小、數量)，“棱”的特征(數量、長短)和“頂點”的特征(數量)。

3.在操作中“概括本質”

如學習“三角形的三邊關系”，教師給學生提供3厘米、4厘米、2厘米、8厘米長的小棒若干根，讓學生從中選擇3根小棒拼成一個三角形。學生搭出了許多三角形，教師讓學生比較一下這些三角形中任意兩條邊的和與第三條邊的長短關系。然后又讓學生選擇含有8厘米長小棒的3根小棒來搭一搭三角形，學生通過動手操作發現，此時無論配上哪兩根小棒都搭不成三角形。通過這樣正反具體事例的操作后，教師引領學生及時概括出“三角形中任意兩邊之和大于第三邊”這一本質屬性。

三、 概念的“應用”階段——在操作中“拓展升華”

這一環節屬于“概念→應用”階段，當學生理解了數學概念的本質內涵獲得概念模型后，接下去又要從抽象回到具體中去，對概念進行應用拓展，在應用中一方面借助正、反事例來檢驗概念的外延，另一方面將概念推廣到同類事物中去，進行聯系溝通，形成概念系統。為了能更好地將理性概念運用到具體中去，還要充分發揮動手操作的支撐作用，具體表現在以下兩方面。

1.在應用性操作中檢驗“概念外延”

例如，學習“平行四邊形的面積”，當學生通過剪拼推導某一個三角形紙片，已經獲得了“底×高=平行四邊形的面積”這一認識后，教師抓住“底×高”的本質內涵，讓學生在應用中去檢驗是不是任意平行四邊形的面積都等于“底×高”。教師讓學生在釘子板上進行操作，學生用橡皮筋圍出了各種形狀的平行四邊形，然后計算出“底×高”，并在釘子板上數出平行四邊形的面積，兩者進行對比后發現，只要是平行四邊形，不管是什么形狀，都可以用“底×高”來計算它的面積。并且在操作中還發現:“等底等高”或者“底和高相乘的積相等”的平行四邊形的面積肯定相等，但形狀可以多種多樣。通過這樣的操作，學生對平行四邊形面積的內涵和外延理解得更加深刻了。

2.在拓展性操作中形成“概念系統”

當學生學會了某一數學概念后，在練習或復習階段，教師要引導學生通過貫通概念間的聯系，使孤立的概念整體化、系統化。例如，學習了“梯形”的概念后，教師給學生提供一組小棒練習，讓學生用這些小棒先搭出一個梯形，然后更換梯形中的某幾根小棒，使上底和下底一樣長，從而轉化成一個平行四邊形，接著調整平行四邊形中小棒的角度，使它轉化成一個長方形，然后調整長方形中代表長和寬的小棒的長度，使它成為一個正方形。在整個操作過程中，學生逐漸形成了“四邊形”的概念系統:一個四邊形，當只有一組對邊平行時，它是梯形;當兩組對邊分別平行時，它是平行四邊形;當四個角都是直角時，它是長方形;當四個角都是直角且四邊條都相等時，它是正方形。而且發現了“四邊形”家族成員之間既有相同點，也有不同點，它們互相聯系并且在一定條件下可以相互轉化。

教學實踐證明:在數學概念的學習中充分發揮動手操作的支撐作用，能使小學生降低獲得抽象概念的難度，對概念的發生與形成過程會有一個清晰的認識，對概念的理解更加深刻到位，并使整個學習過程顯得生動活潑、新穎有趣，進而大大提高了數學概念學習的效率。

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