巧用數學知識求解物理問題

2010-01-01 00:00:00魏淑紅

現代商貿工業 2010年6期

摘要:學習物理不僅對物理概念，物理規律了如指掌，還必須有相應的數學知識做基礎。通過幾例利用數學知識解決物理問題，使解題明快，事半功倍。

關鍵詞:數學知識;求解;物理問題

中圖分類號:O4文獻標識碼:A 文章編號:1672-3198(2010)06-0233-01

一些學生對物理概念、規律的理解較好，但在解題中由于數學運算的關系而不能得到正確的物理結論。有的學生在運算時會反復出現“低級”的運算錯誤，有的在數學中運用得非常熟練的方法卻在物理解題中運用不出來，這些都影響了學生物理成績的提高。數學中，學生熟悉了abcd、xyz，他們的解題方法能用得很好，字母變成了v、a、t、F、U、I、E等，他們掌握的數學知識有時很難遷移過來。為此，應該在學習中注意數學公式與物理公式的比較。如閉合電路歐姆定律中U=E-Ir的圖像把它寫成U=-rI+E并和y=-kx+b作比較，就很容易看懂圖形中的截距和斜率中所包含的物理意義。本文舉幾例說明利用數學知識解決物理問題，可以使解決過程簡單明了，做到如虎添翼，事半功倍。

1 巧用數列，解決物理問題

例1.一個小球從h高處自由下落，碰到地面后又豎直彈起。由于小球與地面碰撞后有能量損失，它回跳時的初速度等于前一次落下來速度的3/4，求小球從釋放到停止彈跳所通過的總路程。

解:設小球從h高處第一次著地速度為發v0，由運動學公式得v02=2gh

得h=v022g

第1、第2……第n次回跳的初速度依次為v1、v2、v3……vn，對應回跳的高度為h1、h2……hn。小球從地面彈起后作豎直上拋運動，得

h1=v122g=34v022g=342h

h2=v222g=34v122g=344h……;

依次類推，第n次上升高度hn=342nh。由此可見，小球從第一次回跳至停止彈跳，通過的路程是首項342h，公比為342的無窮遞縮等比數列各項和的2倍，即s1=2(h1+h2+…+hn)=2×342×h1-342=187h，所以，小球從釋放到停止彈跳所通過的總路程為s總=h+s1=257h。

點評:很難想像，本題如果不用數列知識，那么這道題做起來非常麻煩，可見，數學知識在物理問題中是缺一不可的。

2 巧用幾何關系，求解物理問題

例2.如圖1所示，一勻強磁場，在磁場方向垂直于xy平面，在xy平面上，磁場分布于以O為圓心的一個圓形區域內。一個質量為m，電荷量為q的帶電粒子，由原點O開始運動，初速度為v，沿x正方向。后來，粒子經過y軸上的P點，此時，速度方向與y軸的夾角為30°，P到O的距離為L，如圖所示，不計重力的影響，求磁場的磁感應強度B的大小和xy平面上磁場區域的半徑R。

圖1圖2

解:粒子在磁場中受洛倫茲力作用，做勻速圓周運動。設其半徑為r，則qvb=mv2r，結合題意可知，粒子在磁場中的軌跡圓心C必在y軸上，且P點在磁場區外，過P點沿速度方向作延長線，它與x軸相交于Q點，作圓弧過O點與軸相切，并且與PQ相切，切點A即粒子離開磁場區的地點，這樣也求得圓弧軌跡的圓心，如圖2所示。

由圖中幾何關系得:L=3r

由以上兩式可求得:B=3mvqL

圖中OA的長度即圓形磁場區的半徑R。由圖中幾何關系可得:R=33L

點評:數學知識有時會成為物理解題成功與否的關鍵，諸如三角、幾何、解析幾何等數學知識都可以成為解題的有效工具。所以，物理解題過程中擁有強烈的數學意識將有助于活躍思維、開闊思路、提高解題的成功率。

3 巧用合比定律，求解物理問題

例3.以初速v0豎直上拋一小球，若不計空氣阻力，在上升過程中，從拋出到小球動能減少一半所經過的時間是()

A.v0g B.v02g C.2v02g D.v0g(1-22)

解:小球動能減一半時，上升高度為最大高度的一半，根據初速度為零的勻加速直線運動，通過相同位移的時間關系為tN=t1(N-N-1)，由運動的可逆性，

有t1t2=2-11

由合比定律得:t1t2+t2=2-12-1+1=(1-22)

所以:t1=v0g(1-22)應選答案D

點評:本題既用到物理解題中的逆向思維，也巧用了數學知識，相得益彰。

4 巧用函數圖像，求解物理問題

例4.如圖3所示，AB容器由水平細管相連，管中有一小段水銀柱隔開兩容器中的氣體，已知A內氣體的溫度為TA，B內氣體的溫度為TB，且TA>TB時，水銀柱不動。當使A，B內的氣體的溫度都上升△T時，假設水銀柱不動，則在同一個坐標軸上作出A，B兩部分氣體的等容線如圖4所示，其中P0代表A，B內氣溫分別為TA，TB時的壓強。當A，B的氣溫均上升△T時，由圖顯而易見，△PB>△PA即溫度變化后PB>PA，說明水銀柱不可能不移動，且向A容器一方移動。

圖3圖4點評:本題考查的是熱學中的動態分析問題，題目中A，B兩部分的三個狀態參量均發生變化，可以利用公式法進行求解。但是，利用數學中的圖像法解決這類型的問題比較直觀、形象、簡捷，避免了公式法的繁瑣性。

5 巧用韋達定理，求解物理問題

例5.豎直上拋物體，分別在t1秒末和t2秒末兩次通過空中某一點，試求該點離地面的高度和拋出時的初速度。

解:∵豎直上拋運動物體滿足方程:

h=v0t-12gt2

將該式改成t的一元二次方程式:

t2=2v0gt+2hg=0

顯然通過h高度時的t1與t2是這方程的兩個解。

由韋達定理得:t1+t2=2v0g，t1t2=2hg

得，v0=g(t1+t2)2，h=12gt1t2

點評:這道題還可以用一般解法來解，但是解題過程太繁雜，沒有用韋達定律簡捷，明快。

常言道:數理不分家，數學工具運用的好與壞，對解題影響很大。運用得好，解題明快，否則就繁雜易錯。