高維Copula-Monte Carlo模型在投資組合中的應(yīng)用研究

摘 要:將Monte Carlo理論與Copula函數(shù)結(jié)合，建立了高維投資組合分析的Copula-Monte Carlo模型。針對我國股票市場的組合投資問題進行了實證分析，并以最優(yōu)期望效用函數(shù)作為目標(biāo)求出了最優(yōu)投資組合。

關(guān)鍵詞:Copula函數(shù);Monte Carlo模擬;效用函數(shù)

中圖分類號:F830 文獻標(biāo)識碼:A 文章編號:1672-3198(2010)06-0184-02

經(jīng)濟全球化和金融市場的多樣及復(fù)雜化加劇了金融市場的波動性和風(fēng)險性。Markowitz于1952年首次提出的投資組合理論就成為世界各國經(jīng)濟學(xué)家傾力關(guān)注的熱點。現(xiàn)階段的研究大都集中于兩種資產(chǎn)的相關(guān)結(jié)構(gòu)，對于多資產(chǎn)組合的風(fēng)險分析由于復(fù)雜性而致使研究相對匱乏，主要難點在于如何選擇一定的工具來刻畫多個金融資產(chǎn)間的相依結(jié)構(gòu)。運用新的數(shù)學(xué)方法研究多個金融資產(chǎn)投資組合風(fēng)險分析具有十分重要的現(xiàn)實意義。本文采用非參數(shù)核估計刻畫單個金融資產(chǎn)的分布和copula函數(shù)描述多個金融資產(chǎn)間的相依結(jié)構(gòu)。運用Monte Carlo模擬方法計算金融變量資產(chǎn)的Var，并結(jié)合效用函數(shù)去確定投資組合的比例系數(shù)，從而獲得最優(yōu)的資金分配方案。

1 Copula研究現(xiàn)狀

Copula理論研究源于Sklar，而Nelsen比較系統(tǒng)地介紹了Copula的定義、構(gòu)建方法、Archimedean Copula及變量間的相依關(guān)系。Copula理論對分析變量間相關(guān)性具有特殊優(yōu)勢，目前已被廣泛應(yīng)用于金融領(lǐng)域，如金融市場上的風(fēng)險管理、投資組合的選擇、資產(chǎn)定價等方面，已經(jīng)成為解決金融問題的一個強有力工具。

但國內(nèi)外關(guān)于二維Copula的研究已較成熟，多變量的相關(guān)結(jié)構(gòu)分析主要利用了正態(tài)Copula和t-Copula，而這兩種函數(shù)大多描述的是變量間的線性相關(guān)結(jié)構(gòu)，與實際金融數(shù)據(jù)的尖峰厚尾性相距甚遠，因此，本文選擇Archimedean Copula來刻畫多個資產(chǎn)的相關(guān)結(jié)構(gòu)，結(jié)合Monte Carlo技術(shù)進行投資組合風(fēng)險分析。

2 產(chǎn)生多維隨機序列的Monte Carlo算法

蒙特卡洛(Monte Carlo)法，即隨機模擬方法，運用隨機過程來模擬真實系統(tǒng)的發(fā)展規(guī)律。這里采用Monte Carlo模擬技術(shù)其目的是獲得具有Copula函數(shù)結(jié)構(gòu)的多維隨機序列。由Copula的定義可知，Copula函數(shù)可看作是具有邊緣分布的多維隨機變量的聯(lián)合分布函數(shù)。不妨設(shè)Copula函數(shù)C(u1，u2，…，un;θ)是n維連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)，c(x1，…，xn)為對應(yīng)的密度函數(shù)，則

C(u1，u2，u3，…，un)=∫u0-∞∫u0-1-∞…∫un-∞c(x1，x2，…，xn)dx1dx2，…，dxn，ui∈[0，1]，i=1，2，…，n。

設(shè)某隨機向量取值于n維實數(shù)空間[0，1]n內(nèi)一點H，選取包含點H的任意小鄰域ΔRn，則隨機向量在該鄰域內(nèi)的概率值不為零，即P(#8226;)=cH(u1，u2，…，un;θ)ΔRn>0，其中cH(u1，u2，…，un;θ)為選定的Copula密度函數(shù)。問題關(guān)鍵是選擇 維空間[0，1]n內(nèi)的H點，使得cH(u1，u2，…，un;θ)>0。

模擬算法:(1)令G=n-1Cu1u2…un-1，或G=∫un0c(u1，u2，…，un-1，xn)dxn，它是關(guān)于u1，u2，…，un-1，un的函數(shù);(2)在[0，1]區(qū)間內(nèi)隨機產(chǎn)生n-1個數(shù)u1，u2.…，un-1，將它代入函數(shù)G中，則該函數(shù)則是關(guān)于un的一元函數(shù)。(3)由c(u1，u2，…，un-1，xn)的非負(fù)性可知，則G是關(guān)于un單調(diào)遞增的，在G(un)的值域[0，G(1)]內(nèi)隨機取一點y，若能反解出un=G-1(y)， 則(u1，u2，u3，…，un)為滿足某選定Copula函數(shù)的一點。如此循環(huán)計算，可以產(chǎn)生一組由某個Copula函數(shù)決定的隨機序列{(u1j，u2j，u3j，…，unj)，j=1，2，…}。

3 基于Copula-Monte Carlo的多個資產(chǎn)組合風(fēng)險模型

在多個資產(chǎn)的投資組合風(fēng)險分析中，需要模擬單個資產(chǎn)的邊緣分布，描述各資產(chǎn)間的相依結(jié)構(gòu)。針對金融數(shù)據(jù)的尖峰厚尾性，本文采用擬合度較高的非對稱Laplace核密度估計來擬合單個資產(chǎn)收益率的邊緣分布函數(shù) 。運用Archimean Copula函數(shù)描述資產(chǎn)間的相依結(jié)構(gòu)。

3.1 Copula的選擇及參數(shù)估計

Archimean Copula在建模中具有很好的性質(zhì):即高維的非對稱性和厚尾性。在此初步選擇如下三種Archimean Copula函數(shù):

Frank Cθ(u1，u2，…，un)=-1θln1+∏ni=1(e-θuki-1)(e-θ-1)n-1，θ>0 (1)

Clayton Cθ(u1，u2，…，un)=(∑ni=1u-θi-n+1)-1θθ>0(2)

Gunbel Cθ(u1，u2，…，un)=exp-∑ni=1(-lnui)θ1θθ≥1(3)

利用各資產(chǎn)的歷史數(shù)據(jù)需要選擇最佳的Copula函數(shù)和估計參數(shù) 。首先采用非對稱Laplace核密度估計擬合單資產(chǎn)的分布(邊緣)，從而獲得一組邊緣分布函數(shù)值:(u1i，u2i，u3i，…，uni)，i=1，2，…，T，建立似然函數(shù):

lk(θ)=∏Ti=1ck(u1i，u2i，…，uni;θ)，k=1，2，3(4)

其中c(u1i，u2i，…，uni;θ)表示Copula的密度函數(shù)，T為選定的樣本個數(shù)， 分別對應(yīng)Copula函數(shù)(1)，(2)，(3)。建立獲得最佳Copula函數(shù)C的準(zhǔn)則:

C=maxklk(θ)

采用優(yōu)化算法，數(shù)值計算maxklk(θ)。確定最佳的Copula函數(shù)，相應(yīng)的就作為θ的估計量。當(dāng)選定Copula函數(shù)后，通過第2節(jié)的Monte Carlo模擬算法生成隨機收益率序列，由此計算VaR的值。

3.2 基于效用原理的最優(yōu)投資組合

效用函數(shù)建立在消費者在消費中所獲得的效用與所消費的商品組合之間的數(shù)量關(guān)系之上，可用來衡量消費者從消費既定的商品組合中所獲得滿足的程度。而在金融風(fēng)險市場中，投資者根據(jù)自身對風(fēng)險的偏好程度來決定分配到各資產(chǎn)的比例大小，本文通過綜合考慮投資者對收益與風(fēng)險的偏好，建立了二次型的效用函數(shù)，進而找出多資產(chǎn)的最優(yōu)投資組合。

假設(shè)投資者的初始資產(chǎn)為W0，投資n種資產(chǎn)收益率為(r1，r2，…，rn)，期末資產(chǎn)為W1=W0∑ni=1ci(1+ri)。則最優(yōu)投資權(quán)重ci應(yīng)該滿足maxci∈[0，1]E(U(W0(∑ni=1ci(1+ri))))，選取效用函數(shù)U(W)=W-12yW2，y>0，其中r為風(fēng)險指數(shù)，取樣本均值為期望函數(shù)，則目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為:

max1T∑Tt=1(W0(1+∑ni=1cirti)-rW202(1+

2∑ni=1cirti+∑ni=1∑ni=1cicjrtirtj)

ci∈[0，1]

∑ni=1ci=1 i=1，2，…，n(5)

其中rti為t日資產(chǎn)i的收益率，求解此二次規(guī)劃問題可得到最優(yōu)投資比例ci，i=1，2，…，n。

3.3 算法描述

Step 1 隨機選取同時間段內(nèi)n只股票，日收益率定義為:

rit=(Pit-Pi(t-1))/Pi(t-1)，t=1，2，…，T，i=1，2，…，n，pt為t日收盤價，;

Step 2 將歷史收益率(r1t，r2t，r3t，…，rnt)，t=1，2，…，T分別代入擬合的邊際分布函數(shù) 中，得到序列(u1t，u2t，u3t，…，unt)，t=1，2，…，T;

Step 3將第2步的計算結(jié)果分別代入式(1)，(2)，(3)中，數(shù)值計算:

maxklk(θ)=∏Ti=1ck(u1i，u2i，…，uni;θ)，k=1，2，3確定最優(yōu)的Copula函數(shù)C。

Step 4產(chǎn)生n-1個偽隨機數(shù)vi~U(0，1)，i=1，2，…，n-1;

Step 5 利用第2節(jié)所述，在函數(shù)G值域[0，G(1)]內(nèi)，任取一點y，若能解出vn=G-1(y)，則向量v=(v1，v2，…，vn)滿足相應(yīng)Copula分布。否則返回Step 4;

Step 6 求解ri=F-1i(vi)，i=1，2，…，n，即可得到股票樣本在將來某時刻的收益率r1，r2，…，rn。

Step 7 多次重復(fù)步驟4、5、6，產(chǎn)生一序列(r1k，r2k，…，rnk)，k=1，2，…，5000，它是服從聯(lián)合分布為選定Copula函數(shù)的n維隨機序列。由此，根據(jù)期望效用原理及公式(5)便可得到最優(yōu)投資權(quán)重及對應(yīng)的VaR值。即最佳線性組合關(guān)系式:

zk=c1r1k+c2r2k+…+cnrnk

其中ci為 (待定的)組合權(quán)重系數(shù)，i=1，2，…，n，ci∈[0，1]，∑ni=1ci=1，

4 實證分析

本文選取了3只股票，上海醫(yī)藥(代碼600849)，中國石化(代碼600028)和東方電氣(代碼600875)作為研究對象，時間段為2007年1月4日至2007年12月28日，數(shù)據(jù)來自國泰君安網(wǎng)。為了準(zhǔn)確刻畫這三只股票間的相關(guān)性，對于交易日t時刻，經(jīng)過預(yù)處理后，得到246組收益率r1t，r2t，r3t，(t=1，2，…，246)。首先通過樣本數(shù)據(jù)估計各種分布函數(shù)的相關(guān)參數(shù)和確定三只股指的邊緣分布;然后通過樣本和極大似然法確定較好的copula函數(shù)和對應(yīng)的參數(shù)θ，通過Monte Carlo模擬，預(yù)測出收益率數(shù)據(jù)，再根據(jù)期望效用原理得到最優(yōu)投資組合系數(shù)c*i，i=1，2，3。以上計算使用spss和matlab軟件編程實現(xiàn)。

4.1 樣本分布及參數(shù)估計

樣本數(shù)據(jù)的描述統(tǒng)計見表1。

表1 描述性統(tǒng)計

最小值最大值均值標(biāo)準(zhǔn)差skewnesskurtosisJ-B值P值中國石化-0.36160.10070.00400.0436-2.5222.892124.050.103上海醫(yī)藥-0.28260.28610.00410.0464-0.2514.021535.120.172東方電氣-0.10010.31380.00650.04061.5115.761722.310.049從表1中可以看出收益率序列具有明顯的尖峰厚尾特性，且Jarque-Bera統(tǒng)計量檢驗和對應(yīng)p值均表明拒絕正態(tài)分布的假設(shè)。對此，我們對數(shù)據(jù)進行非參數(shù)核密度擬合邊緣分布，記為 ，圖1是對中石化的數(shù)據(jù)使用正態(tài)分布和核密度估計模擬的收益率序列的p-p圖，可以直觀地看出，核密度估計的擬合效果要優(yōu)于正態(tài)分布，核估計能比正態(tài)分布更好地捕捉金融時間序列的尖峰厚尾特性。

圖1 中國石化核分布估計(左)和正態(tài)分布p-p圖(右)

4.2 Copula參數(shù)估計及VaR分析

用分步法估計Copula函數(shù)，首先利用已有的歷史收益率對邊緣分布建模，得到新的擬觀測值序列(u1t，u2t，u3t)，t=1，2，…，246，進而代入式(4)中，計算相應(yīng)的似然函數(shù)值，由表2可知Clayton Copula擬合這組數(shù)據(jù)效果最好，同時大量實證表明證券市場符合Clayton函數(shù)所具有的下尾相關(guān)性，因此我們采用Clayton Copula作為刻畫收益率間相關(guān)結(jié)構(gòu)的Copula函數(shù)，其中參數(shù)=1.4125，即最優(yōu)的Copula函數(shù)為:

C2(u1，u2，u3;θ)=(u-1.41251+u-1.41252+u-1.41253-2)-0.7079

表2 不同Copula極大似然函數(shù)值

FrankClaytonGumbel最大似然值0.81321.05470.9081θ0.41731.41251.5016選定Copula函數(shù)后，根據(jù)3.3節(jié)中算法描述的步驟4、5、6生成收益率列向量r1k，r2k，r3k，k=1，2，…，5000，它近似服從聯(lián)合分布為Clayton Copula的隨機樣本，由這5000個樣本，根據(jù)期望效用原理及公式(5)，找出不同r和W0條件下的最優(yōu)權(quán)重系數(shù)ci，i=1，2，3從而確定最優(yōu)投資組合及VaR0.05，計算結(jié)果如表3所示。

表3 最優(yōu)投資組合權(quán)重及VaR值

W0r東方電氣(c1)上海醫(yī)藥(c2)VaR0.051.001.500.680.230.085243.502.00.770.160.082137.002.500.830.120.08361注: c3=1-c1-c2。

5 結(jié)論

(1)本文采用非參數(shù)核密度估計，較好地擬合了資產(chǎn)的邊緣分布，并給出了結(jié)合連接函數(shù)Copula和Monte Carlo來模擬多個資產(chǎn)聯(lián)合分布的方法，以此度量多個資產(chǎn)的風(fēng)險，對金融市場中投資者提供了有效的參考工具。

(2)本文選擇了二次型效用函數(shù)，還可以選用其他效應(yīng)函數(shù)來表示投資者對于風(fēng)險的喜好程度。此外，利用Copula函數(shù)進行二維資產(chǎn)分布研究已經(jīng)趨于成熟，但對高維的情形研究不夠成熟。依照本文中的方法，通過選擇合適的Copula，可以進行高維的資產(chǎn)組合分析。同時，Copula函數(shù)本身所具有的許多優(yōu)良統(tǒng)計特性，使其在金融領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用前景，也必然會成為金融計量和金融分析的強大工具。

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