巧析時(shí)針與分針?biāo)山堑膯?wèn)題
2010-01-01 00:00:00邊永強(qiáng)
甘肅教育 2010年2期
〔關(guān)鍵詞〕 初中數(shù)學(xué);夾角;時(shí)針;分針;分析
〔中圖分類(lèi)號(hào)〕 G633.6〔文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼〕 A
〔文章編號(hào)〕 1004—0463(2010)
01(B)—0053—02
人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第二章一元二次方程復(fù)習(xí)題中有這樣一道題:在3點(diǎn)至4點(diǎn)的什么時(shí)刻分針與時(shí)針成(1)重合(2)平角(3)直角
該題的解法是:設(shè)3點(diǎn)x 分時(shí)，時(shí)針與分針重合.以3點(diǎn)整時(shí)時(shí)針與分針?biāo)诘奈恢米鳛槌跏嘉恢?，這時(shí)時(shí)針在分針前，并成90°的角，它們順時(shí)針?lè)较蛲瑫r(shí)同向而行，3點(diǎn)x 分時(shí)的位置作為終止位置.先求出時(shí)針與分針每分鐘轉(zhuǎn)過(guò)的角度分別為6°、0.5°，所以經(jīng)過(guò) x分鐘后，分針旋轉(zhuǎn)過(guò) 6x°，時(shí)針旋轉(zhuǎn)過(guò)0.5x°.
(1)重合時(shí)，分針比時(shí)針多走90°，列方程為6x° -0.5x° =90°
(2)成平角時(shí)，分針比時(shí)針多走90°+180°，列方程為6x°-0.5x° =90°+180 °
(3)成直角時(shí)，分針比時(shí)針多走90°+90°，列方程為6x°-0.5x°=90°+90°，其中等式右邊一個(gè)90°為初始位置時(shí)時(shí)針與分針?biāo)傻慕?/p>
后來(lái)筆者又進(jìn)行研究: 6點(diǎn)與7點(diǎn)的什么時(shí)刻時(shí)針與分針也成 (1)重合(2)平角(3)直角
對(duì)于(2)成平角，學(xué)生會(huì)仿照前一天的學(xué)習(xí)列出方程6x° -0.5x°=180°+180°(由于6點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針與分針成180°的角).其中一個(gè)180°為初始位置時(shí)時(shí)針與分針?biāo)傻慕?，另一個(gè)180°為旋轉(zhuǎn)后形成的角.學(xué)生解得x =65.45，即6點(diǎn)65.45分時(shí)時(shí)針與分針重合，也就是7點(diǎn)5.45分時(shí)，時(shí)針與分針重合.但那樣的話就與條件不符.
在(0，12]時(shí)，時(shí)針與分針能成多少次平角?多少次直角?重合多少次?
在(0，12]時(shí)，時(shí)針與分針重合11次
因?yàn)樵?0，1]時(shí)，時(shí)針與分針同時(shí)出發(fā)，時(shí)針慢，分針快，所以不可能重合.因此，設(shè)1點(diǎn)x 分時(shí)時(shí)針與分針重合，可列方程為6x°-0.5x° =30°，依次類(lèi)推2點(diǎn)與3點(diǎn)之間，時(shí)針與分針重合時(shí)，可列方程為6x° -0.5x° =2×30°，3點(diǎn)與4點(diǎn)之間，可列方程為6x°-0.5x°=3×30° ……一般的，設(shè)n 點(diǎn)x分時(shí)時(shí)針與分針重合，列方程為6x°-0.5x°=30°n，其中1 當(dāng)n =1時(shí)，x =5.45 當(dāng)n =2時(shí)，x =10.90 …… 當(dāng)n =11時(shí)，x =60 即1點(diǎn)5.45分，2點(diǎn)10.90分，3點(diǎn)16.36分……11點(diǎn)60分(12點(diǎn)整)時(shí) ，時(shí)針與分針重合，重合一次的時(shí)間間隔約為1個(gè)小時(shí)5.45分鐘，故在(0，12]時(shí)內(nèi)，時(shí)針與分針只能重合11次. 在(0，12]時(shí)，時(shí)針與分針成11次平角 為了能考慮各個(gè)時(shí)刻，仍然設(shè)n時(shí)x分時(shí)，時(shí)針與分針成平角.由于在6點(diǎn)整時(shí)，時(shí)針與分針成平角;6點(diǎn)前形成平角時(shí)，分針在前，時(shí)針在后;6點(diǎn)后形成平角時(shí)，分針在后，時(shí)針在前，故以6點(diǎn)整為界限，分兩種情況列方程. (1)當(dāng)n∈(0，6 ]，列方程為6x°-0.5x° =180°+30°n，其中30°n為n 時(shí)整時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕?/p> 當(dāng)n=0時(shí)，x=32.72 當(dāng)n=1時(shí)，x=38.18 …… 當(dāng)n=5時(shí)，x=60 (2)當(dāng)n∈(6，12]，列方程為6x°+180°=0.5x° +30°n，其中30°n為n 時(shí)整時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕?/p> 當(dāng)n=7時(shí)，x=5.45 當(dāng)n=8時(shí)，x=10.90 …… 當(dāng)n=11時(shí)，x =27.27 即0點(diǎn)32.72分，1點(diǎn)38.18分，2點(diǎn)43.63分……5點(diǎn)60分(6點(diǎn)整)……11點(diǎn)27.27分時(shí) ，時(shí)針與分針成平角，時(shí)針與分針成平角的時(shí)間間隔(或周期)約為1個(gè)小時(shí)5.45分鐘，和時(shí)針與分針重合的時(shí)間間隔(或周期)完全相同，故在(0，12]內(nèi)，時(shí)針與分針成11次平角. 在(0，12]時(shí)，時(shí)針與分針成22次直角 因?yàn)闀r(shí)針與分針成直角有兩種情況:(1)直接成直角(2)間接成直角，即分針與時(shí)針旋轉(zhuǎn)成270°的角.這兩種直角仍然需分為時(shí)針在分針前形成的和時(shí)針在分針后形成的，故設(shè)n 點(diǎn)x分時(shí)，時(shí)針與分針成直角，故方程有四種情況. (1)6x°-0.5x° =90°+30°n (2)6x°-0.5x°=270°+30°n (3)6x°+90°=0.5x°+30°n (4)6x°+270° =0.5x°+30°n (其中0≤n≤12，0≤x≤60) (1)當(dāng)n=0 時(shí)，x=16.36 當(dāng)n=1 時(shí)，x=21.82 …… 當(dāng)n=8時(shí)，x=60 (2)當(dāng)n=0時(shí)，x=49.01 當(dāng)n=1 時(shí)，x=54.54 當(dāng)n=2時(shí)，x=60 …… (3)當(dāng)n=4時(shí)，x=5.45 當(dāng)n=5時(shí)，x=10.90 …… 當(dāng)n=11 時(shí)，x=43.64 (4)當(dāng)n=10 時(shí)，x=5.45 當(dāng)n=11 時(shí)，x=10.90 即時(shí)針與分針在以下時(shí)間依次成直角，0點(diǎn)16.36分，0點(diǎn)49.01分，1點(diǎn)21.81分，1點(diǎn)54.54分，2點(diǎn)27.27分，2點(diǎn)60分(3點(diǎn)整)，3點(diǎn)32.72分……8點(diǎn)60分(9點(diǎn)整)……11點(diǎn)10.90分，11點(diǎn)43.64分.每?jī)纱纬芍苯堑臅r(shí)間間隔為32.72分鐘，故在(0，12]時(shí)，時(shí)針與分針成22次直角.
