巧妙添加輔助線 突破幾何難題關

〔關鍵詞〕 初中幾何;輔助線;添加

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463(2010)01(B)—0057—01

一、作輔助線的一般規律

已知角的平分線，莫忘構成全等形;已知三角形中點，莫忘連接中位線;已知等腰三角形，三線合一莫忘記;要算多邊形面積，割補方法要牢記;相等關系要證明，常用全等三角形;數量關系要證明，怎能忘了相似形;圓圓相交連共弦，相切莫忘邊切點;有關正多邊形計算，半徑、邊心距要記全.

二、舉例說明

1.已知角的平行線，莫忘構成全等形

例:在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A的平分線AD交BC于D，求證:tg∠CAB=■.

分析:如圖1，過D作DE⊥AB于E，從而得△ACD≌△AED， ∴ AE=AC，DE=DC，∠BDE=∠CAB，

∴ tg∠CAB=tg∠BDE=■=■.

2.已知三角形中點，莫忘連接中位線

例:已知AD是△ABC的中位線，E為AD中點，BE的延長線交AC于點F，求證:AF=■FC.

分析:如圖2，D為BC的中點，于是過D作DG//BF，則DG為△CBF的中位線，即得AF=FG=GC=■FC.

3.已知等腰三角線，三線合一莫忘記

例:已知△ABC中，AB=AC，∠A=40°，以AB為直徑的圓交BC于D，交AC于E，求■和■的度數.

分析:如圖3，由于△ABC為等腰三角形，連接AD，則AD⊥BC，故∠BAD=∠DAC=20°，即得■=■=40°.

4.要算多邊形面積，割補方法要牢記

例:四邊形ABCD中，已知AB=26，BC=10，CD=5，點B、C到AD的距離分別為10、4，求四邊形ABCD的面積.

分析:此題的思路就是利用割補法將特殊圖形轉化為常規圖形，關鍵是作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，如圖4.

5.數量關系要證明，怎能忘了相似形

例:如圖5，PAB、PCD是⊙O的割線，∠PAC=∠DAB，求證:PQ2-PA2=PA·AB.

分析:此題的思路是找相似三角形，關鍵是連BD，得△PAC∽△DBA，故PQ2=PA·PB=PA·(PA+AB).

6.圓圓相交連共弦

例: ⊙O1、⊙O2相交于A、B，經過點B作任意一直線交⊙O1、⊙O2于C、D兩點，AE、AF分別是⊙O1、⊙O2的直徑，求證:△ACE∽△ADF.

分析:此題關鍵是連AB，由∠ACE=∠ADF，∠E=∠ABC=∠F，得△ACE∽△ADF.

7.相切莫忘邊切點

例: AB是⊙O的直徑，C為⊙O上的一點，AD與過點C的切線互相垂直，垂足為D，求證:AC平分∠DAB.

分析:C為切點，則此題關鍵是連OC，由AD//OC可證AC為∠DAB的角平分線.

8.有關正多邊形計算，半徑、邊心距要記全

例:直徑為20cm的圓中作面積最大的正六邊形，計算正六邊形的面積.

分析:如圖8，此題已知正六邊形ABCDEF，求該正六邊形的面積的關鍵是連半徑OA、OB，作邊心距OG，由三角形的相關知識可得:SABCDEF=6S△AGB=6×■×10×5■=150■.