巧用法向量解決空間幾何問題

〔關鍵詞〕 數學教學;法向量;空間幾何;空間角;空

間距離

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463(2010)02(B)—0054—02

一、求空間角

1.斜線與平面所成的角

先將斜線和平面所成的角轉化為兩直線所成的角，再轉化為向量的夾角.設直線a的方向向量和平面α的求SC與平面ABCD所成的角.

2.二面角

例2 在例1中已知條件不變的情況下，求平面SCD與平面SBA所成的二面角的大小.

解:以A點為坐標原點，BA，AD，AS所在直線分別為x，y，z軸建立如圖2所示的空間直角坐標系，則S二、求空間距離

1.點到平面的距離

C)是平面α的法向量，p0(x0，y0，z0)為平面α外的任意一點，p(x，y，z)是平面α內任意一點，則p0到平面α的距離為

例3如圖3所示的多面體是由底面為ABCD的長方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，CC1=3，BE=1，求點C到平面AEC1F的距離.

解:建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0，0，0)，B(2，4，0)，A(2，0，0)，C(0，4，0)，E(2，4，1)，C1(0，4，3)，設F(0，0，k)，

2.直線到與它平行的平面的距離

3.兩平行平面間的距離

例5 正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，E，F分別是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中點.

(1)求證:平面AMN//平面EFDB;

(2)求平面AMN與平面EFDB的距離.

證明:(1)建立如圖5所示的以D點為坐標原點的空間直角坐標系，設正方體的棱長為1，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)，

0，-1)，

∴MN//EF//BD，AN//EB，

∴平面AMN//平面EFDB.

(2)略.