需求具有價格彈性情況下協調供應鏈的數量折扣策略研究

[摘 要] 本文探討了需求具有價格彈性情況下，批量折扣和總量折扣作為單個供應商和單個零售商組成的供應鏈的協調機制的效率問題。分別研究了單獨提供批量折扣或總量折扣時確定最優折扣策略的方法以及同時提供總量折扣和批量折扣的情形下確定最優聯合折扣方案的方法。然后通過數值研究對各種折扣方案的相對效力進行評價。研究結果表明:在協調供應鏈方面，當需求價格彈性較高時，總量折扣非常有效;需求價格彈性較小時，批量折扣有效;而當聯合運用這兩種折扣策略時，供應鏈總能達到完美協調。

[關鍵詞] 批量折扣;總量折扣;供應鏈;價格彈性

doi : 10 . 3969 / j . issn . 1673 - 0194 . 2010 . 01 . 032

[中圖分類號]F274[文獻標識碼]A[文章編號]1673 - 0194(2010)01 - 0082 - 05

供應鏈管理是現代企業的主要管理模式，是當今企業管理理論研究和實踐應用的一個熱點。由于在缺乏協調的供應鏈中容易導致雙重邊際化效應(double marginalization)和牛鞭效應(bullwhip effect)等低效率行為，因此供應鏈的協調機制問題一直是供應鏈管理中的研究熱點。而數量折扣由于能夠有效地降低供應鏈的交易成本，且有足夠的柔性來實現利潤分配，從而實現供應鏈的協調，因此數量折扣作為一種低成本的有效協調機制在實踐中得到了廣泛的應用。由于數量折扣在實踐中的廣泛應用，其理論研究也較豐富，但存在以下問題:第一，分析數量折扣策略時假設零售商的銷售價格不隨供應商提供數量折扣而降低，與實踐不相符。第二，單純討論每次補給訂購數量折扣(以下簡稱批量折扣)策略，未區分數量折扣中批量折扣與全年銷售總量折扣(以下簡稱總量折扣)對協調供應鏈功效的差異。第三，在具體實踐中，許多企業往往要么采用總量折扣，要么采用批量折扣方案，而實際上，我們的研究結論證明:只有聯合運用總量折扣和批量折扣方案才能保證在任何情況下都實現供應鏈的完美協調。因此，本文將重點研究在需求具有不同價格彈性的情況下，批量折扣和總量折扣在協調供應鏈上的效率問題。

1問題描述及供應鏈整體利潤最優化模型

本文討論的供應鏈模型只包括一個供應商和一個零售商，供應商只向零售商提供一種產品;年產品需求量D的價格彈性只發生在零售商的銷售環節。零售商以批發價格C從供應商處購買產品，每次的固定訂購成本為S，每件產品一年的庫存費用為h，除此之外，零售商沒有其他可變成本;對零售商的每次采購活動，供應商需要支付固定的加工成本A，供應商的單位采購成本為CV，供應商每次向其上游供應商采購還得支付固定訂購成本SV，供應商每件產品每年的庫存費用為hV;供應商與零售商為各自獨立的經濟實體，追求自身利益的最大化。

年需求量D是零售價格的函數，假設價格函數為P(D)，它是需求函數的反函數。與需求量D相應總收入R(D) = P(D) × D。我們假定P(D)是D的減函數，并且對于D > 0，零售商的收入函數R(D)是關于D的凹函數。

當買賣雙方單獨決策時，對一個特定的批發價C、需求D和訂貨數量q，零售商最后每個時期的平均利潤可表示為:

對于一個給定的需求D和零售商的訂購量q，假定對供應商來說向其上游供應商訂購產品的最優策略是q的n倍(n為正整數)。由于供應商訂購的貨物被送達后立即就有q數量的貨物被送至零售商，所以供應商的平均庫存量為(n - 1)q/2。因此，供應商每個時期的平均利潤可表示為:

Zv(C，n) = D(C - Cv) - (AD/q) - (SvD/nq) - (q(n - 1)hv /2) (2)

公式(1)和(2)相加，我們得到供應鏈的整體利潤:

ZJP(D，q，n) = R(D) - DCv - (D/q)(S + A + (Sv /n)) - (q/2)(h - hv + nhv) (3)

注意到:供應鏈的整體利潤取決于D、q和n，而與批發價C無關。因為供應商和零售商是相互獨立的實體，都努力最大化自己的利潤，因此，他們不太可能選擇使整體利潤最優化的決策。然而，我們感興趣的是如何才能實現供應鏈整體利潤最大化，ZJP(D，q，n)將作為供應商提供價格折扣時，供應鏈整體利潤的一個上界值。對于一組特定的D和n值，當ZJP取得最大值時:

將公式(4)中的q代入公式(3)得:

這里L = (S + A + SV/n)(h - hV + nhV)

要使ZJP(D，n)的值最大，必須使L最小化，使L最小的n值可由滿足下式n*的最小值給定:

n*(n* - 1) ≤ ((h - hv)Sv)/(hv(S + A)) ≤ n*(n* + 1)

由于n*與q和D無關，因此我們可以將公式(5)中的ZJP只看作是關于D的函數，并且有

定理1當D = 0或使Z′JP(D) ≥ 0的最大D值時，ZJP有最大值。

該定理提供了一種確定供應鏈最優整體利潤的計算方法。由于R(D)是凹函數，且P(D)是減函數，因此，使Z′JP (D) ≥ 0的最大D值是等式Z′JP (D) = 0的最大正數根。

2分散無折扣時供需雙方的利潤模型

分散無折扣時市場供需平衡價格和相應的供應商與零售商的利潤將被作為分析折扣價格策略的一個基礎。最初，供應商不提供折扣，即:供應商給零售商提供一個固定的批發價。對供應商來說，假定零售商的成本參數是已知的，對任何給定的批發價格，供應商知道零售商的最優決策以及與此相應的最優利潤，因此供應商的最優目標是在考慮對于任何給定的批發價零售商都會最大化自己利潤的前提下決定批發價以最大化自身的利潤。

潤:

假定L = Sh和C = Cv，則公式(7)中Zb的形式與公式(5)中ZJP的形式一樣，因此，定理1在此處仍然適用，用來決定ZJP*的方法同樣也可用來決定最優的零售商利潤Zb*(D)和相應的需求量D = D*(C)。

使Zv(C，n)最大化的n值為滿足以下條件的最小n*值:

格低于某一閾值，則供應商將受損;因此，供應商將只考慮比這個閾值大的價格。很明顯，對供應商來說，價格低于Cv是不會予以考慮的，而價格高于P(0)將迫使零售商退出此項商業活動。所以，只有在區間Cv < C < P(0)時，Zv(C)才具有實際意義。最佳的批發價C*和與此相應的供應商利潤可以通過窮舉法在上述區間內搜索到。

3總量折扣策略

零售商面臨的需求對零售價具有高度彈性，因此，供應商給予基于零售商年需求總量的價格折扣可能激發零售商降低商品的零售價格，從而為供應商和零售商帶來更高的需求和利潤?？偭空劭鄣慕Y構如下:供應商和零售商知道當沒有價格折扣時，均衡的批發價為C*、均衡的需求量為D*(C*)。如果供應商提供一個批發價CVD = C* - y，則每個時期來自零售商的需求為DVD(CVD)或更多。零售商只有在境況變得更好(或者至少不更壞)時，才會接受總量折扣，同時零售商只有降低零售價格才能產生更高的市場需求。

式(8)關于D的導數，得到:

這意味著在某些需求水平下，供應商的利潤會隨著需求量的增加而增加，并且這時產品的邊際利潤不少于其平均s.t. Zb(C1VD) ≥ Zb(C*)

D1VD(C) > D*(C*)

CV < C1VD < C*

s.t. ZV(C2VD) ≥ ZV(D*)

D2VD(C) > D*(C*)

CV < C2VD < C*

這兩個模型的目標函數分別是使供應商和零售商在實施總量折扣協調策略的條件下取得最大利潤。第一個約束條件分別是零售商和供應商的Pareto優化約束條件;第二個約束條件均為實施總量折扣協調策略時，來自零售商的需求會大于無折扣時的需求;第三個約束條件均為規定CVD的可能范圍。

對這兩個模型分別求解，我們會發現，兩個模型的解中D1VD = D2VD，但C1VD > C2VD(如果C1VD = C2VD，則表示供應商不應提供總量折扣);并且(C2VD，C1VD)區間的所有值均為供應商可以選擇的折扣價，在此區間的折扣價只影響到供應商和零售商各自的利潤，而不會影響供應鏈的總體利潤(兩個模型的目標函數相加即為供應鏈的總體利潤，與CVD無關)，在具體實踐中究竟選擇哪個折扣價取決于供需雙方的談判能力。

4批量折扣策略

供應商提供總量折扣的動機是提高需求從而增加銷售收入和利潤。而提供數量折扣的主要目的是提高購買者每次訂購的數量，從而減少供應商的訂單處理成本。然而當需求的價格彈性比較高時，提供批量折扣也可能導致更大的需求從而增加銷售收入。

本節中，我們考慮這樣的情形，只提供批量折扣(而不提供總量折扣)。如果零售商每次的訂購量至少為qQD(CQD)，則供應商提供一個批發價CQD = C* - Z。換句話說，在某次訂購中，如果零售商的訂購量大于或等于qQD(CQD)，則對其購買的每個商品給予Z的折扣。

對于一個特定的C和q，對零售商來說最優的需求量可由下面的公式來確定:

D(q)可以由上面的公式(10)求得，將從上式中求得的D代入公式(1)，Zb可以看成是q的函數(對一個特定的C值)。Zb(q，C)的形式類似于公式(7)中的Zb(D，C)，因此，使Zb(C)達到總體極大值的q*(C)是等式?鄣Zb/?鄣q = 0的最大正數根。

對一個特定的C < C*和相應的q = qQD(C)，供應商的利潤:

ZvQD(C，n) = D(q)(C - Cv) - (AD(q)/q) - (KvD(q)/nq) - (q(n - 1)hv / 2) (11)

使ZvQD(C)取最大值的n值可由滿足下式n*的最小值來求得:

在折扣為Z = C* - C，訂購量為qQD(C)時，供應商的最佳利潤ZvQD(C)可以通過將公式(13)中的n代入公式(11)得到。

供應商提供批量折扣的目的是使自身利潤最大化，于是，供應商確定qQD(CQD)和CQD的問題可以用下列模型表示:

MAX ZvQD(C，n) = D(q)(C - Cv) - (AD(q)/q) - (SvD(q)/nq) - (q(n - 1)hv/2)

s.t. Zb(C) ≥ Z*b(C*)

qQD(C) > q*(C*)

CV < CQD < C*

模型的目標函數是使供應商在實施批量折扣協調策略的條件下取得最大利潤。第一個約束條件是零售商的Pareto優化約束條件;第二個約束條件為實施批量折扣協調策略時，來自零售商的每次訂購量會大于無折扣時的訂購量;第三個約束條件規定CQD的可能范圍。求解上述模型，如果出現ZvQD(C* - Z) = Zv*(C*)，那么Z = 0，表示供應商不提供批量折扣。

5總量折扣與批量折扣的組合策略

供應商同時提供批量折扣與總量折扣的目的是:一方面通過增大需求數量獲取更高的銷售收入;另一方面通過擴大每批訂購數量來降低訂單處理成本。同時提供兩種折扣的策略形式如下:如果零售商每次的訂購量至少為qQVD(CQVD)，并且年需求量至少為DQVD(CQVD)，則供應商提供一個折扣批發價CQVD = C* - x。

當C和D固定不變時，Zb是關于q的凹函數;同樣地，當C和q固定不變時，Zb是關于D的凹函數，因此，對于一個特定的C < C*，會有好多個(D，q)的組合使得Zb(D，q) = Zb*(C*)(也就是，與無折扣的狀態相比，零售商的境況不會變得更壞)。在這些組合中，假定使供應商利潤最大化的組合是(DQVD(C)，qQVD(C))，與之相應的供應商利潤為ZvQVD(C)。因此，提供總量折扣與批量折扣的組合策略時，供應商必須考慮在不使零售商利潤惡化的情況下，確定最佳的折扣批發價CQVD = C* - x以及相應DQVD(C)和qQVD(C)以使自身利潤最大化，此問題可以用下列模型表示:

MAX ZvQVD(C，n) = D(q)(C - Cv) - (AD(q)/q) - (SvD(q)/nq) - (q(n - 1)hv/2)

s.t. Zb(C) ≥ Z*b(C*)

DQVD(C) > D*(C*)

qQVD(C) > q*(C*)

CV < CQVD < C*

模型的目標函數是使供應商在實施組合折扣協調策略的條件下取得最大利潤。第一個約束條件是零售商的Pareto優化約束條件;第二、第三個約束條件分別為實施組合折扣協調策略時，來自零售商的年需求量和每次訂購量會大于無折扣時的年需求量和訂購量;第四個約束條件規定CQVD的可能范圍。

6數值實驗與各種折扣策略的效果對比分析

前面幾節為確定無折扣、總量折扣、數量折扣和同時提供數量折扣與總量折扣而提出的分析方法可以被用來評價各種不同的折扣策略在許多現實問題中的表現。假定價格函數P(D) = P0 - ?詛D，實驗的重點在于考察供應鏈整體利潤和價格函數斜率?詛的關系。模型中的相

關參數值見表1。

對于不同價格函數斜率?詛對應的每個問題，我們首先計算供應商與零售商聯合決策的供應鏈整體最優利潤，聯合決策的供應鏈整體最優利潤將作為評價各種不同折扣策略的基準值，因為在各種不同折扣策略下的系統最優利潤不會超過聯合決策的供應鏈整體最優利潤。假定最初供應商提供固定的批發價C = 7.5，將表1中假設的數值代入上述有關模型，用Excel作為計算和分析工具，我們可以得到表2所示數據。

系統利潤和價格函數斜率?詛的關系見圖1。在這個圖中其他參數的值固定不變，橫坐標為?詛，其值在0.000 02～0.02之間變化，縱坐標為各種折扣策略下的系統利潤與聯合決策的供應鏈整體最優利潤的比值，以顯示某種折扣策略的效果。當?詛比較小時，它表示產品具有很高的需求價格彈性，從圖1可以看出，在低價格彈性時，無折扣狀態的系統利潤較低;而隨著價格的需求彈性增加，無折扣狀態的系統利潤也增加。總體上說，無折扣狀態下供需雙方是一種Stackelberg博弈關系，系統利潤是最優的供應鏈整體利潤的65%;當?詛 = 0.00002時，沒有價格折扣，能夠達到最優的供應鏈整體利潤的75%。

圖1還表明，在價格彈性較低或者斜率?詛的值較高時，數量折扣可以成為一個更有效的協調機制。而總量折扣的結果則完全相反，對于低價格彈性(?詛 = 0.02)，總量折扣策略達到的系統利潤是最優的供應鏈整體利潤的78%;但是當需求的價格彈性增加時，這個百分比率也增大，當?詛 = 0.000 02時，總量折扣策略達到了近乎完美的協調，也就是說，系統利潤幾乎接近最優的供應鏈整體利潤?？傮w上說，總量折扣的系統利潤達到最優的供應鏈整體利潤的93%，而批量折扣只能達到80%。顯然，來自圖1的最顯著成果是同時提供批量折扣與總量折扣(在圖1中用“組合折扣”顯示)，系統利潤通常等于最優的供應鏈整體利潤，即同時提供的批量折扣和總量折扣能實現供應鏈的完美協調。

7 結論

本文討論了在只有一個供應商和一個零售商的分銷渠道的簡單框架下，可供選擇的折扣策略的效果問題，在關于企業應該如何確定最優的折扣策略問題上，我們對原有的分析方法有所創新。研究結果表明:一方面，當需求的價格彈性很高時，總量折扣的系統利潤可以達到最優聯合利潤的93%，協調供應鏈的各方利益非常有效;另一方面，當需求的價格彈性較低時，則批量折扣比較有效。最后，對所有的問題，同時提供批量折扣和總量折扣總能實現供應鏈的完美協調。

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