分?jǐn)?shù)認(rèn)知的“整數(shù)偏向”研究:理論與方法

摘要：整數(shù)偏向普遍存在于分?jǐn)?shù)認(rèn)知中，它指兒童在應(yīng)用分?jǐn)?shù)知識(shí)時(shí)，常使用先前形成的有關(guān)整數(shù)的獨(dú)立單元計(jì)數(shù)圖式來解釋分?jǐn)?shù)的傾向。學(xué)者們提出了先天約束假設(shè)、未分化量假設(shè)和學(xué)習(xí)的負(fù)遷移假設(shè)分別從先天和后天角度對(duì)其成因做了解釋。以往研究常采用紙筆測(cè)驗(yàn)或口語報(bào)告揭示它的存在，近年來有研究采用了心理數(shù)字線假設(shè)的相關(guān)效應(yīng)考查了成人的整數(shù)偏向，使其研究方法和被試得以擴(kuò)展。在該領(lǐng)域，今后應(yīng)在定義、理論解釋、研究方法以及教學(xué)干預(yù)方面加強(qiáng)研究。

關(guān)鍵詞：整數(shù)偏向；分?jǐn)?shù)認(rèn)知；心理數(shù)字線

分類號(hào)：G44；B844

分?jǐn)?shù)知識(shí)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)重要方面，是小學(xué)數(shù)學(xué)課程的重要內(nèi)容之一。理解分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)是小學(xué)生數(shù)概念發(fā)展的重要里程碑(倪玉菁，1999)，它對(duì)兒童更好地理解數(shù)的連續(xù)性與可分割性起著非常重要的作用。但分?jǐn)?shù)概念的學(xué)習(xí)和掌握也是小學(xué)階段最難的學(xué)習(xí)任務(wù)之一。它被認(rèn)為是小學(xué)階段中最抽象、最復(fù)雜也是最容易出現(xiàn)問題的概念fBulgar，2003；Saxe。Taylor，McIntosh，＆Gearhart，2005)，甚至到了成人階段，也不能很好地理解分?jǐn)?shù)(Gelman，2006)。正確、靈活地掌握分?jǐn)?shù)概念和應(yīng)用相關(guān)知識(shí)，不僅有助于兒童對(duì)實(shí)數(shù)概念的理解，也能夠在實(shí)際生活中發(fā)揮其特有的作用。兒童如何表征分?jǐn)?shù)概念?在表征分?jǐn)?shù)時(shí)會(huì)面對(duì)哪些困難?如何能夠讓兒童正確表征分?jǐn)?shù)?研究者對(duì)這些問題尤為重視，使分?jǐn)?shù)認(rèn)知逐漸成為數(shù)學(xué)認(rèn)知研究中的一個(gè)關(guān)鍵領(lǐng)域。在對(duì)這些問題加以深入探討的過程中，學(xué)者發(fā)現(xiàn)有一個(gè)現(xiàn)象廣泛存在于分?jǐn)?shù)認(rèn)知過程中，即“整數(shù)偏向”現(xiàn)象。

1 整數(shù)偏向的概念、表現(xiàn)和影響

1.1 整數(shù)偏向的概念

整數(shù)偏向(whole number bias)是人們?cè)诒碚鞣謹(jǐn)?shù)時(shí)經(jīng)常出現(xiàn)的一種現(xiàn)象，研究者(Ni＆Zhou，2005)將其定義為，兒童在應(yīng)用分?jǐn)?shù)知識(shí)時(shí)，常常使用先前形成的有關(guān)整數(shù)的獨(dú)立單元計(jì)數(shù)圖式(single-unit counting scheme)來解釋分?jǐn)?shù)的傾向。例如，在分?jǐn)?shù)比較任務(wù)中兒童常常錯(cuò)誤地認(rèn)為分母大的分?jǐn)?shù)比較大，就是整數(shù)偏向的一個(gè)重要表現(xiàn)。這一現(xiàn)象還被一些學(xué)者稱之為整數(shù)思考策略(whole number thinking strategy)，即在表征分?jǐn)?shù)和進(jìn)行分?jǐn)?shù)比較、運(yùn)算時(shí)采用整數(shù)系統(tǒng)的策略(PeaFnStephens，2004)。

1.2 整數(shù)偏向的表現(xiàn)和影響

兒童整數(shù)偏向的表現(xiàn)主要集中在分?jǐn)?shù)比較、排序以及分?jǐn)?shù)運(yùn)算任務(wù)中。

在分?jǐn)?shù)比較任務(wù)中兒童通常只單獨(dú)比較分子、分母或是通過另外的整數(shù)策略進(jìn)行比較。Piaget和Inhelder(1975)發(fā)現(xiàn)在擊中目標(biāo)概率問題上，兒童認(rèn)為相對(duì)于有三個(gè)目標(biāo)，他有更大的可能擊中六個(gè)目標(biāo)中的一個(gè)。因?yàn)椤傲鶄€(gè)更多”(p.135)。Sophian，Garyantes和Chang(1997)研究了5至7歲兒童對(duì)分割的份數(shù)與每份大小的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，結(jié)果同樣表明兒童將分的份數(shù)與每份大小混淆了，即認(rèn)為分割的份數(shù)越多，每份就越大。同樣的情況還發(fā)生在Smith，Solomon和Carev(2005)的研究中。研究考查了四至六年級(jí)兒童在比較1/75與1/56任務(wù)上的表現(xiàn)。研究者假設(shè)，如果兒童將分?jǐn)?shù)表征為兩個(gè)獨(dú)立的整數(shù)，則會(huì)判斷1/75大于1/56。因?yàn)?5大于56；如果他們認(rèn)為分?jǐn)?shù)是兩個(gè)數(shù)之間的除法關(guān)系，則會(huì)正確表征。結(jié)果發(fā)現(xiàn)，有46％的學(xué)生認(rèn)為1/75大。這說明他們?cè)诒碚鞣謹(jǐn)?shù)時(shí)傾向于將其表征為整數(shù)，或是運(yùn)用整數(shù)規(guī)則進(jìn)行判斷。而Pearn和Stephens的研究(2004)更加詳細(xì)地考查了分?jǐn)?shù)比較中的整數(shù)偏向，描述了兒童常運(yùn)用的三種整數(shù)策略思考方法：差值比較法，即通過比較每個(gè)分?jǐn)?shù)的分子和分母的差.確定兩個(gè)分?jǐn)?shù)的比較結(jié)果，例如有學(xué)生認(rèn)為3/5比5/8大，因?yàn)?和5相差2，5和8相差3；與整體比較法，即將每一個(gè)分?jǐn)?shù)與整體相比，以此確定比較結(jié)果，例如2/3比3/5大，因?yàn)榕c單位1相比，2/3還差1份，3/5差2份；大數(shù)更大法，即將兩分?jǐn)?shù)通分成相同分子的分?jǐn)?shù)，比較分母，分母大，分?jǐn)?shù)就大，或是總體比較分子分母，若一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子分母都大于另一個(gè)分?jǐn)?shù)的分子分母，即判斷此分?jǐn)?shù)更大。

分?jǐn)?shù)排序任務(wù)可被看作是擴(kuò)展后的分?jǐn)?shù)比較任務(wù)。在此任務(wù)中，兒童也容易出現(xiàn)整數(shù)偏向，造成混排、誤排。Hartnott和Gelman(1998)考查了學(xué)生用整數(shù)策略來排列分?jǐn)?shù)時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤情況。他們讓兒童對(duì)整數(shù)、真分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)進(jìn)行大小順序的排列，結(jié)果揭示出兒童在排列整數(shù)和分?jǐn)?shù)時(shí)的兩種規(guī)則，規(guī)則一中一部分兒童將整數(shù)與分?jǐn)?shù)分離，將整數(shù)放置在所有分?jǐn)?shù)之前，或放置在所有分?jǐn)?shù)之后；另外一些兒童認(rèn)為0與1之間沒有分?jǐn)?shù)，真分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)、其余整數(shù)都大于1。規(guī)則二反映了兒童采用整數(shù)策略進(jìn)行排列時(shí)出現(xiàn)的幾種類型：第一，邊緣匹配(edge-matching)，指兒童在進(jìn)行匹配任務(wù)時(shí)，傾向于將擁有相同屬性的條目(分?jǐn)?shù)排序任務(wù)中特指擁有相同屬性的數(shù)，如分母相同的分?jǐn)?shù))放在一起，當(dāng)某一屬性排完后，再將焦點(diǎn)轉(zhuǎn)為最后條目的另外一種屬性，匹配新條目。在分?jǐn)?shù)排序任務(wù)中，兒童易犯的“邊緣匹配”錯(cuò)誤是將分母相同的排列在一起，將擁有相同整數(shù)部分的帶分?jǐn)?shù)排列在一起。第二，近似數(shù)串(similarity clustering)，即排列視覺上差不多的數(shù)。第三，整數(shù)排列，整數(shù)按從小到大排列，分?jǐn)?shù)按照分母的基數(shù)值從小到大排列，帶分?jǐn)?shù)按照整數(shù)部分從小到大排列。類似結(jié)果在Peam和Stephens(2004)的研究中也有體現(xiàn)。當(dāng)要求兒童在數(shù)字線上對(duì)1/2、1/3、1/4、1/5進(jìn)行排序時(shí)，兒童根據(jù)分母從小到大的順序進(jìn)行排列。

在分?jǐn)?shù)運(yùn)算任務(wù)中，整數(shù)偏向主要體現(xiàn)在分?jǐn)?shù)加減法中。這也許是因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)乘法使用分子分母分別相乘的策略即可解決，除法也可采用顛倒相乘的方式，而遇到加減法運(yùn)算時(shí)就不能將分子分母看成獨(dú)立的數(shù)字。以往研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)兒童遇到分母不同的分?jǐn)?shù)加法時(shí)，常見的錯(cuò)誤解題方式是將分子分母分別相加，如2/3＋3/4=5/7(Amato，2005)，當(dāng)遇到分母相同的分?jǐn)?shù)時(shí)，也會(huì)出現(xiàn)類似的情況，如1/8＋1/8=2/16，5/8＋7/8=12/16等(Amato，2005；Mack，1995)。

以上研究表明整數(shù)偏向在兒童分?jǐn)?shù)認(rèn)知中存在的普遍性。比起對(duì)兒童整數(shù)偏向現(xiàn)象的大量描述，對(duì)成人的研究相對(duì)較少。通常研究者認(rèn)為由于整數(shù)偏向主要是因?yàn)閮和瘜?duì)整數(shù)系統(tǒng)和有理數(shù)系統(tǒng)的概念模糊所產(chǎn)生的。成人對(duì)數(shù)的連續(xù)性有很好的掌握，因此潛在假設(shè)是成人不會(huì)再出現(xiàn)整數(shù)偏向現(xiàn)象，即他們?cè)诒碚鞣謹(jǐn)?shù)的時(shí)候是連續(xù)的，自動(dòng)將其表征為數(shù)值，如1/2是0.5。但有學(xué)者認(rèn)為(GigerenzerHoffrage，1999)成人在理解分?jǐn)?shù)和比率上同樣存在困難，原因在于“從發(fā)展和進(jìn)化的角度來講，人類傾向于掌握那些自然的頻次”(p.430)而非比率。從這個(gè)角度講，在表征分?jǐn)?shù)時(shí)成人通常采用一些策略將連續(xù)的值(分?jǐn)?shù)真值)轉(zhuǎn)化為不連續(xù)的整數(shù)值(分子或分母)。這種偏向雖與以往研究中的兒童的整數(shù)偏向有所區(qū)別，但也可稱其為整數(shù)偏向，即理解分?jǐn)?shù)的概念和意義。但仍舊運(yùn)用整數(shù)策略來表征分?jǐn)?shù)的傾向。Bonato，F(xiàn)abbd，Umilfft和Zorzi(2007)運(yùn)用心理數(shù)字線(mental number line)假設(shè)的兩個(gè)效應(yīng)證實(shí)了成人在表征分?jǐn)?shù)時(shí)也存在整數(shù)偏向。心理數(shù)字線假設(shè)(Resfle，1970)認(rèn)為，對(duì)某一數(shù)字?jǐn)?shù)量的空間表征是通過對(duì)該數(shù)字按其數(shù)量大小相應(yīng)地投射到一條空間直線的不同位置上實(shí)現(xiàn)的，在這條心理中存在的數(shù)字線上。較小的數(shù)字投射在左邊。較大的數(shù)字投射在右邊。研究表明成人在分?jǐn)?shù)比較中對(duì)于相同分子的分?jǐn)?shù)有用分母進(jìn)行比較的傾向，他們表征分?jǐn)?shù)并非是以數(shù)值的方式進(jìn)行表征，而是離散型的；當(dāng)要求比較特定實(shí)數(shù)與分?jǐn)?shù)時(shí)。也出現(xiàn)了將實(shí)數(shù)轉(zhuǎn)換為相應(yīng)分?jǐn)?shù)，再進(jìn)行兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分母比較的傾向。此外，最新研究表明在分?jǐn)?shù)估計(jì)任務(wù)中也存在整數(shù)偏向(Opfer＆DeVries，2008)。由于成人對(duì)于整數(shù)的估計(jì)模型是線性模型，因此，當(dāng)估計(jì)材料為分?jǐn)?shù)時(shí)，成人比兒童更容易受到分母的影響，導(dǎo)致對(duì)分?jǐn)?shù)的估計(jì)模型也近乎線性，相反，由于兒童的估計(jì)模型為對(duì)數(shù)模型，正好與分?jǐn)?shù)估計(jì)應(yīng)有的模型相似，因此兒童在分?jǐn)?shù)估計(jì)任務(wù)上的表現(xiàn)反而比成人要好。這也從另一個(gè)角度說明整數(shù)偏向存在的普遍性。

整數(shù)偏向影響著兒童和成人對(duì)分?jǐn)?shù)的認(rèn)知和表征，但這種影響有利有弊。當(dāng)兒童正式接觸分?jǐn)?shù)概念時(shí)，教師會(huì)從分?jǐn)?shù)的部分一整體含義引入，而不是從測(cè)量含義引入，且在教授兒童進(jìn)行分?jǐn)?shù)比較和運(yùn)算時(shí)，教師通常應(yīng)用先前的整數(shù)策略使兒童更快捷地習(xí)得解題方法，這種化歸的思想雖然為兒童從整數(shù)系統(tǒng)擴(kuò)展到有理數(shù)系統(tǒng)提供了很好的橋梁作用，但也為整數(shù)偏向的出現(xiàn)提供了可能性。如果過分重視解題方法而忽略分?jǐn)?shù)意義，兒童很可能因?yàn)榉謹(jǐn)?shù)與整數(shù)共用一套符號(hào)系統(tǒng)而出現(xiàn)錯(cuò)誤的認(rèn)知，表現(xiàn)出整數(shù)偏向。而對(duì)于成人來說，當(dāng)對(duì)分?jǐn)?shù)概念有正確認(rèn)識(shí)后，整數(shù)偏向通常是有益的，如比較分?jǐn)?shù)時(shí)采用快捷的整數(shù)比較策略(同分子分?jǐn)?shù)比較分母，同分母分?jǐn)?shù)比較分子)要比將分?jǐn)?shù)化為實(shí)數(shù)方便很多。

2 整數(shù)偏向的理論解釋

對(duì)于整數(shù)偏向現(xiàn)象的產(chǎn)生機(jī)制和原因，當(dāng)前學(xué)者對(duì)整數(shù)偏向本質(zhì)的爭(zhēng)論來自三個(gè)方面fNiZhou，2005)。第一，關(guān)注數(shù)能力的起因：人類早期對(duì)于量的表征是來源于一個(gè)“數(shù)特殊性”的機(jī)制還是一個(gè)“效用一般”的認(rèn)知機(jī)制；第二，關(guān)注早期對(duì)于量的表征是否僅僅局限于離散量.還是也能夠表征連續(xù)量；第三，關(guān)注教學(xué)因素以及先前所學(xué)知識(shí)的影響。由此產(chǎn)生了關(guān)于整數(shù)偏向成因的三種假設(shè)。

2.1 先天約束假設(shè)

先天約束假設(shè)(the innate constrainthypothesis)認(rèn)為，人類對(duì)數(shù)量的表征是領(lǐng)域特殊性的，表征數(shù)時(shí)存在一個(gè)先天認(rèn)知機(jī)制，它能夠表征數(shù)量(numerosity)的心理大小。支持這一假設(shè)的學(xué)者提出了類比數(shù)量模型(analog magnitudemodel，)，認(rèn)為個(gè)體是通過數(shù)量類比的方式對(duì)客體數(shù)量進(jìn)行符號(hào)化表征的(Gallistel＆Gelman，2000；Wynn，1998)，這種表征也被稱為累加器(accumulator)機(jī)制或非言語計(jì)數(shù)機(jī)制。即每一個(gè)客體都被表征為神經(jīng)系統(tǒng)發(fā)出的一次神經(jīng)脈沖，客體呈現(xiàn)時(shí)，脈沖就會(huì)以每次數(shù)量“1”的形式進(jìn)入容器。當(dāng)呈現(xiàn)完畢，意味著表征數(shù)量結(jié)束，得出脈沖的累加值。在該模型中，表征的內(nèi)容只能是正整數(shù)，并沒有提供對(duì)分?jǐn)?shù)數(shù)量的表征模式fGallistelGelman，1992；Wynn，1992)。且Gallistel和Gelman(1992)認(rèn)為非言語計(jì)數(shù)機(jī)制能夠幫助兒童學(xué)習(xí)言語計(jì)數(shù)單詞。因?yàn)檫@種表征方式是離散的，所以當(dāng)兒童學(xué)習(xí)言語計(jì)數(shù)時(shí)，它阻礙了兒童對(duì)分?jǐn)?shù)的正確表征，因此整數(shù)偏向是先天決定的。

先天約束假設(shè)主要有三方面證據(jù)支持：早期表征離散數(shù)量的能力；當(dāng)兒童面對(duì)分?jǐn)?shù)和有理數(shù)時(shí)的持續(xù)困難；早期計(jì)數(shù)能力的獲得(NiZhou，2005)。研究表明，通過去習(xí)慣化范式和期望違背范式，幾個(gè)月的嬰兒已經(jīng)能夠區(qū)分小集合物體之間數(shù)量的差別(FeigensonCarey，2005；Starker＆Cooper，1980；Wynn，1992)；而對(duì)大數(shù)量的數(shù)感上，Xu和Spelke的一系列研究(Xu.2003；Xu＆Spelke，2005)表明，控制其他變量(如圓點(diǎn)的總面積、總周長(zhǎng)，點(diǎn)列的大小密度等)，6個(gè)月大的嬰兒能夠辨別16個(gè)點(diǎn)和32個(gè)點(diǎn)、4個(gè)點(diǎn)和8個(gè)點(diǎn)。其他研究者(MeCrinkWynn，2007)也得到了相似的結(jié)果。這些都表明嬰兒在辨別任務(wù)上可能在數(shù)的維度對(duì)刺激進(jìn)行加工。而當(dāng)兒童面對(duì)分?jǐn)?shù)概念時(shí)則出現(xiàn)了困難，特別是兒童所習(xí)得的計(jì)數(shù)能力會(huì)對(duì)他們學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)起消極作用。一些研究證實(shí)兒童經(jīng)常使用獨(dú)立單元計(jì)數(shù)圖式來解決分?jǐn)?shù)問題(Ball＆Wilson，1996；Harmett＆Gelman。1998；Mack，1995)，在發(fā)展分?jǐn)?shù)和有理數(shù)概念時(shí)整數(shù)策略經(jīng)常出現(xiàn)(Ni，2001)。這恰好證實(shí)了Gelman等人的觀點(diǎn)：先天特殊機(jī)制在表征數(shù)量時(shí)是離散的，因此它不適應(yīng)有理數(shù)系統(tǒng)的這種連續(xù)性的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)(GallistelGelman，1992，2000；Ha~enRGelman，1998)。

但這一假設(shè)也遭到了一些質(zhì)疑fNi＆Zhou.2005)，如“數(shù)特殊模塊”的提出是否能以嬰兒在去習(xí)慣化范式中辨別小集合物體數(shù)量的報(bào)告為基礎(chǔ)，嬰幼兒是否能夠表征連續(xù)變量的問題，且這一假設(shè)也不能從邏輯上否認(rèn)整數(shù)偏向與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)之間的關(guān)系。

2.2 未分化量假設(shè)

針對(duì)先天約束假設(shè)提出的嬰兒能夠通過數(shù)的維度對(duì)小的數(shù)量集合進(jìn)行辨別這一結(jié)論，Mix.Huttcnlocher和Levine(2002)提出了未分化量假設(shè)(the undifferentiated amount hypothesis)。該假設(shè)認(rèn)為早期數(shù)量表征并非基于離散數(shù)量，一個(gè)表征空間維度和時(shí)間線索的模型對(duì)于嬰兒已經(jīng)足夠，沒有必要表征數(shù)量，對(duì)于所有量的表征應(yīng)該基于連續(xù)量，即使用物體在連續(xù)空間維度上的信息進(jìn)行辨別，如物體的輪廓、面積等。未分化量假設(shè)認(rèn)為先天約束假設(shè)的實(shí)證支持不足以說明問題，從方法學(xué)上講，先天約束假設(shè)通常采用的習(xí)慣化以及期望違背范式，不能將刺激的數(shù)量特性和空間維度區(qū)分考查，也許嬰兒在對(duì)小集合物體進(jìn)行辨別時(shí)是以空間維度的變化為基礎(chǔ)的，而非數(shù)量上的變化。Gao，Levine和Huttenlocher(2000)發(fā)現(xiàn)6個(gè)月大的嬰兒能夠辨別裝有3/4液體的水杯和裝有1/4液體水杯之間的區(qū)別。表明嬰兒能夠辨別離散集合和連續(xù)量。Feigenson.Carey和Spelke(2002)也認(rèn)為測(cè)驗(yàn)的新異刺激可能建立在連續(xù)量維度上的改變而非數(shù)量上的改變。某些研究中這兩個(gè)維度是共變的，因此不能做出嬰兒能夠?qū)?shù)量進(jìn)行加工的結(jié)論。他們通過7個(gè)實(shí)驗(yàn)說明了這一假設(shè)，即6-7個(gè)月的嬰兒在控制了表面積等一些連續(xù)量時(shí)，他們對(duì)數(shù)量不能形成去習(xí)慣化。因此將嬰兒在辨別任務(wù)上的反應(yīng)歸因于數(shù)的維度是片面的。Lipton和Spelke(2004)的研究也得出了相應(yīng)的結(jié)論。

雖然未分化量假設(shè)認(rèn)為早期數(shù)量表征包括離散量和連續(xù)量。但該假設(shè)認(rèn)為整數(shù)概念和分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展程度不同，兒童對(duì)分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展要落后于整數(shù)概念，因此會(huì)出現(xiàn)整數(shù)偏向(Mix，Levine，Huttenlocher，1999)。且學(xué)齡階段習(xí)得的一對(duì)一的計(jì)數(shù)原則可能會(huì)削弱嬰兒時(shí)期關(guān)于連續(xù)量的理解，增強(qiáng)離散量的理解，因此整數(shù)偏向并非是先天的，而是由于兩種量的發(fā)展結(jié)果不同所引起的。

2.3 學(xué)習(xí)的負(fù)遷移假設(shè)

前兩種假設(shè)主要是從先天能力方面對(duì)整數(shù)偏向的成因進(jìn)行探討。在數(shù)能力的發(fā)展因素中，應(yīng)同時(shí)注重先天因素和后天因素，先天因素即由基因或生理成熟所提供的數(shù)字模塊，后天因素即教育和練習(xí)?；诤筇旖逃蛩氐闹匾绊?。第三種觀點(diǎn)認(rèn)為整數(shù)偏向是由于兒童先前關(guān)于整數(shù)的知識(shí)影響到分?jǐn)?shù)知識(shí)的建構(gòu)(Posner，Strike，Hewson，＆Gertzog，1982；Stafylidou＆Vosniadou，2004)，這一觀點(diǎn)被稱為學(xué)習(xí)的負(fù)遷移假設(shè)。支持這一假設(shè)的學(xué)者將兒童理解分?jǐn)?shù)的困難歸結(jié)于新舊知識(shí)的沖突(Greeno，1991)。如Stafylidou和Vosniadou(2004)認(rèn)為新舊知識(shí)之間的關(guān)系是影響新知識(shí)獲得的重要方面，即整數(shù)與分?jǐn)?shù)特點(diǎn)的差別導(dǎo)致了學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的困難，這是兒童產(chǎn)生整數(shù)偏向的一個(gè)重要原因。將整數(shù)系統(tǒng)擴(kuò)展到有理數(shù)系統(tǒng)對(duì)學(xué)生而言是很困難的(Gelman，2006)。有理數(shù)概念與整數(shù)概念差別太大，很多規(guī)則都不能通用。比如任意一個(gè)自然數(shù)都有下一個(gè)序數(shù)，而有理數(shù)則不同；隨著分母的減小，簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)的值增加，這是一個(gè)學(xué)生非常難以理解的概念，因?yàn)樗麄兿嘈艛?shù)字是數(shù)出來的。Stafylidou和Vosniadou(2004)的研究考查了兒童理解分?jǐn)?shù)值的發(fā)展趨勢(shì)，將兒童的分?jǐn)?shù)表征劃分為三個(gè)層次的解釋框架：第一個(gè)層次，兒童將分?jǐn)?shù)表征為兩個(gè)互相獨(dú)立的自然數(shù)；第二個(gè)層次，兒童將分?jǐn)?shù)表征為部分一整體關(guān)系；第三個(gè)層次，兒童將分?jǐn)?shù)表征為兩個(gè)數(shù)的比例。研究者認(rèn)為處于層次一和層次二的兒童容易受到整數(shù)偏向的影響。如在要求比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)。兒童僅關(guān)注分子或分母，而不是將分?jǐn)?shù)看作一個(gè)整體，只有處于層次三的兒童理解了分?jǐn)?shù)的本質(zhì)含義時(shí)，才能避免錯(cuò)誤的整數(shù)偏向現(xiàn)象出現(xiàn)。

除了學(xué)生先前學(xué)習(xí)的整數(shù)概念會(huì)影響分?jǐn)?shù)的正確表征，教師在教授分?jǐn)?shù)知識(shí)時(shí)的內(nèi)容和工具也可能是影響兒童正確表征分?jǐn)?shù)的因素之一。目前教師在教授分?jǐn)?shù)概念時(shí)通常從部分一整體引入，使用的表征方式也多采用區(qū)域模型(regionmodels)和離散物體模型(discrete objects models)(KurtCakiroglu，2009)，這種做法無形中強(qiáng)調(diào)了整數(shù)概念，從而造成對(duì)分?jǐn)?shù)的測(cè)量含義的不理解。更好地了解分?jǐn)?shù)的測(cè)量概念需要學(xué)生理解在任意兩個(gè)分?jǐn)?shù)中間是存在無限多個(gè)分?jǐn)?shù)。還需要具有在數(shù)字線上標(biāo)定分?jǐn)?shù)的能力(Hannula。2003)。數(shù)字線模型的缺乏和使用測(cè)量工具經(jīng)驗(yàn)的缺乏可能是分?jǐn)?shù)理解困難的另一個(gè)原因(CharalambosPitta-Pantazi，2007)。Moss和Case(1999)的研究也表明傳統(tǒng)上的教學(xué)中四年級(jí)學(xué)生僅僅在簡(jiǎn)單的部分一整體任務(wù)中了解分?jǐn)?shù)概念，沒有更多的比較不同具體分?jǐn)?shù)模型的經(jīng)驗(yàn)，也沒有機(jī)會(huì)去討論他們解題的方法。因此，給學(xué)生提供多表征的教學(xué)知識(shí)有助于他們形成最初的分?jǐn)?shù)概念(KurtCakiroglu，2009)。

2.4 對(duì)三種理論解釋的評(píng)價(jià)

整數(shù)偏向的三種理論解釋是針對(duì)兩個(gè)問題提出的。第一，嬰兒對(duì)量的表征是離散性的還是連續(xù)性的，第二，先天因素與后天因素哪個(gè)對(duì)整數(shù)偏向的形成影響更大。

先天約束假設(shè)和未分化量假設(shè)緊密圍繞第一個(gè)問題進(jìn)行爭(zhēng)論，后者是建立在批駁先天約束假設(shè)的基礎(chǔ)上提出的。他們爭(zhēng)論的焦點(diǎn)是嬰兒對(duì)數(shù)量的辨別是基于數(shù)的維度還是基于客體本身連續(xù)量的維度。一些研究結(jié)果表明在控制了總面積和總周長(zhǎng)時(shí)，6個(gè)月嬰兒對(duì)數(shù)量上的變化敏感(McCrinkWynn，2007；XuArriaga，2007；Xu＆Spelke，2000)。Brannon，Abboa和Lutz 2004)的研究證明了在大數(shù)量的辨別上嬰兒對(duì)數(shù)量變化產(chǎn)生去習(xí)慣化，對(duì)連續(xù)性變量則沒有反應(yīng)。Feigenson(2005)也發(fā)現(xiàn)嬰兒在控制了表面積時(shí)對(duì)數(shù)量做出了反應(yīng)，而控制了數(shù)量后并沒有對(duì)表面積做出反應(yīng)，表明嬰兒對(duì)數(shù)量敏感。這與她2002年的實(shí)驗(yàn)結(jié)果相反。Feigenson認(rèn)為這是出現(xiàn)了雙分離效應(yīng)，即在不同種類的排列中嬰兒對(duì)數(shù)量做出反應(yīng)，而在相同種類的排列中嬰兒對(duì)整體連續(xù)量做出反應(yīng)。但Mix等人(2002)認(rèn)為，無論怎樣控制連續(xù)變量，對(duì)客體進(jìn)行辨別時(shí)不可避免地會(huì)存在數(shù)量維度與連續(xù)量維度的重疊。因此嬰兒表征的內(nèi)容可能是一些非數(shù)線索，即對(duì)連續(xù)量變化更敏感。許多研究驗(yàn)證了這一觀點(diǎn)(Clearfield，2001，2004；ClearfieldMix.1999；Feigenson et a1.，2002)。也有學(xué)者(Duffy，Huttenlocher，Levine，Duffy，2005)認(rèn)為，嬰兒表征連續(xù)量時(shí)可能是通過判斷物體之間的關(guān)系來做出決定的。嬰兒對(duì)相同比例但不同數(shù)量的新異刺激未出現(xiàn)去習(xí)慣化，對(duì)相同數(shù)量不同比例的新異刺激出現(xiàn)了習(xí)慣化。先天約束假設(shè)針對(duì)以上研究結(jié)果又提出，嬰兒對(duì)連續(xù)性變量更加敏感不能排除他們的數(shù)表征能力。這些結(jié)果的不一致性也許能夠說明如果數(shù)、量線索同時(shí)可用，刺激本身的特點(diǎn)可能會(huì)決定嬰兒的線索選擇，他們?cè)诒碚鬟^程中應(yīng)該具有同時(shí)使用連續(xù)性變量線索和數(shù)線索的能力但卻會(huì)選擇使用最具適應(yīng)價(jià)值的維度(張真，蘇彥捷，2007)。

針對(duì)兩個(gè)理論的爭(zhēng)論，F(xiàn)eigenson和Dehaene(2004)提出嬰兒數(shù)量表征包含兩個(gè)核心系統(tǒng)，即小數(shù)量精確表征(precise representation)系統(tǒng)和大數(shù)量近似表征(approximate representation)系統(tǒng)。前者的表征范圍是4以下的整數(shù)，后者的表征范圍是4以上(包括4)的整數(shù)。并且小數(shù)量激活客體一檔案(object-file)模型，在辨別任務(wù)時(shí)小數(shù)量精確表征系統(tǒng)優(yōu)先考慮連續(xù)性變量維度，大數(shù)量激活類比模型，必須嚴(yán)格控制連續(xù)性變量才能進(jìn)行有效的數(shù)量近似區(qū)分。因此從這個(gè)角度看，第二種理論解釋也許更加正確，嬰兒能夠表征連續(xù)量。但此連續(xù)量更大程度上是對(duì)客體本身的特征的描述，與分?jǐn)?shù)概念中的連續(xù)量是否一致還值得商榷。但從整數(shù)偏向的角度來看，盡管先天約束假設(shè)從先天角度認(rèn)為數(shù)表征偏向于整數(shù)，在學(xué)習(xí)言語計(jì)數(shù)知識(shí)后這一偏向更加明顯，但未分化量假設(shè)也認(rèn)為由于學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)知識(shí)后有利于對(duì)離散量的表征而削弱了對(duì)連續(xù)量的表征，兩個(gè)理論假設(shè)又存在一定的相似性。

而第二個(gè)問題是前兩個(gè)理論與第三個(gè)理論所要共同探討的。目前學(xué)者認(rèn)為整數(shù)偏向更多的是一種兒童生理發(fā)展和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的共同作用的結(jié)果，而并非只是一種帶有偏向的教學(xué)產(chǎn)物，不能孤立地看待先天因素和后天因素。第三種觀點(diǎn)并沒有站在前兩種觀點(diǎn)的對(duì)立面，而是作為平行或是補(bǔ)充的角色出現(xiàn)。它將整數(shù)偏向出現(xiàn)的重要原因歸結(jié)于教學(xué)，認(rèn)為即便整數(shù)偏向從生理上來說是不可避免的，如果教學(xué)方法能夠改進(jìn)，比如采取將整數(shù)系統(tǒng)和有理數(shù)系統(tǒng)同時(shí)教授給學(xué)生的方法，就可以減弱它的影響。

總體來說，三種假設(shè)分別從先天原因、發(fā)展順序、學(xué)習(xí)的負(fù)遷移三個(gè)角度解釋了整數(shù)偏向的成因，它們都沒有有力的證據(jù)證明其中一種就是整數(shù)偏向的本質(zhì)。

3 整數(shù)偏向的研究和干預(yù)方法

目前整數(shù)偏向的定義是從兒童行為表現(xiàn)的角度說明的，研究方法也多采用行為層面的紙筆測(cè)驗(yàn)、口語報(bào)告等方法，雖然也有研究者采用電腦施測(cè)考查了整數(shù)偏向的心理表征，但對(duì)整數(shù)偏向的研究缺少統(tǒng)一的研究范式。下面將對(duì)整數(shù)偏向的研究方法、干預(yù)方法進(jìn)行介紹。

3.1 整數(shù)偏向的研究方法

研究者通常采用問題解決的方法描述整數(shù)偏向。此方法只需讓兒童對(duì)兩個(gè)分?jǐn)?shù)或是幾個(gè)分?jǐn)?shù)進(jìn)行大小比較、排序或運(yùn)算等紙筆測(cè)驗(yàn)，分析兒童在任務(wù)中的表現(xiàn)。前文提及的許多研究都是用此方法來發(fā)現(xiàn)、描述整數(shù)偏向的存在(Amato。2005；Hannula，2003；PeamStephen，2004；Smith et a1.，2005)。Orhun(2007)也通過考查四年級(jí)兒童在進(jìn)行分?jǐn)?shù)運(yùn)算時(shí)的特殊傾向發(fā)現(xiàn)，兒童做同分母的加減法時(shí)運(yùn)算正確，做不同分母的加減法時(shí)出現(xiàn)了將分子分母分別相加的錯(cuò)誤。此外。一些學(xué)者還增加了口語報(bào)告和訪談的步驟，更詳細(xì)地了解兒童的整數(shù)偏向(OliveVomvoridi，2006；Peam＆Stephen，2004)。

這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于簡(jiǎn)單易行，方便操作，能清楚地揭示整數(shù)偏向的存在。但也存在一些問題，如口語報(bào)告法應(yīng)考慮到兒童的特殊性，不能僅依靠?jī)和目谡Z報(bào)告判斷整數(shù)偏向的存在與否。而且，由于成人整數(shù)偏向的隱蔽性，使用紙筆測(cè)驗(yàn)的問題解決方式無法考查成人的整數(shù)偏向，因此一些學(xué)者基于數(shù)表征的重要理論假設(shè)設(shè)計(jì)了實(shí)驗(yàn)，從心理表征的角度考查成人和兒童的整數(shù)偏向。

Bonato等人(2007)通過考查成人在分?jǐn)?shù)比較任務(wù)中表現(xiàn)出來的數(shù)空間表征中的兩種效應(yīng)(“空間一數(shù)字關(guān)聯(lián)”效應(yīng)與數(shù)字距離效應(yīng))揭示了成人表征分?jǐn)?shù)時(shí)存在整數(shù)偏向。實(shí)驗(yàn)的內(nèi)在邏輯如下：由于分?jǐn)?shù)屬于實(shí)數(shù)的一種特殊形式，能夠在數(shù)字線上體現(xiàn)出連續(xù)量的特點(diǎn)，因此對(duì)分?jǐn)?shù)的表征能夠?qū)?yīng)到心理數(shù)字線上。而人們?cè)谛睦頂?shù)字線上如何表征分?jǐn)?shù)。是通過分?jǐn)?shù)真值連續(xù)地表征，還是與整數(shù)表征類似，通過元素(如只表征分子，或只表征分母)離散性地表征，這一問題能夠通過心理數(shù)字線的證據(jù)——“空間-數(shù)字關(guān)聯(lián)”效應(yīng)(Spatial-Numerical Association of Response CodesEffect，簡(jiǎn)稱SNARC效應(yīng))、數(shù)字距離效應(yīng)(number distance effecO進(jìn)行考查。如果分?jǐn)?shù)真值的差異體現(xiàn)了兩種效應(yīng)，說明成人是用連續(xù)量表征分?jǐn)?shù)的，如果分母值的差異體現(xiàn)了兩種效應(yīng)，則說明成人存在整數(shù)偏向。而Opfer和DeVries(2008)則利用了整數(shù)估計(jì)的實(shí)驗(yàn)范式，通過考查兒童和成人在分?jǐn)?shù)估計(jì)上的表現(xiàn)揭示了整數(shù)偏向。他們的研究彌補(bǔ)了紙筆測(cè)驗(yàn)方法的不足，擴(kuò)展了整數(shù)偏向的研究方法和被試范圍，為今后整數(shù)偏向的研究提供了很好的研究方向。

3.2 整數(shù)偏向的干預(yù)方法

研究者認(rèn)為，分?jǐn)?shù)概念的表征類型因素顯著影響了兒童對(duì)分?jǐn)?shù)的正確表征，教學(xué)時(shí)教師通常使用區(qū)域模型、離散物體模型和數(shù)字線模型進(jìn)行分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)識(shí)，但前兩者更常見。兒童在解答分?jǐn)?shù)加法問題時(shí)所產(chǎn)生的整數(shù)偏向通常由前兩種模型引起，因?yàn)檎n堂上通常采用幾何圖形來介紹分?jǐn)?shù)的基本知識(shí)是偏向于整數(shù)概念的(Amato，2005)。因此一些研究者采用了數(shù)字線模型的方法幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的測(cè)量概念，削弱整數(shù)偏向的影響。Peam和Stephens等人的系列研究表明(PgalnStephens，2004，2007)通過訓(xùn)練學(xué)生在數(shù)字線上標(biāo)定分?jǐn)?shù)，能夠修正兒童在前測(cè)時(shí)擁有的錯(cuò)誤分?jǐn)?shù)概念，如通過分母大小排列分?jǐn)?shù)等。Hannula(2003)也通過面積板和數(shù)字線任務(wù)證明，兒童在數(shù)字線任務(wù)上的表現(xiàn)不如面積板，加強(qiáng)其在數(shù)字線上標(biāo)定分?jǐn)?shù)的能力有助于其建立分?jǐn)?shù)的測(cè)量定義，削弱整數(shù)偏向。而希臘的一些學(xué)者(Psychafis，Latsi，Kynigos，2007)則開發(fā)了一種數(shù)字線軟件，通過該軟件教授兒童分?jǐn)?shù)知識(shí)。建立他們的分?jǐn)?shù)測(cè)量概念。Kurt和Cakiroglu(2009)也對(duì)比了兒童用區(qū)域模型、離散物體模型和數(shù)字線模型表征分?jǐn)?shù)的表現(xiàn)，證明了數(shù)字線模型在教學(xué)中的薄弱。

這種利用數(shù)字線模型削弱整數(shù)偏向的方法不僅能夠在研究中用做干預(yù)材料，還能夠在實(shí)際教學(xué)中應(yīng)用，可操作性極高。

4 小結(jié)與展望

整數(shù)偏向作為分?jǐn)?shù)認(rèn)知中不可忽視的一種現(xiàn)象，受到了心理學(xué)家的普遍關(guān)注，并激發(fā)了大量研究。研究主要集中在揭示整數(shù)偏向的存在、解釋整數(shù)偏向的成因、探討整數(shù)偏向的心理表征機(jī)制等。整數(shù)偏向的研究是一個(gè)不斷深化的過程。對(duì)它的深入研究不僅能夠擴(kuò)充心理學(xué)中數(shù)認(rèn)知的對(duì)象范圍，更有重要的教育教學(xué)意義，研究結(jié)果能夠?yàn)閷?shí)際教學(xué)提供一些建議，使兒童能夠快速、正確地理解分?jǐn)?shù)知識(shí)。就現(xiàn)有的研究來看，還存在著以下幾方面的不足和爭(zhēng)論，今后可著重從這幾個(gè)方面進(jìn)行探尋。

首先，對(duì)整數(shù)偏向的定義有待商榷。雖然很多研究都觀察到了整數(shù)偏向現(xiàn)象，但未采用一個(gè)明確的定義。Ni和Zhou(2005)認(rèn)為整數(shù)偏向?qū)Ψ謹(jǐn)?shù)概念的形成、以及分?jǐn)?shù)的程序性規(guī)則的應(yīng)用會(huì)產(chǎn)生不利的影響，會(huì)阻礙兒童形成正確分?jǐn)?shù)概念。但同時(shí)他們也提及偏向有兩種，一種是不采用已經(jīng)理解的概念或是規(guī)則；另一種則是對(duì)某種概念或規(guī)則不明白，導(dǎo)致了采取其它策略的反應(yīng)傾向。相對(duì)應(yīng)的，整數(shù)偏向是否也有兩種：即可能存在學(xué)生已經(jīng)獲得了正確的分?jǐn)?shù)概念，但仍會(huì)采用整數(shù)策略去解決分?jǐn)?shù)問題的現(xiàn)象，因?yàn)檫@樣會(huì)使某些問題更加便捷。如比較簡(jiǎn)單分?jǐn)?shù)時(shí)，采用“同分子的分?jǐn)?shù)比較分母即可”的原則比用分?jǐn)?shù)真值更加簡(jiǎn)便，這也算是一種整數(shù)偏向的表現(xiàn)，但并非是無益的。Bonato等人(2007)把這種現(xiàn)象也稱為整數(shù)偏向，且采用了Ni和Zhou(2005)的定義。但實(shí)際上他們研究的是積極的整數(shù)偏向，與Ni和Zhou(2005)的定義有所區(qū)別。因此，對(duì)整數(shù)偏向概念的界定還應(yīng)斟酌。我們建議，將整數(shù)偏向區(qū)分為“消極的整數(shù)偏向”和“積極的整數(shù)偏向”，在研究中區(qū)分使用兩個(gè)概念。而不是混為一談。

第二，關(guān)于整數(shù)偏向的成因還不甚清楚。雖然三種理論解釋都有大量研究結(jié)果支持，但目前它們都沒有有力的證據(jù)證明其中一種就是整數(shù)偏向的本質(zhì)。尤其是在嬰兒是否能夠表征連續(xù)量這一研究問題上，先天約束假設(shè)和未分化量假設(shè)的爭(zhēng)論還在持續(xù)。但雙方的實(shí)證結(jié)果有時(shí)又能夠支持對(duì)方的理論。對(duì)此，先天約束假設(shè)的代表人物之一Gelman修正了自己累加器的理論，認(rèn)為未分化量假設(shè)提及的“累加器模型只能用于表征數(shù)字和時(shí)間，不能表征其它連續(xù)變量，例如表面積和周長(zhǎng)”這一說法是片面的，雖然累加器模型最初是用來解釋動(dòng)物的計(jì)數(shù)和持續(xù)時(shí)間的辨別，但它也可以解釋表面積、密度和長(zhǎng)度這些連續(xù)性變~(CordesGelman，2005)。Brannon，Lutz和Cordes(2006)的研究證實(shí)了這一點(diǎn)。研究表明面積辨別與時(shí)間、數(shù)量辨別有著相同的心理趨勢(shì)，對(duì)面積比率的變化識(shí)別遵循韋伯定律。Gelman也同意累加器模型也許只能解釋大于4的數(shù)量表征，小于4的數(shù)量表征遵循著客體一檔案模型。而未分化量假設(shè)對(duì)于嬰兒表征小數(shù)量時(shí)不能從數(shù)的維度進(jìn)行解釋這一觀點(diǎn)也受到質(zhì)疑，甚至同一個(gè)研究者的兩次實(shí)驗(yàn)結(jié)果不一致fFeigenson eta1.，2002，F(xiàn)eigenson，2005)。雖然學(xué)者提出了兩個(gè)數(shù)量核心系統(tǒng)的存在，但還沒有研究能夠解釋為何在特定情境中某一個(gè)核心系統(tǒng)不能被激活，嬰兒是如何在兩個(gè)數(shù)量核心系統(tǒng)中做出選擇的，這些問題都還有待解決。雖然學(xué)習(xí)的負(fù)遷移假設(shè)從后天因素說明了整數(shù)偏向的成因，但這種后天因素在多大程度上起作用，能否通過教學(xué)手段削弱或是消除整數(shù)偏向，也是這一假設(shè)今后應(yīng)該探尋的方向。是否整數(shù)偏向是三種理論解釋相結(jié)合的產(chǎn)物?整數(shù)偏向的生理機(jī)制和后天因素的影響程度孰大孰小?總的來說，研究者可針對(duì)先天約束假設(shè)和未分化量假設(shè)的爭(zhēng)論，更加細(xì)化研究材料的選取和刺激呈現(xiàn)方式，如相應(yīng)地控制表面積、密度和長(zhǎng)度這些連續(xù)性變量，控制數(shù)量等離散性變量：亦可通過腦功能成像研究不能激活某一核心系統(tǒng)的生理機(jī)制。針對(duì)學(xué)習(xí)的負(fù)遷移假設(shè)，研究者可利用教學(xué)干預(yù)的方法考察后天因素的影響程度。

第三，整數(shù)偏向的研究方法較為單一。研究者通常側(cè)重于描述現(xiàn)象，主要采取分?jǐn)?shù)比較或分?jǐn)?shù)運(yùn)算等紙筆測(cè)驗(yàn)，雖然有些研究包括口語報(bào)告，但也存在缺陷。盡管有學(xué)者(Bonato et a1.，2007；OpferDeVries，20081采用了整數(shù)空間表征中的相應(yīng)假設(shè)為分?jǐn)?shù)認(rèn)知服務(wù)，但研究方法還略顯單薄。而對(duì)于整數(shù)偏向成因的探討中，研究范式多局限于去習(xí)慣化范式，由于種種原因嬰兒無法進(jìn)行fMRI等生理層面上的測(cè)試，因此無法從生理層面深入探討成因。且目前對(duì)成人使用fMRI得出的關(guān)于數(shù)字加工的皮層定位和腦功能成像的研究層出不窮(張紅川，董奇，周新林，2005)，但分?jǐn)?shù)研究中未見相應(yīng)結(jié)果。今后研究應(yīng)該采用多種研究方法，如采用fMRI檢驗(yàn)分?jǐn)?shù)與整數(shù)的腦加工定位是否一致、采用眼動(dòng)方法來考查兒童、成人如何進(jìn)行分?jǐn)?shù)的空間表征等。

最后，加強(qiáng)對(duì)整數(shù)偏向的干預(yù)研究和研究結(jié)果的實(shí)際應(yīng)用。既然整數(shù)偏向廣泛存在，如何削弱學(xué)生消極的整數(shù)偏向可成為今后研究的方向。從使用外部表征工具的角度看，不少研究者已經(jīng)證明采用多重表征能夠有助于兒童形成正確的分?jǐn)?shù)概念，利用數(shù)字線模型、連續(xù)量模型能夠削弱整數(shù)偏向的消極影響，那么今后研究也可以擴(kuò)展這方面的成果，尋找出更多削弱整數(shù)偏向消極影響的教學(xué)方法、教學(xué)材料。在日常生活中也可以運(yùn)用游戲資源促進(jìn)分?jǐn)?shù)認(rèn)知。Ramani和Siegler(2008)的研究表明，玩一種“線性數(shù)字板”游戲?qū)Φ褪杖爰彝ズ⒆诱麛?shù)方面數(shù)字知識(shí)的提高有作用，能否將這一思路運(yùn)用到分?jǐn)?shù)知識(shí)中，值得進(jìn)一步研究和挖掘。此外，還可開發(fā)促進(jìn)分?jǐn)?shù)認(rèn)知的多媒體資源。K0ng和Kwok(2003)的“圖形分割模型”的網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)環(huán)境促進(jìn)了學(xué)生分?jǐn)?shù)知識(shí)的建構(gòu)。我們也可開發(fā)這種能夠?yàn)閷W(xué)生提供圖形表征工具、分割裝置和假設(shè)檢驗(yàn)機(jī)會(huì)的多媒體資源。

總之，盡管整數(shù)偏向現(xiàn)象可以在定義、理論、方法以及實(shí)際應(yīng)用等四個(gè)方面深入研究，但我們認(rèn)為可以在擴(kuò)展研究方法和實(shí)際應(yīng)用等方面加大研究力度。對(duì)整數(shù)偏向的理論探討目前尚無確定結(jié)論，是研究的難點(diǎn)，因此研究者可以在研究難點(diǎn)的基礎(chǔ)上將重點(diǎn)放在運(yùn)用多種方法考察兒童或成人的分?jǐn)?shù)表征，以及通過各種干預(yù)研究探討如何最大程度的削弱整數(shù)偏向的消極影響等方面。通過對(duì)這兩方面的深入研究，又能從新的角度為整數(shù)偏向的成因提供理論解釋。