為什么規定先算乘法

一、尷尬——老師被學生問住了

最近，在聽一位青年教師的課時，發生了一件令人意想不到的事，上課的內容是“乘法和加、減法的兩步混合運算”(蘇教版《數學》四年級上冊)課堂上教師按教材提供的路徑和素材組織教學，先讓學生解決了購物情境中的兩個實際問題(列式為：20+5×3和50-18×2)，然后結合數量關系的分析，讓學生體會“乘法和加、減法的兩步混合運算”的運算順序及其合理性，在此基礎上引導學生概括出了運算順序：算式中有乘法和加、減法，應先算乘法。

正當教師準備進入下一教學環節時，意外發生了，一名男生舉手說：“老師，算式中有乘法和加、減法，也可能先算加、減法，”隨后，他還利用例題的素材舉了一個例子：小軍上午買了3本筆記本，下午買了4本筆記本，他一共用去了多少元?列式為“3+4 x5=7×5=35(元)”。

不少學生聽后都覺得有道理，滿臉疑惑地望著老師，

隨后，教師進行了簡單的解釋：同學們，數學上規定算式中有乘法和加、減法，應先算乘法，你剛才舉的這個例子，列式為“3+4 x5”是不對的，這樣列式就要先算乘法(4 x5)了，可這不合題意，其實，這道題列式時要用到小括號，列成“(3+4)x5”才對，這樣就可以先算加法了，這個知識我們后面會學到，明白了嗎?

教師的話音剛落，沒想到這名男生又問了一個問題：“老師，那數學上為什么規定先算乘法呢?”(言下之意是：生活中也有先算加、減法的實例呀?為什么就不規定先算加、減法呢?)上課教師一時無語，顯然，上課教師在備課時沒有思考過這個問題。

二、索因——學生為何會有此疑問

上述教學過程中，教師的意圖很明顯：通過聯系生活中典型的實際問題，讓學生直觀地體會運算順序的合理性，在此基礎上再歸納概括運算順序，但這樣教學，客觀上卻誘發學生產生了一種錯誤認識：認為“規定”來源于具體的實際問題，當學生又從具體的實際問題中發現了與“規定”不符合的反例時，自然就會產生這樣的疑問：“數學上為什么規定先算乘法”?(為什么不規定先算加、減法呢?)很明顯，這樣的教學有誘錯的嫌疑。

三、探究——為什么數學上規定先算乘法

把運算順序看成數學上的一種“規定”，這是不爭的事實，也是人們的一種共識，因而，我們很少去思考和探究“為什么要這樣規定”，可是，課堂實踐告訴我們，作為一名數學教師必須要弄明白這個問題，為此筆者進行了一番探究。

如果說這種“規定”是生活實際的需要，那相反的“規定”在生活中也有實例，這又如何解釋呢?如果說實際生活中需要“先算乘法”的實例比需要“先算加、減法”的實例多，這樣規定方便解決多數問題，符合“少數服從多數”的原則，這種解釋好像有點道理，但又有誰能證明需要“先算乘法”的問題比需要“先算加、減法”的問題多呢?可見，這樣解釋也是行不通的。

如果說：“這純粹是人為規定的，沒道理可講，”筆者認為，這種解釋沒能給出“規定”的理由，恐怕也難以令人信服和滿意。

也有人這樣解釋：“乘法是第二級運算，所以規定先算乘法，后算加、減法，”筆者認為這樣解釋其實質是用一個新的規定(先算第二級運算)來解讀原先的規定(先算乘法)，如果對新的規定作進一步追問：“為什么規定先算第二級運算?”則又回到了老問題：“為什么規定先算乘法?”可見。這種通過“循環規定”來解釋的方式，同樣是行不通的。

至此，筆者的思維陷入了僵局，無奈之下，筆者對例題的教學過程重新進行了審視。

當學生列出綜合算式“20+5×3”之后，教師組織學生反思、體會運算順序。

師：這道算式應先算什么?

生：先算5乘3。

師：為什么先算5乘3?

生：因為要求“一共用去多少錢”，就必須先算出“買3本筆記本要多少錢”，所以先算“5x3”。

至此，學生已經體驗到“先算乘法”的合理性，相應教師的教學也隨之結束了，而這樣教學的弊端是顯而易見的(如上文中所述)，學生的認識會停留在“先算乘法”是因為實際生活的需要，然而，如果我們“鉆一鉆牛角尖”，引是學生將思維再往前推一步，會有什么發現呢?為此，筆者在腦中重構了下面的教學情境。

師：同學們，解決這個問題時必須先算3本筆記本的價錢嗎?如果我們用一個書包的錢20元先加一本筆記本的錢5元，再加第二本筆記本的錢5元，最后加上第三本筆記本的錢5元(即列式20+5+5+5)，可以嗎?

生：可以!

師：既然這樣算也可以，那大家為什么不選擇它，而都選擇這種(指20+5×3)方法呢?

生：因為連加太麻煩，而先算乘法(5 x 3)再算加法(20+15)，比起連加要簡便得多。

師：是呀!先算乘法，再算加法，比起連加要簡便，特別是當相同加數更多的時候，先算乘法就越顯簡便了。

雖然這是一個假想的教學情境，但是它卻把我們的思維從“中途”推到了“原點”，讓我們對“為什么規定先算乘法”的思考從表層進入了深層，這引發了我從數學發展的角度去進一步考察“為什么規定先算乘法”，我們知道，加法是數量變化的低級形式，是四則運算中最基本的運算，減法是加法的逆運算，后來人們在實踐中摸索到更為高級的運算——乘法，用乘法計算相同加數的和可以大大提高計算效率，使計算簡便，因此，在遇到形如“x+a+a+…+a(b個a)”的計算問題時，自然就會想到先用乘法算b個a的和(a×b)，然后再加x，由此可見，人們之所以規定“先算乘法”，歸根結底是緣于計算的簡便。

綜上所述，混合運算的運算順序的確是一種人為的規定。但是，這種規定并非依據生活同類實際問題的多少，更不是數學家們的主觀意向，而是根據數學運算本身的特點而確定的，它產生于人們解決問題時的一種“求簡”的本能，是人們追求簡便、快捷的本能在計算活動中的具體反映，也就是說，基于計算的簡便，人們才規定“算式中有乘法和加、減法時，應先算乘法”。

四、建議——讓教學回到原點

按照教材提供的路徑和素材來組織教學，將混合運算的學習與解決簡單的實際問題相結合，好處主要有兩方面，一方面。學生能借助實際問題中的事理和數量關系理解有關的混合運算順序；另一方面，在學生初步掌握有關的混合運算順序后，讓學生列綜合式解答各種生動的實際問題，再進一步鞏固所學時，可以讓學生充分體會到混合運算的實際應用價值，同時能促進學生提高解決實際問題的能力，但不足之處也很明顯。易誘發學生產生一種錯誤認識，認為“先算乘法的規定”來源于具體的實際問題，那如何改進我們的教學，才能有效避免學生產生這種錯誤認識呢?筆者的建議是：“讓教學回到原點，”(詳見上面假想的教學情境)這樣的教學在充分發揮“混合運算學習與解決實際問題相結合”的優勢的前提下，僅僅是把學生的思維向前推了一步，但正是這關鍵的一步。卻為學生打開了一扇特殊的窗戶，讓學生看到了數學知識的根基，在此基礎上再歸納概括混合運算的順序，學生就能體會到“規定”來源于人們“求簡”的本能，從而有效避免“規定”來源于具體實際問題的錯誤認識。