[嵮峰對(duì)決]抽屜原理面面觀

抽屜原理是組合數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的原理。因?yàn)樗堑聡?guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確提出來(lái)的，因此也稱為狄利克雷原理。抽屜原理的一般含義是：把多于n個(gè)的蘋(píng)果放進(jìn)n個(gè)抽屜里，那么至少有一個(gè)抽屜里有兩個(gè)或兩個(gè)以上的蘋(píng)果。

應(yīng)用抽屜原理解決問(wèn)題關(guān)鍵在于要注意識(shí)別“抽屜”和“蘋(píng)果”，制造“抽屜”，使得“蘋(píng)果”的數(shù)目一定要大于“抽屜”的個(gè)數(shù)。對(duì)于“抽屜”和“蘋(píng)果”不很明顯的問(wèn)題，需要精心制造“抽屜”和“蘋(píng)果”。

妙解賞析

一、基礎(chǔ)分析

例1有5個(gè)小朋友，每人都從裝有許多黑白圍棋子的布袋中任意摸出3枚棋子，這5個(gè)人中至少有兩個(gè)

小朋友摸出的棋子的顏色的配組

是一樣的。為什么?

分析3枚棋子的顏色有4種不同的配組情況：3黑、2黑1白、1黑2白、3白，看作4個(gè)“抽屜”，把每人所拿3枚棋子按其顏色配組情況放入相應(yīng)的抽屜，由于有5個(gè)“蘋(píng)果”，比“抽屜”個(gè)數(shù)多。根據(jù)抽屜原理，至少有兩個(gè)“蘋(píng)果”在同一個(gè)“抽屜”里，也就是至少有兩個(gè)小朋友所拿棋子的顏色配組是一樣的。

例2幼兒園買(mǎi)采了不少白兔、熊貓、長(zhǎng)頸鹿塑料玩具，每個(gè)小朋友任意選擇兩件，那么不管怎樣挑選，在任意七個(gè)小朋友中總有兩個(gè)彼此選的玩具都!相同。試說(shuō)明道理

[分析]從三種玩具中挑選兩件，搭配方式只能是下面六種之一：(兔、兔)，(兔、熊貓)，(兔、長(zhǎng)頸鹿)，(熊貓、熊貓)，(熊貓、長(zhǎng)頸鹿)，(長(zhǎng)頸鹿、長(zhǎng)頸鹿)。把每種搭配方式看作一個(gè)“抽屜”，把7個(gè)小朋友看作“蘋(píng)果”，那么至少有兩個(gè)“蘋(píng)果”要放進(jìn)同一個(gè)“抽屜”里。也就是說(shuō)，至少兩人挑選玩具采用同一搭配方式，選的玩具相同。

二、延伸拓展

例3任意取8個(gè)自然數(shù)，必有兩個(gè)數(shù)的差是7的倍數(shù)，

[分析]把所有自然數(shù)被7除所得的7種不同的余數(shù)0、1、2、3、4、5、6分成七類，也就是7個(gè)抽屜。任取8個(gè)自然數(shù)，根據(jù)抽屜原理，必有兩個(gè)數(shù)在同一個(gè)“抽屜”中，也就是它們除以7的余數(shù)相同，因此這兩個(gè)數(shù)的差一定是7的倍數(shù)。

例4放體育用品的倉(cāng)庫(kù)里有許多足球、排球和籃球。有66名同學(xué)來(lái)倉(cāng)庫(kù)拿球，要求每人至少拿1個(gè)球，至多拿2個(gè)球。問(wèn)：至少有多少名同學(xué)所拿的球種類是完全一樣的?

[分析] 拿球的配組方式有以下9種：{足}，{排}，{籃}，{足，足}，{排，排}，{籃，籃}，{足，排}，{足，籃}，{排，籃}。把這9種配組方式看作9個(gè)“抽屜”。因?yàn)?6÷9=7…3，所以至少有7+1=8(名)同學(xué)所拿的球的種類是完全一樣的。

例5在邊長(zhǎng)為3米的正方形內(nèi)，任意放入28個(gè)點(diǎn)，求證：必有4個(gè)點(diǎn)，以它們?yōu)轫旤c(diǎn)的四邊形的面積不超過(guò)1平方米。(面積問(wèn)題)

[分析]根據(jù)題目的結(jié)論，考慮把這個(gè)大正方形分割成面積為1平方米的9個(gè)小正方形

因?yàn)?8=3x9+1，所以根據(jù)抽屜原理，至少有4個(gè)點(diǎn)落在同一個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形內(nèi)(或邊上)(如圖二)，這4個(gè)點(diǎn)所連成的四邊形的面積總小于或等于小正方形的面積，即以這4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積不超過(guò)l平方米。小試身手：

1

六年級(jí)(1)班有42人開(kāi)展讀書(shū)活動(dòng)。他們從學(xué)校圖書(shū)館借了21l本圖書(shū)，那么其中至少有一人借( )本書(shū)。

2 某商店有126箱蘋(píng)果，每箱至少有120個(gè)蘋(píng)果，至多有144個(gè)蘋(píng)果。現(xiàn)將蘋(píng)果個(gè)數(shù)相同的箱子算作一類，設(shè)其中箱子數(shù)最多的一類有n個(gè)箱子。則n的最小值為( )。