代數(shù)應(yīng)用題視覺化表征的理論模型及影響因素

摘要：視覺化表征是代數(shù)應(yīng)用題表征的一大類型，在問題解決過程中起著重要作用。視覺化表征的理論主要有視覺-邏輯二維模型、理解-轉(zhuǎn)換模型、表象表征理論和圖式-圖像表征論。四種理論模型各有其特殊的方法學(xué)意義。代數(shù)應(yīng)用題的視覺化表征主要受到題目視覺化程度和認(rèn)知負(fù)載等刺激因素以及自我效能感等認(rèn)知因素的影響，最后，本文指出了在代數(shù)應(yīng)用題視覺化表征理論、研究方法和影響因素探索中的進(jìn)步以及發(fā)展空間。

關(guān)鍵詞：代數(shù)應(yīng)用題；視覺化表征；表象表征；圖式表征；圖像表征

分類號(hào)：G44；B844

1 引 言

通過個(gè)體的問題解決能力來推測其認(rèn)知發(fā)展特點(diǎn)及趨勢(shì)，是認(rèn)知心理學(xué)長期以來的重要任務(wù)。數(shù)學(xué)問題以其嚴(yán)密的邏輯成為了反映個(gè)體思維水平的重要手段，其中，代數(shù)應(yīng)用題是研究者公認(rèn)的最難解題型之一(Reed，1999)。代數(shù)應(yīng)用題是指求解過程須在陌生情境中舍棄非本質(zhì)要素，理解分析其中的邏輯數(shù)量關(guān)系的一類有實(shí)際背景或問題有實(shí)際意義的數(shù)學(xué)問題。美國心理學(xué)家Mayer(1981，1982)使用加州公立中學(xué)課本的1100道代數(shù)應(yīng)用題，分析得出了代數(shù)應(yīng)用題的基本結(jié)構(gòu)，即由四種命題構(gòu)成：賦值命題——給變量進(jìn)行賦值；關(guān)系命題——對(duì)變量之間的關(guān)系作出界定；問句命題以及相關(guān)事實(shí)。其中起關(guān)鍵作用的是關(guān)系命題。可見，代數(shù)應(yīng)用題的本質(zhì)是通過關(guān)系詞將幾個(gè)集合進(jìn)行聯(lián)系。它要求個(gè)體對(duì)集合關(guān)系進(jìn)行理解，就必然要求個(gè)體具備理解問題情境的能力，閱讀文字材料的能力，以及邏輯演繹推理能力。剖析其解題的心理過程，就是對(duì)個(gè)體思維能力的分解，有利于掌握個(gè)體思維發(fā)展的規(guī)律；同時(shí)，可以找出造成解題水平高低的關(guān)鍵要素，從而為數(shù)學(xué)學(xué)困生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供有力的干預(yù)措施。

20世紀(jì)80年代，認(rèn)知心理學(xué)逐漸關(guān)注代數(shù)應(yīng)用題這類涉及特定知識(shí)背景的問題解決研究(辛自強(qiáng)，2003)。發(fā)現(xiàn)對(duì)其集合關(guān)系的理解體現(xiàn)在對(duì)題目信息的編碼轉(zhuǎn)換過程中，稱之為對(duì)問題的心理表征(Kintsch，Greeno，1985)。心理表征是指在已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，將外部信息以自己獨(dú)特的方式或形式組織起來，并建構(gòu)出一定的結(jié)構(gòu)和意義(仲寧寧，陳英和，張璟，2008)。它決定了對(duì)子目標(biāo)的組織，即決定了完成運(yùn)算的順序(ThevenotOakhill，2008)。這種建構(gòu)過程，可發(fā)展為。種儲(chǔ)存于長時(shí)記憶中的自動(dòng)化圖式，在探索同類或相似問題時(shí)會(huì)很快被激活，從而提高解題速度與正確率。

然而，個(gè)體對(duì)代數(shù)應(yīng)用題的內(nèi)部表征存在于兩個(gè)系統(tǒng)：符號(hào)概念系統(tǒng)與視覺一空間表象系統(tǒng)(Krutetskii，1984)。其中，有關(guān)個(gè)體如何使用視覺化表征解決代數(shù)應(yīng)用題的探索，已成為認(rèn)知發(fā)展研究的重要組成部分。由于人的視覺不僅是在生理水平上獲取應(yīng)用題信息的主要渠道，也是在心理水平上幫助個(gè)體“看到”不在視力范圍內(nèi)的客體從而獲取信息的有力途徑。因此視覺既是名詞——一種神經(jīng)功能的產(chǎn)物，又是動(dòng)詞——一種認(rèn)知加工活動(dòng)(Aracvi，2003)。從視覺的心理水平界定視覺化表征(zimmermanncunningham，1991)是指：基于頭腦中(或使用工具)產(chǎn)生的圖片、形象和圖表對(duì)問題進(jìn)行反映和解釋的過程：個(gè)體以此來描述和交流信息，思考和挖掘不懂的觀點(diǎn)并加強(qiáng)對(duì)問題的理解。例如，“從公路的一端開始向路另一端植樹，每隔5米種一棵樹，路長15米，共需要種幾棵樹?”，通過視覺化表征可將題目中的數(shù)學(xué)關(guān)系簡化為圖1。

視覺化表征作為較新穎的表征方式，不僅在代數(shù)應(yīng)用題的信息加工過程中至關(guān)重要，在兒童思維能力的發(fā)展中也有重要意義。首先，代數(shù)應(yīng)用題有其固定結(jié)構(gòu)，視覺化表征能有助于主體快速形成清晰的問題空間，把握應(yīng)用題的關(guān)系命題。由于主體認(rèn)知加工系統(tǒng)本身的系列性特點(diǎn)以及短時(shí)記憶的局限性，問題解決者在特定時(shí)間內(nèi)，只能關(guān)注當(dāng)前的問題狀態(tài)而不能對(duì)問題空間進(jìn)行操作(陳英和，1996)，視覺化表征的突出特點(diǎn)就是直觀體現(xiàn)初始狀態(tài)的邏輯層次關(guān)系。將問題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)和中間狀態(tài)連成一體，在關(guān)注狀態(tài)的同時(shí)對(duì)問題空間進(jìn)行操作。尤其在遇到難題或新穎情境時(shí)，可將題目中的復(fù)雜信息用表象或圖示等表達(dá)，彌補(bǔ)相關(guān)知識(shí)經(jīng)驗(yàn)不足，把完成任務(wù)所需的重要成分集中起來。實(shí)現(xiàn)問題的創(chuàng)造性解決(Kaufmann，1986；Gilli Shama，1994)。Lowrie和Kay(2001)通過實(shí)驗(yàn)證明，學(xué)生多使用視覺化表征解決難題，非視覺化表征解決容易題：其原因在于圖表和圖片提供了對(duì)概念理解有幫助的附加信息。其次，言語編碼具有能轉(zhuǎn)換成視空間編碼的特性(William＆Hayward，1995)。視覺化表征的出現(xiàn)是語言符號(hào)系統(tǒng)和空間表象系統(tǒng)不斷發(fā)展完善的體現(xiàn)，二者相互作用從而推動(dòng)思維能力不斷向前發(fā)展。因此，在整個(gè)數(shù)學(xué)教育的過程中，視覺化表征能力的訓(xùn)練也是一項(xiàng)培養(yǎng)綜合思維能力的有效手段，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)困生的干預(yù)研究有重要啟發(fā)意義。最后，視覺化表征能力是智力發(fā)展的一個(gè)重要標(biāo)志。有研究者將視覺化表征看作較高水平的認(rèn)知加工，因?yàn)樗芴峁﹩栴}的背景系統(tǒng)，是一套使功能更通達(dá)的認(rèn)知過程。當(dāng)被試能夠完整呈現(xiàn)視覺化表征時(shí)，表征能力應(yīng)該向前推進(jìn)了一個(gè)發(fā)展階段(PMeKieren，1992)。

2 視覺化表征理論及其評(píng)論

通過整合近30年來的實(shí)證研究，對(duì)于代數(shù)應(yīng)用題的視覺化表征這一現(xiàn)象，可以歸納出如下四種解釋理論，它們立足于不同的角度—見覺-邏輯二維模型，從個(gè)體差異入手，首次將視覺化表征從諸多表征中剝離出來，具有里程碑式的意義；理解一轉(zhuǎn)換模型，強(qiáng)調(diào)視覺加工能力，分析其在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的作用；表象表征理論，進(jìn)一步對(duì)視覺加工能力進(jìn)行分類；圖式，圖像表征理論，分析空間能力和表象表征之間的關(guān)系，以此探索視覺化表征與成功解題的關(guān)系。

2.1 視覺-邏輯二維模型

上世紀(jì)70年代，蘇聯(lián)心理學(xué)家Krute~kii憑借其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)個(gè)體差異的深入研究。采用出聲思維面試程序，詳細(xì)分析和整理備份每個(gè)被試的思維材料，進(jìn)而對(duì)數(shù)學(xué)能力水平和數(shù)學(xué)認(rèn)知類型進(jìn)行了區(qū)分。并認(rèn)為數(shù)學(xué)能力水平上的差異主要由思維的言語，邏輯成分決定。而數(shù)學(xué)認(rèn)知類型上的差異主要由思維的視覺，圖像成分，以及個(gè)體對(duì)這種思維成分的喜愛程度共同決定。因此，言語表征和視覺化表征對(duì)數(shù)學(xué)問題解決的影響是相對(duì)獨(dú)立，但又互相影響的。Krutetskii提出了視覺-邏輯二維模型，橫軸代表在解決數(shù)學(xué)問題中邏輯或分析思維強(qiáng)度，縱軸代表視覺-圖像思維偏好程度。他認(rèn)為，僅憑視覺能力高不足以保證個(gè)體會(huì)偏好使用視覺方法，語言或推理成分才是成功解決數(shù)學(xué)問題的決定性因素(如圖2)。Presmeg(1985)確認(rèn)，可將高中個(gè)體的數(shù)學(xué)思維歸入此四個(gè)象限中，進(jìn)一步支持了Krutetskii的模型。另外。Varley等人對(duì)3名不能正確理解語法的失語癥病人研究發(fā)現(xiàn)。病人理解“獅子”、“捕食”和“人類”這三個(gè)詞匯，卻不能分辨“獅子捕食人類”和“人類捕食獅子”的不同，但給他們呈現(xiàn)類似的算式如\"52-11”和“11-52”時(shí)，他們都能正確解答(Qiu，2005)。結(jié)果支持了該模型有關(guān)解決數(shù)學(xué)問題中視覺化表征和言語表征兩個(gè)維度的分離。

然而，Krutetskii關(guān)注數(shù)學(xué)天資，其研究基于對(duì)34名優(yōu)秀高中生數(shù)學(xué)問題加工過程的考察。初衷在于說明數(shù)學(xué)邏輯思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本能力，視覺圖像思維是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的高級(jí)能力(Presmeg，1986b)。這使得模型結(jié)論片面，不能解釋數(shù)困學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)視覺化表征和言語表征的關(guān)系；其次，模型結(jié)構(gòu)不飽滿，未將視覺思維強(qiáng)度作為一個(gè)獨(dú)立的維度考察，因而不能深入揭示視覺化表征在解題中的作用機(jī)制。

盡管如此，視覺-邏輯二維模型至今在數(shù)學(xué)教育研究中仍是寶貴財(cái)富。首先，它將視覺表象偏好這一維度看作是一個(gè)既能激活也能限制個(gè)體數(shù)學(xué)問題解決的連續(xù)體，偏好過度會(huì)使個(gè)體思維失去平衡，給解題帶來阻礙。這一思路具有重要意義。正是在這種劃分的前提下，才有了大量對(duì)代數(shù)應(yīng)用題解決視覺化表征的專門研究(Moses，1980；LeanClements，1981；Michael，1990；Gilli Shama，1994)。另外，它啟發(fā)后續(xù)研究對(duì)一些研究結(jié)果做出更精細(xì)的解釋。例如，Lean和Clements(1981)發(fā)現(xiàn)，語言邏輯表征比視覺化表征的作用更大，空間能力和有關(guān)空間習(xí)慣的知識(shí)對(duì)數(shù)學(xué)問題解決均無影響。以二維模型進(jìn)行解釋，即視覺化表征并不遵循全或無原則，可能是語言邏輯的發(fā)展制約了視覺化表征的發(fā)展，而導(dǎo)致視覺化表征的偏好較低。更重要的是，這一模型奠定了該領(lǐng)域研究方法上的突破。1979年，澳大利亞研究者Suwarsono在該模型的啟發(fā)下，將視覺化表征看作個(gè)體偏愛視覺表象或圖表的程度。據(jù)此編制了數(shù)學(xué)問題解決量表——MPI(theMathematical Processing Instrument)，其選編代數(shù)應(yīng)用題的原則是：題目既可用視覺化表征也可用非視覺化表征解決。該量表分為兩部分，第一部分由30道代數(shù)應(yīng)用題構(gòu)成，第二部分記錄的是對(duì)于上述每道應(yīng)用題學(xué)生常用的幾種不同解法，通常每題有三到五種解法。要求被試解決第一部分的問題，并描述采用的是第二部分的何種方法。若認(rèn)為自己的解法不是其中的任何一種，就需要寫出所用的方法并給出可能的細(xì)節(jié)。目前，該量表已在代數(shù)應(yīng)用題表征研究中得到廣泛使用。通過該測驗(yàn)，亦可測量學(xué)生在解決代數(shù)應(yīng)用題時(shí)使用視覺化表征的程度，后有研究(Kozhevnikov，1999)只使用MPI中激活被試視覺空間想象能力為主的應(yīng)用題，如行車相遇問題、沿線種樹問題、鋪地板問題等，以達(dá)到控制兒童的表征類型的作用。在我國，由于這一測驗(yàn)是根據(jù)澳大利亞小學(xué)6年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)展水平制定的，研究者進(jìn)行了修訂(俞國良，曾盼盼，2003)。最后，Krutetskii在提出模型過程中以臨床談話法為基礎(chǔ)所使用的出聲思維法，也成為了研究代數(shù)應(yīng)用題內(nèi)部表征的經(jīng)典范式。

2.2 理解-轉(zhuǎn)換模型

20世紀(jì)80年代初，在認(rèn)知研究與教育結(jié)合的思潮之下，對(duì)數(shù)學(xué)問題的視覺化表征研究作出突出貢獻(xiàn)的是Bishop(Presmeg，1986b)。在他看來，心理學(xué)家關(guān)注的是為什么會(huì)出現(xiàn)認(rèn)知能力的個(gè)體差異，而教育工作者則關(guān)心面對(duì)這些差異應(yīng)該做些什么(Bishop，1980)。Bishop重點(diǎn)關(guān)注數(shù)學(xué)教育中視覺化表征的作用以及社會(huì)文化因素對(duì)這類表征的影響。1980年，他區(qū)分了兩種視覺化表征能力：形象信息翻譯能力“nterpreting figuralinformation，IFI)和視覺加工能力(visualprocessing，VP)。IFI是指個(gè)體在完成與各種圖表有關(guān)的幾何任務(wù)時(shí)所使用的視覺表征和空間詞匯，它依賴于對(duì)內(nèi)容和背景的理解，受刺激材料形式的影響；VP包括對(duì)抽象關(guān)系的翻譯、將非視覺信息轉(zhuǎn)換為視覺關(guān)系，以及操作和轉(zhuǎn)換視覺表征和視覺表象的能力，它與刺激材料的形式無關(guān)。1983年，Bishop又提出了兩個(gè)與VP有關(guān)的問題：1)視覺化能力是否可教?2)既然幾何問題中的非視覺信息可以轉(zhuǎn)換，那么代數(shù)中的非視覺信息是否可以轉(zhuǎn)換，即視覺化能力是否可遷移(Presmeg，2008)?對(duì)于第一個(gè)問題，Lean和Clements(1981)已指出，形象刺激和非形象刺激都應(yīng)當(dāng)在教學(xué)中使用，以助視覺加工能力的發(fā)展；對(duì)于第二個(gè)問題，近十年來代數(shù)應(yīng)用題解決的視覺化表征研究已為其提供了肯定的答案。由此可以得到一個(gè)解釋代數(shù)應(yīng)用題視覺化表征的較為完善的模型(如圖3)。

難能可貴的是在皮亞杰思想風(fēng)靡的時(shí)代，Bishop吸收了維果茨基的歷史文化學(xué)觀點(diǎn)(Mariotti，2002)，關(guān)注深層視覺化表征能力的培養(yǎng)如何在教育中實(shí)現(xiàn)。同時(shí)從思維的過程上看，該模型不僅體現(xiàn)了認(rèn)知總過程中自下而上的串行加工，且在對(duì)視覺加工能力的剖析中揭示了具體環(huán)節(jié)上思維的并行加工，如“抽象關(guān)系的翻譯”及“非視覺信息的轉(zhuǎn)換”是分析一綜合思維的過程：而“操作和轉(zhuǎn)換視覺化表征”和“視覺表象”則是發(fā)散思維的過程。這種對(duì)思維和智力過程的信息加工分析很容易使我們獲得對(duì)思維的直覺認(rèn)知。

從方法上看。80年代西方測量學(xué)研究傳統(tǒng)在數(shù)學(xué)教育和與之相關(guān)的自然科學(xué)教育領(lǐng)域逐漸讓路給人本主義傳統(tǒng)的質(zhì)性方法學(xué)(Presmeg，1986b)。Bishop及其課題組創(chuàng)造性地將二者結(jié)合起來，探索什么樣的教師能鼓勵(lì)學(xué)生使用視覺化表征，哪些課堂內(nèi)容能幫助學(xué)生克服困難并有選擇的使用視覺加工的優(yōu)勢(shì)。首先，采用非參數(shù)方法設(shè)計(jì)了“視覺偏好”量表，據(jù)此篩選出13名高中數(shù)學(xué)教師及54名學(xué)生；然后，觀察記錄他們整個(gè)學(xué)年的數(shù)學(xué)課程情況，制作并轉(zhuǎn)錄了相關(guān)課程的108個(gè)錄音：同時(shí)分別對(duì)教師和學(xué)生進(jìn)行定期訪談，通過分析課堂內(nèi)容和訪談獲得每名教師培養(yǎng)學(xué)生視覺加工能力的具體手段(如教師要求學(xué)生用胳膊、手指或是身體動(dòng)作表示表象中的運(yùn)動(dòng)成分等)；最后，依據(jù)質(zhì)性分析結(jié)果將教師分為非視覺化教學(xué)組、中等水平和視覺化教學(xué)組進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析(Presmeg，2006)。這種質(zhì)性和量化皆用的方法，直到2000年后才深入人心。

2.3 表象表征理論

80年代末，Presmeg延續(xù)了導(dǎo)師Bishop的研究脈絡(luò)，為了探討視覺加工與數(shù)學(xué)問題解決之間的確切關(guān)系，進(jìn)一步將視覺加工能力進(jìn)行分類，提出了表象表征論(Presmeg，1986a)，劃分了中學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常用的五類表象：1)具體圖形表象(腦中出現(xiàn)具體圖形輪廓)；2)模式表象(以視覺一空間格式勾勒出純粹的關(guān)系)；3)運(yùn)動(dòng)知覺表象(包括運(yùn)用手的運(yùn)動(dòng)和其他手勢(shì)對(duì)表象進(jìn)行心理操作)；4)動(dòng)態(tài)表象(包括對(duì)幾何圖形的動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)換)；5)對(duì)公式的記憶(將數(shù)學(xué)公式以視覺化的方式提取出來，進(jìn)行問題解決)。這些類別往往重疊，如模式表象可能也是動(dòng)態(tài)的。具體來說，一名4年級(jí)小學(xué)生以火柴擺長方形的方式實(shí)現(xiàn)3×2=6的過程，就是模式表象的使用；通過平移等腰梯形的上底再旋轉(zhuǎn)一側(cè)邊轉(zhuǎn)換得到平行四邊形，就是使用動(dòng)態(tài)表象表征的過程(見圖4)(Owens，1998)。其中，Presmeg認(rèn)為模式表象在問題解決過程中起關(guān)鍵作用，而具體圖形表象會(huì)分散解題者的注意力，使解題過程拘泥于與推理無關(guān)的細(xì)節(jié)。

表象表征論對(duì)視覺化表征進(jìn)行了更精細(xì)的劃分，反映了思維活動(dòng)的多樣性。其指導(dǎo)思想在于體現(xiàn)思維發(fā)生發(fā)展所經(jīng)歷的階段，如“具體圖形表象”是具體形象思維的產(chǎn)物，“模式表象”則是抽象邏輯思維的產(chǎn)物。但由于思維活動(dòng)具有復(fù)雜性，這兩種思維之間可以互相滲透，都可以高度發(fā)展，從這個(gè)意義上，兩種思維應(yīng)該是平等的。因此針對(duì)該模型所認(rèn)為的具體圖形表象對(duì)解題有阻礙作用這一觀點(diǎn)，有研究者提出了反對(duì)意見。Owens(1998)認(rèn)為各類表象表征沒有優(yōu)劣，具體圖形表象是解題的重要基礎(chǔ)，用于創(chuàng)造、識(shí)別、命名圖形和估計(jì)圖形尺寸，以發(fā)展解題技巧。另外，這一模型的不足之處還在于對(duì)各類表象表征的定義和區(qū)分簡單，界線也較為模糊，尤其在表象表征究竟是視覺的還是空間的這一問題上存有爭議。有研究者(Farah，Hammond，Levine，Calvanio，1988)通過對(duì)視覺表征缺陷的腦損傷患者施以視覺表征任務(wù)和空間表征任務(wù)，發(fā)現(xiàn)患者在視覺表征任務(wù)上存在嚴(yán)重缺陷，而在空間表征任務(wù)上表現(xiàn)正常。至此對(duì)于表象表征由視覺和空間兩個(gè)獨(dú)立子成分構(gòu)成的假設(shè)呼之欲出。

2.4 圖式-圖像表征模型

20世紀(jì)90年代末至今，基于對(duì)空間能力究竟和視覺表象是什么關(guān)系以及兩者在成功解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題上各自有什么作用這兩個(gè)問題的思考，Kozhevnikov和Hegarty(1999)研究發(fā)現(xiàn)視覺化表征并非籠統(tǒng)的，而是由獨(dú)立的視覺和空間成分組成。這一發(fā)現(xiàn)對(duì)視覺化表征是連續(xù)統(tǒng)一體的假設(shè)提出了挑戰(zhàn)。他們將視覺化表征分為圖式表征和圖像表征兩種，圖像表征是指對(duì)客體外觀的表征，如顏色、形狀和亮度等。圖式表征則是對(duì)單客體空間位置和多客體空間關(guān)系的表征。空間能力作為視覺化表征的一個(gè)子集，與圖式表征有關(guān)而與圖像表征無關(guān)。通過一系列測試得出圖式表征與成功解題正相關(guān)，圖像表征與成功解題負(fù)相關(guān)(如圖5)。其解釋認(rèn)為，圖式表征能反映應(yīng)用題中的主要關(guān)系，而圖像表征反映的是一些次要關(guān)系或無關(guān)信息。例：“在紅色公交車上有9名兒童，綠色公交車上的兒童比紅色車上的多6名，請(qǐng)問綠色公交車上有幾名兒童?”，有兩種視覺化表征的方式(KlausHannover，2005)(見圖6)，可明顯看到圖式表征反映抽象關(guān)系，而圖像表征關(guān)注無關(guān)信息。

圖式-圖像表征模型正日臻完善，空間能力與圖式表征的交集部分(見圖5)已得到了深入分析(Kozhevnikov，Hegarty，Mayer，2002)，證實(shí)高空間能力的視覺化者多建構(gòu)圖式表征并對(duì)它們進(jìn)行空間操作，而低空間能力的視覺化者則依賴于具體圖形解題。可見，這一模型從側(cè)面展示了提高圖式水平可以使思維活動(dòng)的目的性更為明確，有助于選擇正確的解題程序，提高解題正確率。但仍需指出的是，模型未能反映出空間能力在解決應(yīng)用題過程中的獨(dú)立作用。

然而。在該模型提出過程中對(duì)空間能力測量方法的貢獻(xiàn)是不容小視的。由于Hegarty認(rèn)為空間能力并不僅限于視覺形式，也可以通過聽覺和觸覺等方式表現(xiàn)出來，因此，他對(duì)于空間能力的測量考察了空間視覺因素和空間關(guān)系因素兩個(gè)層面，空間關(guān)系因素涵蓋了通過其他渠道來表現(xiàn)空間能力的情況。對(duì)于空間視覺因素，采用韋氏兒童智力測驗(yàn)(WISC-R)中的積木設(shè)計(jì)(blockdesign)，該測驗(yàn)要求被試將9塊積木按主試的要求擺出來，共有難度漸增的11個(gè)樣式。對(duì)于空間關(guān)系因素，采用的是主要心理能力測驗(yàn)(PMA)中的心理旋轉(zhuǎn)子測驗(yàn)，被試的心理操作過程反映其對(duì)空間關(guān)系的理解。

目前。空間能力測量已發(fā)展成為研究代數(shù)應(yīng)用題視覺化表征至關(guān)重要的部分。測查空間視覺因素的認(rèn)知任務(wù)，常用視覺判斷任務(wù)，即讓被試對(duì)某種形態(tài)的客體和客體局部進(jìn)行判斷和分類，例如判斷一個(gè)物體的典型顏色、對(duì)尺寸相似物體進(jìn)行比較、對(duì)動(dòng)物尾巴進(jìn)行分類以及對(duì)地理輪廓進(jìn)行判斷等(Del Grande，1990)。測量空間關(guān)系的方法除了心理旋轉(zhuǎn)任務(wù)之外，還有心理掃描任務(wù)；Gordon(1986)的認(rèn)知分化成套測驗(yàn)(cognitiveliterality battery，CLB)也是可用手段之一，其中，空間能力測驗(yàn)包括定位測驗(yàn)(Localization)、三維旋轉(zhuǎn)(Orientafion-3D)、木塊連接(Touching Blocks)和圖畫完形(Form Completion)四部分，中文修訂版維持了原量表的結(jié)構(gòu)和功能(游旭群，季瀏，翟群，苗丹民，王家同，皇甫恩，1996)。

3 視覺化表征的影響因素

運(yùn)用視覺化表征解決代數(shù)應(yīng)用題，受到刺激因素。主要包括代數(shù)應(yīng)用題視覺化程度及其認(rèn)知負(fù)載的影響，同時(shí)，除了元認(rèn)知、場認(rèn)知方式等一般認(rèn)知因素外，還受到個(gè)體自我效能感的影響。這些因素對(duì)視覺化表征的預(yù)測和控制有著重要作用。

3.1 代數(shù)應(yīng)用題視覺化程度

不同類型的代數(shù)應(yīng)用題往往有不同的視覺化程度，視覺化程度是指題目是否涉及真實(shí)的空間關(guān)系以及解題時(shí)對(duì)表象的依賴程度，不同視覺化程度的應(yīng)用題往往適合于不同類型的表征。如小學(xué)生解決比率和比較問題的適宜表征是言語表征，解決行程和種樹問題的適宜表征是圖形表征(鄭琳娜，張奇，2007)。徐速(2005)將題目的視覺化程度作為一個(gè)研究變量，設(shè)計(jì)了視覺化(vP)和非視覺化(NVP)兩組小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題，發(fā)現(xiàn)圖式表征對(duì)兩組問題的解決都有極大的促進(jìn)作用，而圖像表征嚴(yán)重阻礙非視覺化題目的解決，與視覺化問題的解決也沒有顯著相關(guān)。這一結(jié)果說明了圖式表征是一種突出題目結(jié)構(gòu)特征、減少記憶負(fù)荷的有效表征形式；也支持了Hegarty的理論，即圖式表征與圖像表征是分離的，不處于一個(gè)連續(xù)體上。

3.2 代數(shù)應(yīng)用題認(rèn)知負(fù)載

代數(shù)應(yīng)用題認(rèn)知負(fù)載是指題目中所包含邏輯層次的數(shù)量，體現(xiàn)為解題所需的步驟。目前對(duì)多步驟代數(shù)應(yīng)用題的探索從頓悟問題的研究中。提取了一個(gè)新理論——表征變化理論(Thovenot＆Oakhill，2008)，該理論認(rèn)為個(gè)體在解決問題過程中出現(xiàn)停頓，是因?yàn)樗?gòu)了一種成功可能性較小的內(nèi)部表征，例如火柴算式問題，其目標(biāo)是只移動(dòng)一根火柴使原來錯(cuò)誤的算式轉(zhuǎn)換為正確的狀態(tài)：從錯(cuò)誤等式“Ⅵ=VII+I”變到正確等式“VII=VI＋I(xiàn)”，只需考慮數(shù)值變化，若仍以這種表征思考等式“Ⅲ=Ⅲ＋Ⅲ”的變換則會(huì)出現(xiàn)僵局，因?yàn)楹笳咝枰獙?duì)整個(gè)等式進(jìn)行改變(Ⅲ=Ⅲ=Ⅲ)。只有變化這種表征，解決者才有可能克服這一停頓。成功轉(zhuǎn)換表征的可能性依賴于兩個(gè)過程，即抑制解除和組塊分解。研究已經(jīng)發(fā)現(xiàn)(Thevenot，2008)，5年級(jí)兒童為了減少加工對(duì)工作記憶的需求，會(huì)在解題過程中不斷調(diào)整使用表征的類型。因此，對(duì)于多步驟代數(shù)應(yīng)用題，需要各種表征同時(shí)參與，不能僅靠視覺化表征解決。

3.3 自我效能感

個(gè)體對(duì)解題的自我效能感也會(huì)影響在代數(shù)應(yīng)用題中視覺化表征的使用。跨文化比較發(fā)現(xiàn)(Uesaka，Manalo，＆Ichikawa，2007)，新西蘭學(xué)生比日本學(xué)生更能積極主動(dòng)的運(yùn)用視覺化表征來解題。最大的原因在于，新西蘭的教育不僅強(qiáng)調(diào)理解圖表的重要性，同時(shí)強(qiáng)調(diào)將圖表作為一種交流數(shù)學(xué)知識(shí)的工具。從而鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)展使用圖表等來表征和交流數(shù)學(xué)概念的自我效能感，提高了學(xué)生對(duì)視覺化表征使用的自主性。相反，日本的教育強(qiáng)調(diào)對(duì)圖表的理解，但并不強(qiáng)調(diào)使用圖表作為問題解決和交流工具的重要性。使得多數(shù)學(xué)生認(rèn)為視覺化表征是教師專用的，降低了使用視覺化表征的自我效能，夸大了對(duì)問題難度的預(yù)期。

4 關(guān)于代數(shù)應(yīng)用題視覺化表征的研究展望

綜上可見，代數(shù)應(yīng)用題視覺化表征的研究起步較晚，尚不系統(tǒng)，且該領(lǐng)域還有許多重要的問題有待進(jìn)一步解決。通過對(duì)以上研究結(jié)果的回顧和分析，我們嘗試對(duì)未來代數(shù)應(yīng)用題視覺化表征的研究作出展望。

第一，雖然目前大量研究從不同角度支持新近研究成果——圖式表征的優(yōu)越性(van Garderen.2006；Vicente et a1.，2007；OrrantiaVerschaffeI.2008)，但圖式表征和空間能力的交集會(huì)對(duì)代數(shù)應(yīng)用題解決產(chǎn)生什么影響，還沒有得到解答。另外，可嘗試用更為綜合的理論去解釋視覺化表征。辛自強(qiáng)等人近年來在認(rèn)知和數(shù)學(xué)心理學(xué)家Mayer和Kintseh二人研究基礎(chǔ)上所提出的表征-關(guān)系復(fù)雜性模型，核心觀點(diǎn)是代數(shù)應(yīng)用題的集合關(guān)系復(fù)雜性會(huì)影響表征復(fù)雜性，對(duì)問題表征的質(zhì)量應(yīng)通過表征廣度和深度兩方面去衡量。這就啟發(fā)我們思考關(guān)于視覺化表征的研究，也應(yīng)結(jié)合代數(shù)應(yīng)用題中集合關(guān)系的復(fù)雜程度去區(qū)分視覺表征和空間表征的廣度和深度，以做出更為深刻的解釋。

第二，出聲思維法是代數(shù)應(yīng)用題表征研究的典型方法，但這種方法要以打斷解題者的思維活動(dòng)為代價(jià)。Kirk和Ashcraft(2001)指出，出聲報(bào)告不總是準(zhǔn)確的，它能改變正常的心理加工過程，并最終將被試的注意力吸引到實(shí)驗(yàn)者的假設(shè)中來。近年來，眼動(dòng)技術(shù)的發(fā)展彌補(bǔ)了這一方面的不足(van der Schoot，Arkema，Horsley，＆van Lieshout，2009)，該項(xiàng)技術(shù)旨在了解如何從被試具體的題目線索中建構(gòu)其心理表征，注視時(shí)間長的題目元素被認(rèn)為得到了更深的加工。其可貴之處在于，它可用于考察幼兒早期數(shù)認(rèn)知能力與代數(shù)應(yīng)用題視覺化表征能力之間的關(guān)系。然而，由于頻繁回視和對(duì)某些元素的大量短時(shí)間注視，眼動(dòng)技術(shù)對(duì)于精確了解哪種運(yùn)算在解題過程中得到了使用仍然存在困難。而且，雖然在認(rèn)知的不同領(lǐng)域中已有大量研究采用了這一技術(shù)，對(duì)代數(shù)應(yīng)用題解決研究的方法仍然缺乏(Green，Lemaire.Dufau，2007)。最近，為了避開這些潛在的方法偏差，有研究者構(gòu)想出了一種新范式，這種范式利用了計(jì)算過程中記憶痕跡衰退這一事實(shí)，通過逐漸呈現(xiàn)題目信息并打斷被試思考，讓其對(duì)先前呈現(xiàn)的不同數(shù)字進(jìn)行再認(rèn)，利用在題目信息的不同位置干擾被試時(shí)，被試的再認(rèn)時(shí)間和錯(cuò)誤率來判斷這些數(shù)字是已經(jīng)用于運(yùn)算還是正保持于工作記憶中以備將來的運(yùn)算，并以此推斷對(duì)題目信息的建構(gòu)發(fā)生在解題過程的具體哪一時(shí)段(ThevenotOakhill，2008)。因此，眼動(dòng)技術(shù)與出聲思維法相結(jié)合以及新范式的逐漸涌現(xiàn)，一定會(huì)帶來代數(shù)應(yīng)用題視覺化表征研究的重大突破。

第三，代數(shù)應(yīng)用題視覺化表征的影響因素是多樣的，除上述幾種外，還與工作記憶、情緒、課堂教育密不可分。已有研究對(duì)工作記憶的中央執(zhí)行和語音回路在代數(shù)應(yīng)用題表征中的作用進(jìn)行了探索，但沒有涉及到視空間模板的作用(Anderisson，2007)。視空間模板主要處理視覺空間信息，它包含兩個(gè)元素：視覺元素(與顏色、形狀有關(guān))和空間元素(與位置有關(guān))。這正是視覺化表征所離不開的兩個(gè)元素，但視空間模板與視覺化表征究竟有什么樣的關(guān)系，有關(guān)的行為機(jī)制和神經(jīng)機(jī)制是什么尚未可知。其次，Presmeg(1986b)曾指出個(gè)體情感因素可能是造成表征方式差異的一個(gè)原因，但對(duì)情感因素至今鮮見具體研究。最后，傳統(tǒng)的代數(shù)應(yīng)用題教學(xué)通過課堂熏陶和考試，多強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)應(yīng)用題的抽象表征，使多數(shù)學(xué)生形成了某種固定的思維偏好。習(xí)慣性的抽象表征使得原本直觀的視覺化表征方式變得生疏，滋養(yǎng)了思維惰性的形成。對(duì)數(shù)學(xué)教育研究而言，開發(fā)新的教學(xué)方法，鼓勵(lì)學(xué)生在題目沒有提供明確的變量關(guān)系的情況下，學(xué)會(huì)建構(gòu)代數(shù)應(yīng)用題中客體之間關(guān)系的空間表征。以一種多產(chǎn)的視覺化方式表征問題，是很有現(xiàn)實(shí)意義的課題(Moselcy，2005；MoseleyBrenner，2009)；同時(shí)。這方面的干預(yù)研究，例如小組輔導(dǎo)方式教學(xué)研究等(Fuchs，et a1.，2008)，也是優(yōu)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力所迫切需要的(Vicente，Van Dooren，Verschaffel，2008)。

總之，代數(shù)應(yīng)用題的視覺化表征研究正逐步深入和豐富，研究手段也日益精確化和科學(xué)化，研究者正努力嘗試從多元化的視角去探索，這將為代數(shù)應(yīng)用題教學(xué)難點(diǎn)的突破提供更為有效的方法。也將為揭示兒童表征數(shù)學(xué)問題的內(nèi)在機(jī)制提供更精確細(xì)致的答案。